機械精度の行列の固有ベクトルを求める：

18桁精度の固有ベクトルを近似する：

複素行列の固有ベクトル：

厳密な実行列の固有ベクトル：

厳密な複素行列の固有ベクトル：

記号による固有ベクトル：

大きい数値行列の固有ベクトルは効率的に計算できる：

3つの最大固有値に対応する固有ベクトルを計算する：

3つのベクトルを可視化する：

3つの最小固有値に対応する固有ベクトル：

4つの最大固有値（4より数が少なければできるだけたくさん）に相当する固有ベクトルを求める：

固有値の部分集合を抽出する際には繰返しが考慮される：

最初の2つのベクトルはどちらも固有値4に対応する：

3番目は固有値3に対応する：

独立固有ベクトルよりもたくさんの固有値がある場合はゼロベクトルが使われる：

機械精度の一般化された固有ベクトルを計算する：

厳密な固有ベクトルを一般化する：

結果を有限精度で計算する：

一般化された記号固有ベクトルを計算する：

一般化された2つの最小固有値に対応する一般化された固有ベクトルを求める：

疎な行列の固有ベクトル：

構造化行列の固有ベクトル：

QuantityArrayオブジェクトの単位は固有値に付き，固有ベクトルは無次元になる：

IdentityMatrix[n]の固有ベクトルはベクトル空間の標準バイアスを形成する：

HilbertMatrixの固有ベクトル：

行列を最初に数値化した場合，固有値は大きく変化しないが，固有ベクトルは著しく変化する：

これは，数値入力に対して固有ベクトルが正規化されるためである：

CenteredInterval行列の固有ベクトル：

m のランダムな代表である mrep について，固有ベクトルを求める：

順序付けおよびスケーリングを行った後に，vecs が rvecs を含んでいることを検証する：

3×3のVandermonde行列：

一般に，厳密値の3×3行列については，結果はRootオブジェクトによって与えられる：

累乗根によって結果を得たい場合は，Cubicsオプションを使う：

4×4行列：

一般に，4×4については，結果はRootオブジェクトによって与えられる：

CubicsおよびQuarticsの両オプションを使うと，累乗根による結果を得ることができる：

正の固有値を持つ固有ベクトルは，行列の作用を受けたときに同じ方向を指す：

負の固有値を持つ固有ベクトルは，行列の作用を受けたときに逆の方向を指す：

次の行列 と関連する二次形式について考える：

固有ベクトルは によって定義される双曲線の軸である：

固有値の符号は双曲線方程式の右辺の符号に対応する：

次は3Dにおける正定値二次形式である：

曲面 をプロットする：

CoefficientArraysを使って二次形式の対称行列を得る：

その固有値と固有ベクトルを数値的に計算する：

楕円の主軸を示す：

次の行列を として対角化する．まず， の固有値を計算する：

固有値から対角行列 を構築する：

次に， の固有ベクトルを計算し，それを行列の列に置く：

恒等式 を確認する：

これで，行列の任意の関数が として計算できるようになった．例えばMatrixPower：

同様に，MatrixExpが自明となって の対角要素を累乗することしか必要としなくなった：

を，その標準行列が行列 で与えられる線形変換とする．基底における の表現が対角であるという特性を持つの基底 を求める：

が の固有ベクトルからなり， が列が の要素である行列であるとする：

は の座標から標準座標に変換する．この逆変換は逆方向に変換する：

したがって，は で与えられるが，これは対角である：

これは，単に要素が固有値の対角行列である：

実対称行列は，のように直交対角化可能である．ただし， は実対角行列であり は直交行列である．次の行列が対象であることを確認し，次にこれを対角化する：

の固有ベクトルを求める：

直交行列については，固有ベクトルを列に置く前にこれを正規化する必要がある：

固有値を計算する．予想通りこれらは実数である：

行列 は対角上に固有値を持つ：

であることを確認する：

のとき，その行列は正規行列と呼ばれる．正規行列はユニタリ変換で対角化できる最も一般的な行列である．実対称行列 は，方程式の両辺が なので，すべて正規行列である：

