JohnsonDistribution

JohnsonDistribution["SB",γ,δ,μ,σ]

形状母数 γ，δ，位置母数 μ，尺度母数 σ の有界のジョンソン(Johnson)分布を表す．

JohnsonDistribution["SL",γ,δ,μ,σ]

半有界のジョンソン分布を表す．

JohnsonDistribution["SU",γ,δ,μ,σ]

非有界のジョンソン分布を表す．

JohnsonDistribution["SN",γ,δ,μ,σ]

正規ジョンソン分布を表す．

詳細

予備知識

  • JohnsonDistribution["type",γ,δ,μ,σ]は，第1引数によって4タイプの1つに属し，実数 γ（「形状母数」と呼ばれる）と μ（「位置母数」と呼ばれる），さらに正の実数 δ（「形状母数」と呼ばれる）と σ（「尺度母数」と呼ばれる）によってパラメータ化される統計分布を表す．ジョンソン分布の確率密度関数(PDF)は，大体において単一の「峰」（最大値）がある単峰性である．その全体的な形（高さ，広がり， 軸周囲への集中度）は，引数の値によって完全に決定される．これに加え，PDFの裾部はPDFが x の大きい値について代数的というよりむしろ指数的に減少するという意味で「薄い」（この動作は分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に正確にすることができる）．
  • ジョンソン分布は英国の統計学者Norman Johnsonによって提案された．彼は，1940年代の終りに，当時存在した関数表を使って簡単に計算できる一連の単純な変換を介して，正規分布(NormalDistribution)の確立したメソッドと理論を正規分布ではない可能性がある幅広い確率分布に適用するためにこれを考案した．正規分布ではない観測された分布を与えられた場合に，指数変換，ロジスティック変換，双曲線正弦変換が，対数正規（タイプ"SL"），非有界（タイプ"SU"），有界（タイプ"SB"）のジョンソン分布をそれぞれ生成する．正規("SN")分布はすでに正規分布になっている観測された分布に対応する．この柔軟性のために，ジョンソン分布族は，環境化学，生体医用工学，経済学，経営学，物質科学を含む，現実世界におけるさまざまな分野のデータ集合の解析に使われてきた．
  • RandomVariateを使って，ジョンソン分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,JohnsonDistribution["type",γ,δ,μ,σ]]（より簡略な表記では xJohnsonDistribution["type",γ,δ,μ,σ]）を使って，確率変数 x が指定された"type" （本文中に説明されている，"SB"，"SL"，"SN"，"SU"の1つ）のジョンソン分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
  • ジョンソン分布の確率密度関数および累積分布関数は，PDF[JohnsonDistribution["type",γ,δ,μ,σ],x]およびCDF[JohnsonDistribution["type",γ,δ,μ,σ],x]を使って得られる．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
  • DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合がジョンソン分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックジョンソン分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータをジョンソン分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号ジョンソン分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号ジョンソン分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
  • TransformedDistributionを使って変換されたジョンソン分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使ってジョンソン分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使ってジョンソン分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
  • JohnsonDistributionは他の多数の分布と密接な関係がある．例えば，JohnsonDistributionは，ジョンソンの原著論文で，PearsonDistributionと比較され，対比されており，分布そのものも4つすべてのタイプが（TransformedDistributionを介して）NormalDistributionの変換であると定義されている. JohnsonDistributionの"SL"タイプはLogNormalDistributionの一般化であり，JohnsonDistributionはHalfNormalDistribution，FisherZDistribution，ArcSinDistribution，BetaPrimeDistribution，PowerDistribution，ParetoDistribution，InverseChiSquareDistribution，ErlangDistributionとも密接な関係がある．

例題

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例  (5)

有界(SB)の確率密度関数：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

有界(SB)の累積分布関数：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

有界(SB)の平均は数値的に求めることができる：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

有界(SB)の分散は数値的に求めることができる：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

有界(SB)の中央値：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

スコープ  (8)

有界のジョンソン分布から擬似乱数のサンプルを生成する：

そのヒストグラムを確率密度関数と比較する：

分布母数推定：

サンプルデータから分布母数を推定する：

サンプルの密度ヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

半有界(SL)の歪度：

非有界(SU)：

正規(SN)：

半有界の(SL)尖度：

非有界(SU)：

正規(SN)：

母数の関数としての閉形式の種々のモーメント：

有界(SB)の場合，記号母数には閉形式はないが，数値的に評価することができる：

半有界(SL)：

Moment：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

非有界(SU)：

Moment：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

正規(SN)：

Moment：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

有界(SB)のハザード関数：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

有界(SB)の分位関数：

半有界(SL)：

非有界(SU)：

正規(SN)：

母数でQuantityを一貫して使うとQuantityDistributionが与えられる：

積雪量の平均を求める：

アプリケーション  (1)

ジョンソン分布を使って積雪記録をモデル化することができる：

ジョンソン(SU)分布をデータにフィットさせる：

特性と関係  (8)

ジョンソン分布族は平行移動と正の因子によるスケーリングの下では閉じている：

他の分布との関係：

正規(SN)ジョンソン分布はNormalDistributionである：

正規(SN)ジョンソン分布は標準NormalDistributionを変換したものである：

NormalDistributionの変換としての半有界(SL)ジョンソン分布：

まず を仮定する：

次に を仮定する：

NormalDistributionの変換としての非有界(SU)ジョンソン分布：

NormalDistributionの変換としての有界(SB)ジョンソン分布 ：

半有界(SL)ジョンソン分布の特殊ケースはLogNormalDistributionである：

おもしろい例題  (1)

累積分布関数の等高線を持つ γ のさまざまな値についての確率密度関数：

Wolfram Research (2010), JohnsonDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/JohnsonDistribution.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), JohnsonDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/JohnsonDistribution.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "JohnsonDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/JohnsonDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2010). JohnsonDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/JohnsonDistribution.html

BibTeX

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BibLaTeX

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