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CircularRealMatrixDistribution[n]

表示圆实矩阵分布，其中矩阵维度为 {n,n}.

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CircularRealMatrixDistribution

CircularRealMatrixDistribution[n]

表示圆实矩阵分布，其中矩阵维度为 {n,n}.

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基本范例  (2)

生成随机 CRE 矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[3]]

检验矩阵是否为正交矩阵：

Wolfram Language code: OrthogonalMatrixQ[%]

用 MatrixPropertyDistribution 在球面上随机抽样：

Wolfram Language code: RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[r.{0, 0, 1}, rCircularRealMatrixDistribution[3]]]

这些点在球面上的分布是均匀的：

Wolfram Language code: Point[RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[r.{0, 0, 1}, rCircularRealMatrixDistribution[3]], 10 ^ 3]]//Graphics3D

范围  (3)

生成单个随机正交矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[2]]

生成一组随机正交矩阵：

Wolfram Language code: RandomVariate[CircularRealMatrixDistribution[2], 3]

用数值法计算统计特性：

Wolfram Language code: det𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Det[𝓂], 𝓂CircularRealMatrixDistribution[4]];
Wolfram Language code: NProbability[Δ == 1, Δdet𝒟]
Wolfram Language code: NProbability[Δ == -1, Δdet𝒟]

应用  (2)

对随机三维特殊正交矩阵的 EulerAngles 进行抽样：

Wolfram Language code: EulerAngles𝒟 = MatrixPropertyDistribution[EulerAngles[𝓂 / Det[𝓂]], 𝓂CircularRealMatrixDistribution[3]];
Wolfram Language code: angles = RandomVariate[EulerAngles𝒟, 10 ^ 4];

查看抽样结果是否服从期望的分布：

Wolfram Language code: DistributionFitTest[angles, ProductDistribution[UniformDistribution[{-Pi, Pi}], ProbabilityDistribution[(1/2)Sin[θ], {θ, 0, Pi}], UniformDistribution[{-Pi, Pi}]]]

显示各个角度的直方图：

Wolfram Language code: Histogram[#, Automatic, PDF]& /@ Transpose[angles]

通过随机旋转一个固定的四维向量对 上的点进行抽样：

Wolfram Language code: p4d = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[r.UnitVector[4, 4], rCircularRealMatrixDistribution[4]], 5 10 ^ 4];
Wolfram Language code: AllTrue[p4d, RegionMember[Sphere[4]]]

通过 Hopf 映射，将这些点投影到 ，其中， 上的均匀测度会引起 上的均匀测度：

Wolfram Language code: hopf = {x, y, z, w}  {(ArcTan[x, y] + Pi) / (2Pi), 2(x z + y w), 2(y z - x w), x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 - w ^ 2};
Wolfram Language code: Simplify[Norm[Rest[hopf[x, y, z, w]]], {x, y, z, w}∈Sphere[4]]
Wolfram Language code: Simplify[Det[Grad[hopf[x, y, z, w], {x, y, z, w}]], {x, y, z, w}∈Sphere[4]]

完成投影并根据投影的第一个坐标进行分组：

Wolfram Language code: proj = hopf@@@p4d; res = GatherBy[SortBy[proj, First], Quotient[First[#], 0.05]&]; res = Drop[res, None, None, 1];

根据 上的不同角度显示 上的点：

Wolfram Language code: Animate[Graphics3D[{PointSize[Small], Point[res[[k]]]}, PlotRange -> {{-1, 1}, {-1, 1}, {-1, 1}}], {{k, 1, "ϕ"}, 1, Length[res], 1}, TrackedSymbols :> k, SaveDefinitions -> True, AnimationRunning -> False]

属性和关系  (2)

特征值的相角的分布：

Wolfram Language code: dim = 300; args = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Arg[Eigenvalues[x]], xCircularRealMatrixDistribution[dim]], 100];
Wolfram Language code: Histogram[Join@@args, {-Pi, Pi, 2Pi / 40}, PDF]

计算特征值之间的间距：

Wolfram Language code: diffs = Join@@Map[Composition[Differences, Sort], (args/2Pi)dim];

比较样本水平间距的直方图与解析形式，解析形式亦称为 Dyson 指标 的 Wigner 估测：

Wolfram Language code: WignerSurmisePDF[x_, β : 2] := 2(4 x / Pi) ^ 2 Exp[(-4 / Pi) x ^ 2]
Wolfram Language code: Show[Histogram[diffs, {0.1}, PDF], Plot[WignerSurmisePDF[x, 2], {x, 0, 2.5}]]

对于维度大小为 的 CircularRealMatrixDistribution 的特征向量，其元素的缩放模数服从 分布：

Wolfram Language code: 𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Flatten[Abs[Eigenvectors[𝓂]] ^ 2], 𝓂CircularRealMatrixDistribution[50]];
Wolfram Language code: data = 2Normalize[Join@@RandomVariate[𝒟, 100], Mean];

将直方图与 ChiSquareDistribution 的 PDF 进行比较：

Wolfram Language code: Show[Histogram[data, "Scott", PDF], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[2], x], {x, 0, 9}]]
Wolfram Research (2015)，CircularRealMatrixDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularRealMatrixDistribution.html.

文本

Wolfram Research (2015)，CircularRealMatrixDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularRealMatrixDistribution.html.

CMS

Wolfram 语言. 2015. "CircularRealMatrixDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularRealMatrixDistribution.html.

APA

Wolfram 语言. (2015). CircularRealMatrixDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularRealMatrixDistribution.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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