次の行列が正規行列であることを示し，次にこれを対角化する：

NormalMatrixQを使って確認する：

固有ベクトルを計算する：

固有ベクトルを正規化してこれを列に置くとユニタリ行列になる：

対称行列ではない実正規行列の固有値は複素数値である：

固有値から対角行列を構築する：

対角化 を確認する：

対角化されていない行列の固有ベクトル：

すべての固有ベクトルのスパンの次元は行列の長さ3より小さい：

ランダムな1と0からなる4x4行列が対角化できない可能性を推定する：

常微分方程式の系 , , を解く．まず，右辺のために係数行列 を構築する：

固有値と固有ベクトルを求める：

各項が の指数関数である対角行列を構築する：

列が対応する固有ベクトルである行列を構築する：

3つの任意の初期値についての一般解は である：

DSolveValueを使って解を確かめる：

粒子が平面の力場で動いており，その位置ベクトル が と を満足するとする．ただし， と は以下であるとする．のときのこの初期値問題を解く：

まず， の固有値と対応する固有ベクトルを計算する：

系の一般解は である．LinearSolveを使って係数を決定する：

固有ベクトルの適切な線形結合を構築する：

DSolveValueを使って解を確かめる：

が以下の確率行列であるときの動的な系 の一般解を生成する：

固有値と固有ベクトルを求め，Chopを使って小さい数値誤差を切り捨てる：

一般解は項のの形の任意の線形結合である：

が数値の丸めまで動的方程式を満足することを確認する：

ローレンツ(Lorenz)方程式：

方程式の右辺のヤコビ(Jacobi)行列を求める：

均衡点を求める：

第1象限の1つでヤコビ行列の固有値と固有ベクトルを求める：

dir の方向にある pt の小さい摂動から逆方向に積分する関数：

右側の均衡点についての安定した曲線を示す：

左側の均衡点についての安定した曲線を求める：

安定した曲線をローレンツの方程式の解とともに示す：

量子力学では，状態はエルミート線形演算子による複素単位ベクトルと物理量で表される．固有値は可能な観測値を表，固有ベクトルに関する成分の二乗係数をはそれらの観測値の確率を表す．与えられたスピン演算子 と状態 について，可能な観測値とその確率を求める：

適切な射影を計算するために固有ベクトルを求めて正規化する：

固有値を計算する，可能な観測値はである：

相対確率はについてでについてはである：

量子力学では，エネルギー演算子はハミルトニアン と呼ばれ，エネルギーが の状態はシュレーディンガー方程式 に従って進化する．一定磁場で 方向にスピン1粒子に対するハミルトニアンが与えられたとして，初期状態が を表す状態であった粒子の時点 における状態を求める：

固有ベクトルを求めて正規化する：

固有値を計算する．エネルギーレベルはとである：

時点 における状態はシュレーディンガー方程式に従って進化する各固有状態の和である：

慣性モーメントはさまざまな方向への回転に対する剛体の抵抗を表す実対称行列である．この行列の固有値は主慣性モーメントと呼ばれ，対応する固有ベクトル（必然的の直交ベクトル）は主軸である．以下の四面体の主慣性モーメントと主軸を求める：

まず，慣性モーメントを計算する：

主軸は の固有ベクトルである：

主モーメントは の固有値である：

軸が直交することを確認する：

四面体の重心は原点にある：

四面体とその主軸を可視化する：

一般化された固有系を使って項を分離するための練成振動の正規モードを求めることができる．以下の図に示した系について考える：

フックの法則によると，これはと に従う．一般解の を代入すると，以下のように，剛性行列 ，質量行列 の行列方程式 が与えられる：

, , , のときの固有周波数と正規モードを求める：

モードの形状は についての の一般化された固有ベクトルから導かれる：

一般化された固有値を計算する：

固有周波数 は固有値の平方根である：

正規モードの解を一般化された固有ベクトル掛ける対応する指数関数として構築する：

どちらもこの系についての微分方程式を満足することを確認する：