CircularSymplecticMatrixDistribution
CircularSymplecticMatrixDistribution
CircularSymplecticMatrixDistribution[n]
複素数場上の，行列次元が{2 n,2 n}の円シンプレクティック行列分布を表す．
詳細
- CircularSymplecticMatrixDistributionは，円シンプレクティックアンサンブル(CSE)としても知られている．
- CircularSymplecticMatrixDistributionは，次元 n の自己双対ユニタリ四元数正方行列上の一様分布を表す．
- 次元母数 n は任意の正の整数でよい．
- CircularSymplecticMatrixDistributionは，MatrixPropertyDistributionやRandomVariateの関数とともに使うことができる．
予備知識
- CircularSymplecticMatrixDistribution[n]は，円シンプレクティックアンサンブル(CSE)とも呼ばれるもので，
ユニタリ自己双対複素行列上の統計分布，具体的には 
と 
の両方を満足する偶数次元の複素正方行列 
上の統計分布を表す．ただし，
は 
の共役転置，
は
恒等行列，
は 
の転置，
は 
の形式のシンプレクティック行列，⊗はクロネッカー積でを表す．母数 n は分布の次元母数と呼ばれるもので，任意の正の整数でよい．「円」シンプレクティック行列「分布」という名前ではあるが，この分布に属する行列がシンプレクティック行列である必要はない． - 円シンプレクティック行列分布は，円直交行列分布(CircularOrthogonalMatrixDistribution)および円ユニタリ行列分布(CircularUnitaryMatrixDistribution)と並んで，1962年にFreeman Dysonによって量子力学の研究のために考案された，もともとの円行列アンサンブルの一つである．円シンプレクティック行列分布は，確率論的には自己双対ユニタリ四元数平方行列上の一様分布である．円シンプレクティック行列分布のような行列アンサンブルは，ランダム行列理論をはじめとする物理学および数学のさまざま分野の研究において非常に重要である．
- RandomVariateを使って，円シンプレクティック行列分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．そのような変量の集合の平均，中央値，分散，モーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．Distributed[A,CircularSymplecticMatrixDistribution[n]]（より簡単な表記では ACircularSymplecticMatrixDistribution[n] ）を使ってランダム行列 A が円シンプレクティック行列分布に従って分布していると宣言することができる．そのような宣言はMatrixPropertyDistribution等の関数で使うことができる．
- 円シンプレクティック行列分布に従って分布する変量のトレース，固有値，ノルムは，それぞれTr，Eigenvalues，Normを使って計算することができる．そのような変量は，MatrixFunctionやMatrixPowerで調べることもできる．加えて，実部(Re)，虚部(Im)，複素引数(Arg) 等の関連する実際の量はMatrixPlotを使ってプロットできる．
- CircularSymplecticMatrixDistributionは他の数多くの分布と関係がある．上述の通り，この分布はCircularQuaternionMatrixDistribution，CircularRealMatrixDistribution，CircularOrthogonalMatrixDistribution，CircularUnitaryMatrixDistribution等の他の円形行列分布と定性的に類似している．円シンプレクティック行列分布は，もともとはいわゆるガウスアンサンブルの一般化として導かれたものなので，CircularSymplecticMatrixDistribution，GaussianOrthogonalMatrixDistribution，GaussianSymplecticMatrixDistribution，GaussianUnitaryMatrixDistributionと関係がある．CircularSymplecticMatrixDistributionはMatrixNormalDistribution，MatrixTDistribution，WishartMatrixDistribution，InverseWishartMatrixDistribution，TracyWidomDistribution，WignerSemicircleDistributionとも関係がある．
例題
すべて開く すべて閉じる例 (2)
𝓂 = RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[100]];UnitaryMatrixQ[𝓂]𝒥 = KroneckerProduct[{{0, -1}, {1, 0}}, IdentityMatrix[100, SparseArray]];
𝒥.Transpose[𝓂] == 𝓂.𝒥ランダム行列の固有値をMatrixPropertyDistributionで表し，そこからサンプルを取る：
RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], xCircularSymplecticMatrixDistribution[4]]]スコープ (3)
RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[2]]RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[2], 2]𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Max[Differences[Sort[Arg[Eigenvalues[m]]]]], mCircularSymplecticMatrixDistribution[50]];NExpectation[100x / (2Pi), x𝒟]アプリケーション (1)
