機械精度行列の固有系を求める：

18桁精度の固有値と固有ベクトルを近似する：

複素行列の固有系：

実数の厳密な固有系：

複素数の厳密な固有系：

記号行列の固有系：

大きい数値行列の固有値と固有ベクトルは効率的に計算される：

最も大きい3つの固有値と対応する固有ベクトルを計算する：

固有値をラベルに使って3つのベクトルを可視化する：

最も小さい3つの固有値に対応する固有系：

最も大きい4つの固有値（それより少ない場合はできるだけたくさん）の固有系を求める：

固有系の部分集合を抽出するときは，繰返された固有値が考慮される：

独立固有ベクトルより多くの固有値がある場合はゼロベクトルが使われる：

機械精度の一般化された固有値と固有ベクトルを計算する：

一般化された厳密な固有系：

結果を有限精度で計算する：

一般化された記号固有系を計算する：

最も小さい2つの一般化された固有値と対応する一般化された固有ベクトルを求める：

疎な行列の固有系：

構造化行列の固有系：

QuantityArrayオブジェクトの単位は固有値に含まれるので，固有ベクトルは無次元になる：

IdentityMatrix[n]のすべての固有値は1であり，その固有ベクトルはの標準基底を構成する：

HilbertMatrixの固有ベクトル：

行列がまず数値化されると，固有ベクトルは大きく変わる（固有値は変わらない）：

これは，数値入力に対して固有ベクトルが正規化されるためである：

CenteredInterval 行列の固有系：

m のランダムな代表元 mrep の固有系を求める：

ベクトルの順序付けおよびスケーリングを行った後で，vals が rvals を含み vecs が rvecs を含むことを検証する：

3×3のヴァンデルモンド(Vandermonde)の行列：

一般に，厳密な3×3行列の場合，結果はRootオブジェクトで与えられる：

結果を累乗根の形で得たいのであれば，Cubicsオプションを使うとよい：

Rootオブジェクトによる結果の方が，続く数値評価には適している：

4×4行列：

一般に，4×4行列の場合，結果はRootオブジェクトで与えられる：

CubicsオプションとQuarticsオプションを使って，結果を累乗根で得ることもできる：

正の固有値を持つ固有ベクトルは，行列の作用を受けたときに同じ方向を指す：

負の固有値を持つ固有ベクトルは，行列の作用を受けたときに逆の方向を指す：

次の行列 と関連する二次形式 について考える：

固有ベクトルは によって定義される双曲線の軸である：

固有値の符号は双曲線方程式の右辺の符号に対応する：

次は3Dにおける正定値二次形式である：

曲面 をプロットする：

CoefficientArraysを使って二次形式の対称行列を得る：

その固有値と固有ベクトルを数値的に計算する：

楕円の主軸を示す：

次の行列を として対角化する．まず， の固有値と固有ベクトルを計算する：

固有値と列が固有ベクトルである行列 から対角行列 を構築する：

恒等式 を確認する：

これで，行列の任意の関数が として計算できるようになった．例えばMatrixPower：

同様に，MatrixExpが自明となって の対角要素を累乗することしか必要としなくなった：

を，その標準行列が行列 で与えられる線形変換とする．基底 における の表現が対角であるという特性を持つの基底 を求める：

の固有値と固有ベクトルを求める：

が固有ベクトルからなり， が列が の要素である行列であるとする：

は の座標から標準座標に変換する．この逆変換は逆方向に変換する：

したがって，は で与えられるが，これは対角である：

これは，単に要素が固有値の対角行列である：

実対称行列は，のように直交対角化可能である．ただし， は実対角行列であり， は直交行列である．次の行列が対象であることを確認し，次にこれを対角化する：

固有値と固有ベクトルを計算する：

行列 は対角上に固有値を持つ：

直交行列については，固有ベクトルを列に置く前に正規化する必要がある：

この行列は直交行列である：

であることを確認する：

