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CircularOrthogonalMatrixDistribution[n]

行列次元が{n,n}の円直交行列分布を表す．

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CircularOrthogonalMatrixDistribution

CircularOrthogonalMatrixDistribution[n]

行列次元が{n,n}の円直交行列分布を表す．

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例題

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例  (2)

擬似ランダム円直交アンサンブル行列を生成する：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[3]]

これは，ユニタリ行列でもあり対称行列でもある：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]∧SymmetricMatrixQ[m]

MatrixPropertyDistributionを使って球上のランダムな点をサンプルする：

Wolfram Language code: mat2vec[m_] := Re[Table[Tr[m.PauliMatrix[k]], {k, 3}]] / 2
Wolfram Language code: dist = MatrixPropertyDistribution[mat2vec[u.PauliMatrix[3].u^], uCircularOrthogonalMatrixDistribution[2]];
Wolfram Language code: RandomVariate[dist]∈Sphere[]

この分布は 軸の周辺に集中していることが視覚的に分かる：

Wolfram Language code: Point[RandomVariate[dist, 1500]]//Graphics3D

スコープ  (3)

単一の擬似ランダム行列を生成する：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[2]]

擬似ランダム行列の集合を生成する：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[2], 2]

統計特性を数値計算する：

Wolfram Language code: gap𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Max[Differences[Sort[Arg[Eigenvalues[𝓂]]]]], 𝓂CircularOrthogonalMatrixDistribution[10]];
Wolfram Language code: NExpectation[δ Sin[δ], δgap𝒟]

アプリケーション  (2)

ランダム行列の固有値の複素引数の分布を定義する：

Wolfram Language code: evs𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Arg[Eigenvalues[x]], xCircularOrthogonalMatrixDistribution[2]];

ランダム置換に続く固有値の位相をサンプルする：

Wolfram Language code: φs = RandomSample /@ RandomVariate[evs𝒟, 10 ^ 5];

結合位相分布を閉形式のPDFとともに可視化する：

Wolfram Language code: Show[ Histogram3D[φs, {-Pi, Pi, 0.2}, PDF], Plot3D[(1/16Pi)Abs[Exp[I ϕ1] - Exp[I ϕ2]], {ϕ1, -Pi, Pi}, {ϕ2, -Pi, Pi}, PlotStyle -> None, MeshStyle -> Thick], ViewPoint -> {10, 10, 3}]

CircularOrthogonalMatrixDistributionの固有値の結合分布は，逆温度が の，円上のDysonのCoulombガスのBoltzmann分布としても知られている．系の粒子あたりの平均ハミルトニアンは以下の通りである（運動項は除く）：

Wolfram Language code: hamiltonian[Z_] := Module[{n = Length[Z]}, Log[n] / 2 - Sum[Total[Log[Abs[Differences[Z, 1, k]]]], {k, n - 1}] / n ]

ランダムな円直交アンサンブル行列のハミルトニアンの値の分布を定義する：

Wolfram Language code: h𝒟 = MatrixPropertyDistribution[hamiltonian[Eigenvalues[x]], xCircularOrthogonalMatrixDistribution[n]];

サイズが異なる系についてハミルトニアンのサンプル平均を計算する：

Wolfram Language code: means = Table[{n, Mean[RandomVariate[h𝒟, 1000]]}, {n, 10, 60, 10}]

サンプル平均をプロットし，それらを熱力学的極限と比較する：

Wolfram Language code: Show[ListPlot[means, PlotStyle -> {Orange, PointSize[Medium]}, Filling -> Axis, PlotRange -> {0, 0.37}, AxesLabel -> {"N", "〈H〉"}], Plot[(1/2) (Log[2] + PolyGamma[0, (3/2)]), {x, 0, 60}]]

特性と関係  (2)

固有値の位相角の分布：

Wolfram Language code: dim = 300; args = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Arg[Eigenvalues[x]], xCircularOrthogonalMatrixDistribution[dim]], 100];
Wolfram Language code: Histogram[Join@@args, {-Pi, Pi, 2Pi / 40}, PDF]

固有値間の間隔を計算する：

Wolfram Language code: diffs = Join@@Map[Composition[Differences, Sort], (args/2Pi)dim];

サンプルレベルの間隔のヒストグラムを，Dyson指数 のWigner推測としても知られる閉形式と比較する：

Wolfram Language code: WignerSurmisePDF[x_, β : 1] := (Pi / 2) x Exp[(-Pi / 4) x ^ 2]
Wolfram Language code: Show[Histogram[diffs, {0.1}, PDF], Plot[WignerSurmisePDF[x, 1], {x, 0, 3}]]

次元 大のCircularOrthogonalMatrixDistributionの固有値については，要素のスケールされた法はカイ二乗分布に従う：

Wolfram Language code: 𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Flatten[Abs[Eigenvectors[𝓂]] ^ 2], 𝓂CircularOrthogonalMatrixDistribution[50]];
Wolfram Language code: data = Normalize[Join@@RandomVariate[𝒟, 100], Mean];

ヒストグラムをChiSquareDistributionのPDFと比較する：

Wolfram Language code: Show[Histogram[data, "Scott", PDF], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[1], x], {x, 0, 5}, PlotRange -> {{0, 5}, {0, 3}}]]

考えられる問題  (2)

CircularOrthogonalMatrixDistributionの行列形式は直交行列である必要はない：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[3]]
Wolfram Language code: OrthogonalMatrixQ[%]

CircularRealMatrixDistributionを使ってランダム直交実数値行列をサンプルする：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[3]]
Wolfram Language code: OrthogonalMatrixQ[%]

CircularOrthogonalMatrixDistributionの行列形式は行列 TemplateBox[{u}, Transpose].u で表すことができる．ただし， はCircularUnitaryMatrixDistributionに従う：

Wolfram Language code: u = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[2]];
Wolfram Language code: o = Transpose[u].u;
Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[o]∧SymmetricMatrixQ[o]
Wolfram Research (2015), CircularOrthogonalMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularOrthogonalMatrixDistribution.html.

テキスト

Wolfram Research (2015), CircularOrthogonalMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularOrthogonalMatrixDistribution.html.

CMS

Wolfram Language. 2015. "CircularOrthogonalMatrixDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularOrthogonalMatrixDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2015). CircularOrthogonalMatrixDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularOrthogonalMatrixDistribution.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_circularorthogonalmatrixdistribution, author="Wolfram Research", title="{CircularOrthogonalMatrixDistribution}", year="2015", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularOrthogonalMatrixDistribution.html}", note=[Accessed: 20-July-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_circularorthogonalmatrixdistribution, organization={Wolfram Research}, title={CircularOrthogonalMatrixDistribution}, year={2015}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularOrthogonalMatrixDistribution.html}, note=[Accessed: 20-July-2026]}