CircularSymplecticMatrixDistributionの固有値の結合分布は，逆温度 
の円上のDysonのCoulombガスのBoltzmann分布でもある．系の粒子あたりの平均ハミルトニアンは以下の通りである（運動項は除く）：
hamiltonian[Z_] := Module[{n = Length[Z]},
Log[n] / 2 - Sum[Total[Log[Abs[Differences[Z, 1, k]]]], {k, n - 1}] / n
]ランダムなCSE行列上のハミルトン行列の値の分布を定義する：
h𝒟 = MatrixPropertyDistribution[hamiltonian[Take[SortBy[Eigenvalues[x], Arg], {1, -1, 2}]], xCircularSymplecticMatrixDistribution[n]];さまざまなサイズの系についてのハミルトン行列のサンプル平均を計算する：
means = Table[{n, Mean[RandomVariate[h𝒟, 1000]]}, {n, 10, 60, 10}]Show[ListPlot[means, PlotStyle -> {Red, PointSize[Medium]}, Filling -> Axis, PlotRange -> {0, 0.12}, AxesLabel -> {"N", "〈H〉"}], Plot[(1/2) ((3/2) - EulerGamma - Log[2]), {x, 0, 60}]]特性と関係 (2)
dim = 150;
args = RandomVariate[MatrixPropertyDistribution[Arg[Eigenvalues[x]], xCircularSymplecticMatrixDistribution[dim]], 100];Histogram[Join@@args, {-Pi, Pi, 2Pi / 40}, PDF]固有値間の間隔を，固有値がペアで現れることを考慮して計算する：
diffs = Join@@Map[Composition[Differences[#, 1, 2]&, Sort], (args/2Pi)dim];サンプルのレベル間隔のヒストグラムを，Dyson指数4についてWigner推測としても知られる閉形式と比較する：
WignerSurmisePDF[x_, β : 4] := (64 / (9 Pi)) ^ 3 x ^ 4 Exp[(-64 / (9 Pi)) x ^ 2]Show[Histogram[diffs, {0.1}, PDF], Plot[WignerSurmisePDF[x, 4], {x, 0, 2.5}]]次元 
大のCircularSymplecticMatrixDistributionの固有値については，四元数要素のスケールされた法はカイ二乗分布に従う：
With[{n = 50}, 𝒟 = MatrixPropertyDistribution[Flatten[Total[ArrayReshape[Abs[Eigenvectors[𝓂]] ^ 2, {2n, 2, n}], {2}]], 𝓂CircularSymplecticMatrixDistribution[n]]];data = 4Normalize[Join@@RandomVariate[𝒟, 25], Mean];ヒストグラムをChiSquareDistributionのPDFと比較する：
Show[Histogram[data, "Scott", PDF], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[4], x], {x, 0, 14}]]考えられる問題 (1)
CircularSymplecticMatrixDistributionからの行列はシンプレクティックである必要はない：
dim = 3;
cseℳ = RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[dim]];𝒥 = KroneckerProduct[{{0, -1}, {1, 0}}, IdentityMatrix[dim, SparseArray]];Norm[Transpose[cseℳ].𝒥.cseℳ - 𝒥]CircularQuaternionMatrixDistributionを使ってユニタリシンプレクティック行列をランダムに生成する：
cqeℳ = RandomVariate[CircularQuaternionMatrixDistribution[dim]];Norm[Transpose[cqeℳ].𝒥.cqeℳ - 𝒥]
Wolfram Research (2015), CircularSymplecticMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularSymplecticMatrixDistribution.html.
テキスト
Wolfram Research (2015), CircularSymplecticMatrixDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularSymplecticMatrixDistribution.html.
CMS
Wolfram Language. 2015. "CircularSymplecticMatrixDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularSymplecticMatrixDistribution.html.
APA
Wolfram Language. (2015). CircularSymplecticMatrixDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/CircularSymplecticMatrixDistribution.html