のとき，その行列は正規行列と呼ばれる．正規行列はユニタリ変換で対角化できる最も一般的な行列である．実対称行列 は，方程式の両辺が なので，すべて正規行列である：

次の行列が正規行列であることを示し，次にこれを対角化する：

NormalMatrixQを使って確認する：

固有値と固有ベクトルを求める：

この行列の対角行列は，実対称行列とは異違って複素数値である：

固有ベクトルを正規化してそれを列に置くとユニタリ行列になる：

対角化 を確認する：

対角化不可能な行列の固有系：

すべての固有ベクトルのスパンの次元は固有値の数より低い：

1と0のランダムな4×4行列は対角化不可能である：

常微分方程式の系 , , を解く．まず，右辺のために係数行列 を構築する：

固有値と固有ベクトルを求める：

各項が の指数関数である対角行列を構築する：

列が対応する固有ベクトルである行列を構築する：

3つの任意の初期値についての一般解は である：

DSolveValueを使って解を確かめる：

粒子が平面の力場で動いており，その位置ベクトル が と を満足するとする．ただし， と は以下であるとする．のときのこの初期問題を解く：

まず， の固有値と対応する固有ベクトルを計算する：

系の一般解は である．LinearSolveを使って係数を決定する：

固有ベクトルの適切な線形結合を構築する：

DSolveValueを使って解を確かめる：

が以下の確率行列であるときの動的な系 の一般解を生成する：

固有値と固有ベクトルを求め，Chopを使って小さい数値誤差を切り捨てる：

一般解は項のの形の任意の線形結合である：

が数値の丸めまで動的方程式を満足することを確認する：

ローレンツ(Lorenz)方程式：

方程式の右辺のヤコビ(Jacobi)行列を求める：

均衡点を求める：

第1象限の平衡点におけるヤコビ行列の固有値と固有ベクトルを求める：

dir の方向にある pt の小さい摂動から逆方向に積分する関数：

右側の均衡点についての安定した曲線を示す：

左側の均衡点についての安定した曲線を求める：

安定した曲線をローレンツの方程式の解とともに示す：

量子力学では，状態はエルミート線形演算子による複素単位ベクトルと物理量で表される．固有値は可能な観測値を表，固有ベクトルに関する成分の二乗係数をはそれらの観測値の確率を表す．与えられたスピン演算子 と状態 について，可能な観測値とその確率を求める：

固有系を計算する，可能な観測値はである：

適切な射影を計算するために固有ベクトルを正規化する：

相対確率はについてでについてはである：

量子力学では，エネルギー演算子はハミルトニアン と呼ばれ，エネルギーが の状態はシュレーディンガー方程式 に従って進化する．一定磁場で 方向にスピン1粒子に対するハミルトニアンが与えられたとして，初期状態が を表す状態であった粒子の時点 における状態を求める：

固有系を計算する．エネルギーレベルはとである：

固有ベクトルを正規化する：

時点 における状態はシュレーディンガー方程式に従って進化する各固有状態の和である：

慣性モーメントはさまざまな方向への回転に対する剛体の抵抗を表す実対称行列である．この行列の固有値は主慣性モーメントと呼ばれ，対応する固有ベクトル（必然的の直交ベクトル）は主軸である．以下の四面体の主慣性モーメントと主軸を求める：

まず，慣性モーメントを計算する：

主モーメントと軸を計算する：

軸が直交することを確認する：

四面体の重心は原点にある：

四面体とその主軸を可視化する：

一般化された固有系を使って項を分離するための練成振動の正規モードを求めることができる．以下の図に示した系について考える：

フックの法則によると，これはと に従う．一般解の を代入すると，以下のように，剛性行列 ，質量行列 の行列方程式 が与えられる：

, , , のときの固有周波数と正規モードを求める：

一般化された固有値問題を解く：

固有周波数 は固有値の平方根である：

正規モードの解を一般化された固有ベクトル掛ける対応する指数関数として構築する：

どちらもこの系についての微分方程式を満足することを確認する：