Zeta

Zeta[s]

リーマン(Riemann)のゼータ関数 TemplateBox[{s}, Zeta]を与える．

Zeta[s,a]

一般化されたリーマンのゼータ関数 TemplateBox[{s, a}, Zeta2]を与える．

詳細とオプション

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • Re(s)>1のとき，TemplateBox[{s}, Zeta]=sum_(k=1)^inftyk^(-s)．
  • TemplateBox[{s, a}, Zeta2]=sum_(k=0)^(infty)(k+a)^(-s)．ただし，の項を除く．
  • Re(a)<0のときに使われる定義は TemplateBox[{s, a}, Zeta2]=sum_(k=0)^(infty)((k+a)^2)^(-s/2)である．
  • Zeta[s]は不連続な分枝切断線を持たない．
  • 特別な引数の場合，Zetaは，自動的に厳密値を計算する．
  • Zetaは任意の数値精度で評価できる．
  • Zetaは自動的にリストに縫い込まれる．
  • ZetaはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (6)

数値的に評価する：

一般化された（Hurwitzの）ゼータ関数：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ  (36)

数値評価  (7)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のZeta関数を計算することもできる：

特定の値  (6)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

記号的な についてのZeta[s,a]：

記号的な についてのZeta[s,a]：

ゼロにおける値：

無限大における極限値：

Zeta[s]=1.05となるような の値を求める：

可視化  (3)

Zeta関数をプロットする：

一般化されたZeta関数をさまざまな次数でプロットする：

Zeta関数の実部をプロットする：

Zeta関数の虚部をプロットする：

関数の特性  (12)

Zetaの実領域：

複素領域：

一般化されたゼータ関数 TemplateBox[{z, a}, Zeta2]はすべての について同じ定義域を持つ：

Zetaはすべての実数値に達する：

Zetaは鏡特性 zeta (TemplateBox[{z}, Conjugate])=TemplateBox[{TemplateBox[{z}, Zeta]}, Conjugate]持つ：

Zetaは要素単位でリストと行列に縫い込まれる：

Zetaは解析関数ではない：

しかし，有理型ではある：

Zetaは非減少でも非増加でもない：

しかし，1における特異点の右側に向かって減少する：

Zetaは単射ではない：

Zetaは全射である：

Zetaは非負でも非正でもない：

TemplateBox[{x, a}, Zeta2]は で特異点と不連続点の両方を持つ：

TemplateBox[{x}, Zeta]は凸でも凹でもない：

しかし，の特異点の右側に向かって凸である：

TraditionalFormによる表示：

微分  (3)

についての一次導関数：

リーマンのゼータ関数について導関数を厳密に評価する：

についての高次導関数：

のとき， についての高次導関数をプロットする：

級数展開  (2)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

SeriesCoefficientを使った級数展開の一般項：

関数の恒等式と簡約  (3)

Zetaは恒等式を介して定義される：

Zeta関数を含む総和：

MoebiusMu関数との接続：

アプリケーション  (7)

臨界線上にゼータ関数の実部をプロットする：

臨界帯(critical strip)上に実部をプロットする：

ゼータ関数の零点を1つ見付ける：

複数の零点を見付ける：

ZetaZeroを使う：

最初の100個の整数で作ったペアの中で，互いに素となるものの割合を求める：

ゼータ関数の公式と比較する：

2つの非常に近い零点付近での実部と虚部をプロットする（Lehmerペア）：

一般化されたゼータ関数をプロットする：

無限級数によって定義される関数の漸近展開の最初の2つの項をMellinTransformを使って求める：

のメリン変換を計算する：

および における留数を計算してZeta関数によって表される必要な漸近展開を取得する：

特性と関係  (8)

リーマンのゼータ関数  (5)

ゼータ関数についての定義和：

ゼータ関数についてのオイラー積の公式：

ゼータ関数を含む総和：

FullSimplifyを使って関数方程式を証明する：

ZetaはDifferenceRootとして表すことができる：

一般化されたゼータ関数  (3)

一般のゼータ関数は特殊なケースである：

ある特定の場合，FunctionExpandは他の関数で式を与える：

一般化されたゼータ関数の不定積分：

考えられる問題  (4)

実部と虚部のスケールが大きく異なる場合がある：

虚部を正確に評価するためには，内部精度を高くする必要がある：

機械数で入力すると，高精度の結果が得られることがある：

引数に0を与えると，必要な精度を定義しない：

確度指定を加えると，十分な情報となる：

TraditionalFormでは，ζ は自動的にはゼータ関数として解釈されない：

おもしろい例題  (2)

臨界線上でのゼータ関数の実部をサウンドとして生成する：

臨界線上のゼータ関数をアニメーションにする：

Wolfram Research (1988), Zeta, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html （2022年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), Zeta, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html （2022年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "Zeta." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html.

APA

Wolfram Language. (1988). Zeta. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Zeta.html

BibTeX

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