求机器精度矩阵的特征系统：

近似的 18-位精度的特征值和特征向量：

复矩阵的特征系统：

精确的实特征系统：

精确的复特征系统：

符号矩阵的特征系统：

高效计算大型数值矩阵的特征值和特征向量：

计算三个最大的特征值及其相应的特征向量：

可视化这三个向量，用特征值作为标签：

与三个最小的特征值对应的特征系统：

求与四个最大的特征值对应的特征系统，如果没有那么多，则有多少给出多少：

提取特征系统的子集时考虑重复的特征值：

当特征值多于独立的特征向量时，将使用零向量：

计算机器精度的广义特征值和特征向量：

广义的精确特征系统：

以有限的精度计算结果：

计算符号广义特征系统：

求两个最小的广义特征值和相应的广义特征向量：

稀疏矩阵的特征系统：

结构化矩阵的特征系统：

QuantityArray 对象的单位在特征值中，特征向量无量纲：

矩阵 IdentityMatrix[n] 的所有特征值均为 1，其特征向量构成 的标准基：

HilbertMatrix 的特征向量：

如果先对矩阵进行数字化，则特征向量（而不是特征值）将发生显著变化：

这是因为对于数值输入，特征向量会被归一化：

CenteredInterval 矩阵的特征系统：

求 m 的随机代表 mrep 的特征系统：

验证矢量重新排序和缩放后，vals 包含 rvals，vecs 包含 rvecs：

3×3 范德蒙行列式：

一般来说，对于精确 3×3 矩阵，结果以 Root 对象给出：

若要获得以根式表示的结果，使用 Cubics 选项：

注意与 Root 对象有关的结果更适合随后的数值计算：

4×4 矩阵：

一般来说，对于一个 4×4 矩阵，会用 Root 对象给出结果：

可以用 Cubics 和 Quartics 选项得到以根式表示的结果：

当被矩阵作用时，特征值为正的特征向量指向相同的方向：

当被矩阵作用时，特征值为负的特征向量指向相反的方向：

考虑以下矩阵 及其相关的二次型 ：

特征向量是由 定义的双曲线的轴：

特征值的符号对应于双曲线方程右侧的符号：

此为三维正定二次型：

绘制曲面 ：

用 CoefficientArrays 获取二次型的对称矩阵：

用数值法计算其特征值和特征向量：

显示椭球体的主轴：

将以下矩阵对角化为 . 首先，计算 的特征值和特征向量：

根据特征值和列为特征向量的矩阵 构造对角矩阵 ：

确认恒等式 ：

现在可以将矩阵的任何函数以 的形式计算. 例如，MatrixPower：

同样，只需要对 的对角线元素求幂可使 MatrixExp 变为平凡：

设 是一个线性变换，其标准矩阵由矩阵 给出. 在 中找到一个基 ，使得 在该基下的表示 为对角矩阵：

求 的特征值和特征向量：

令 由特征向量组成，设 为矩阵，该矩阵的列是 的元素：

从 坐标转换为标准坐标. 其逆矩阵变换为反方向：

因此 由 给出，这是一个对角矩阵：

请注意这只是对角矩阵，其项为特征值：

实值对称矩阵可正交对角化为 ，其中 为实对角矩阵且 为正交矩阵. 验证以下矩阵是否对称，并进行对角化：

计算特征值和特征向量：

矩阵 在对角线上具有特征值：

对于正交矩阵，需要在将特征向量放入列之前对其归一化：

该矩阵是正交矩阵：

验证 ：

如果 ，则矩阵称为正规矩阵. 正规矩阵是可以通过酉变换进行对角化的最常见的一种矩阵. 所有实对称矩阵 都是正规矩阵，因为等式的两边就是 ：

证明下面的矩阵是正规矩阵，并将其对角化：

用 NormalMatrixQ 进行验证：

求特征值和特征向量：

与实对称矩阵不同，该矩阵的对角矩阵具有复数值：

对特征向量进行正规化并将其放置于列中会得到酉矩阵：

验证对角化 ：

不可对角化矩阵的特征系统：

所有特征向量的空间维数小于特征值的个数：

计算一个由 1 和 0 组成的随机 4×4 矩阵不可对角化的概率：

求解常微分方程 (ODE) 方程组 , , . 首先，构造右侧的系数矩阵 ：

求特征值和特征向量：

构造一个对角矩阵，其项是 的指数：

构造其列是对应特征向量的矩阵：

三个任意起始值的通解为 ：

使用 DSolveValue 验证解：

假设一个粒子在平面力场中运动，其位置向量 满足 且 ，下面给出了 和 . 求解 时的初始问题：

首先，计算 的特征值和对应的特征向量：

方程组的通解为 . 使用 LinearSolve 确定系数：

为特征向量构建线性组合：

使用 DSolveValue 验证该解：

当 是以下随机矩阵时，计算动力系统 的通解：

求特征值和特征向量，使用 Chop 丢弃小数值误差：

通解是形式为 的项的任意线性组合：

验证 在数值舍入完成之前满足动力学方程：

Lorenz 方程：

求以下方程组右侧的雅可比矩阵：

求平衡点：

在第一象限的平衡点处求雅可比矩阵的特征值和特征向量：

一个从点 pt 沿方向 dir 进行微小扰动后逆向积分的函数：

显示右侧平衡点的稳定曲线：

求左侧平衡点的稳定曲线：

显示稳定曲线与洛伦兹方程的解：

在量子力学中，状态由复单位向量表示，物理量由厄米特线性算子表示. 特征值表示可能的观测值，关于特征向量的分量的模的平方表示这些观测值的概率. 对于给定的自旋算子 和状态 ，求可能的观测值及其概率：

计算特征系统，可能的观测值为 ：

归一化特征向量以计算正确的投影：

的相对概率为 ， 的为 ：

在量子力学中，能量算子称为哈密顿量 ，能量为 的状态根据薛定谔方程 演化. 给定 方向上恒定磁场中自旋为 1 的粒子的哈密顿量，求初始状态为 （表示 ）的粒子在时刻 的状态：

计算特征系统，能级为 和 ：

正规化特征向量：

时间 的状态是根据薛定谔方程演化的每个特征态的总和：

惯性矩是一个实对称矩阵，描述了刚体对不同方向旋转的阻力. 该矩阵的特征值称为主惯性矩，相应的特征向量（必须正交）称为主轴. 求下列四面体的主惯性矩和主轴：

首先计算惯性矩：

计算主惯性矩及轴：

验证轴为正交：

四面体的质心在原点：

可视化四面体及其主轴：

广义特征系统可用于找到解耦项的耦合振荡的正规模. 思考图中所示的系统：

根据胡克定律，该系统服从 , . 代入通解 得到矩阵方程 ，其中刚度矩阵 和质量矩阵 为如下：

如果 , , 且 ，求特征频率和正规模：

求解广义特征值问题：

特征频率 是特征值的平方根：

将正规模解构造为广义特征向量乘以相应指数：

验证两者是否满足系统的微分方程：