SolveValues

SolveValues[expr,vars]

给出由系统 expr 的解确定的 vars 的值.

SolveValues[expr,vars,dom]

在定义域 dom 上使用解. dom 的常见选择是 Reals、Integers 和 Complexes.

更多信息和选项

  • 系统 expr 可以是以下内容的任何逻辑组合：
  • lhs==rhs等式
    lhs!=rhs不等式
    lhs>rhs 或 lhs>=rhs 不等式
    expr∈dom定义域规范
    {x,y,…}∈reg区域规范
    ForAll[x,cond,expr]通用量词
    Exists[x,cond,expr]存在量词
  • SolveValues[{expr1,expr2,…},vars] 等价于 SolveValues[expr1&&expr2&&…,vars].
  • 如果指定了单个变量，则结果是使 expr 为 True 的变量值列表.
  • 如果指定了变量列表，则结果是使 expr 为 True 的变量值列表的列表.
  • 当指定单个变量且方程特根的多重性大于 1 时，SolveValues 会提供相应解的多个副本.
  • SolveValues[expr,vars] 默认假设不等式中以代数形式出现的数量是实数，而所有其他量都是复数.
  • SolveValues[expr,vars,dom] 限定所有变量和参数均属于定义域 dom.
  • 如果 dom 为 Reals 或诸如 Integers 或 Rationals 等子集， 则所有常量和函数值也都被限定为实数.
  • SolveValues[expr&&vars∈Reals,vars,Complexes] 求解变量的实数值，但函数值可以是复数.
  • SolveValues[expr,vars,Integers] 在整数上求解丢番图方程.
  • SolveValues[…,x∈reg,Reals] 将 x 约束在区域 reg 中. 可以使用 Indexed[x,i] 引用 x 的不同坐标.
  • 在 expr 中无 vars 的代数变量被视为独立参数.
  • SolveValues 主要处理线性和多项式方程.
  • 当 expr 仅涉及实数或复数域上的多项式方程式和不等式时，SolveValues 原则上始终可以直接求解 vars.
  • 当 expr 涉及超越条件或整数域时，SolveValues 通常会在其结果中引入其他参数.
  • SolveValues 可以给出所有线性方程和不等式的整数解的显式表示形式，并且可以求解文献中描述的大部分丢番图方程.
  • 当 expr 仅涉及实数域或复数域上的多项式条件时，SolveValues[expr,vars] 将始终能够消除量词.
  • SolveValues 仅提供通解. 仅在连续参数满足方程式时有效的解将被删除. 其他仅在一定条件上有效的解则表示为 ConditionalExpression 对象.
  • 在 ConditionalExpression 解中包括的条件可能涉及不等式、Element 语句、非连续参数上的方程和不等式及具有全维解的方程. 连续参数和变量上的不等式和 NotElement 条件将被舍弃.
  • SolveValues 可能使用非等价变换来求超越方程的解，因此可能找不到某些解，并且可能无法为所得到的解的有效性建立确切条件. 如果发生这种情况，将发出错误消息.
  • SolveValues 使用特殊的有效技术来处理具有近似数值系数的稀疏线性方程组.
  • 可以给出以下选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的假设
    Cubics Automatic是否使用显式根式来求解所有三次方程
    GeneratedParameters C如何命名生成的参数
    InverseFunctions Automatic是否使用符号式反函数
    MaxExtraConditions 0在连续参数上所允许的额外等式条件数
    MaxRoots Infinity返回的根的最大数目
    Method Automatic应该使用什么方法
    Modulus 0整数假设的模数
    Quartics Automatic是否使用显式根式来解决所有四次方程
    VerifySolutions Automatic是否验证使用非等价变换获得的解
    WorkingPrecision Infinity计算中使用的精度
  • 使用 MaxExtraConditions->Automatic，仅包含需要在连续参数上具有最少数量等式条件的解.
  • 使用 MaxExtraConditions->All，将给出在参数上需要任意条件的解，并且包括所有条件.
  • 使用 MaxExtraConditions->k，仅包括在连续参数上最多需要 k 个等式条件的解.
  • 使用 Method->Reduce，SolveValues 仅使用等效转换并找到所有解.
  • SolveValues[eqns,…,Modulus->m] 在整数模 m 上求解方程. 使用 Modulus->Automatic，SolveValues 将尝试找到使方程有解的最大模数.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (5)

求解二次方程：

求解 和 的联立方程：

在实数上求解方程：

在正整数上求解方程：

在几何区域上求解方程：

范围  (87)

基本用法  (7)

解以指定变量的值列表形式给出：

检查解是否满足以下方程：

如果无解，SolveValues 将返回空列表：

一些变量可能以自由参数的形式出现在解中：

在指定定义域上求解：

求解系数涉及符号参数的方程：

绘制作为参数 a 的函数的 y 的解的实部：

该方程在实数上的求解需要以下参数条件：

使用 Normal 删除条件：

在正整数上求解此方程需要引入一个新参数：

列出前10个解：

单变量复数方程  (16)

可以以根式求解的多项式方程：

要使用通用公式求解三次方程式，需设置 CubicsTrue：

默认情况下，SolveValues 使用 Root 对象表示一般三次方程的解：

一般多项式方程：

具有多个根的多项式方程：

求出高次多项式的五个根：

具有符号系数的多项式方程：

代数方程：

超越方程的完整解：

超越方程的部分解：

SolveValues 无法在这里找到所有解：

找到三个解：

有界区域上的单变量初等函数方程：

有界区域上的单变量全纯函数方程：

这里 SolveValues 找到了一些解，但无法证明没有其他解：

在复平面上的垂直条带上具有纯虚周期的方程：

找到无限制复数方程的指定数量的根：

符号函数：

非解析复数方程：

多变量复方程组  (12)

线性方程组：

具有符号系数的线性方程：

欠定线性方程组：

无解的线性方程：

多项式方程组：

找出多项式方程组的一万亿个根中的五个：

具有符号系数的多项式方程：

代数方程：

超越方程：

找到超越方程的指定数量的解：

有界框上的平方解析方程组：

非解析方程：

单变量实数方程  (13)

多项式方程：

具有多个根的多项式方程：

具有符号系数的多项式方程：

代数方程：

分段方程：

超越方程，可使用反函数求解：

超越方程，可使用特殊函数零点求解：

超越不等式，可使用特殊函数零点求解：

Exp-Log方程：

高次稀疏多项式方程：

涉及高次根的代数方程：

涉及非有理实数幂的方程：

具有双根的方程：

驯服初等函数方程：

有界区间上的初等函数方程：

有界区间上的全纯函数方程：

在实数上的周期初等函数方程：

多变量实数方程组和不等式组  (10)

线性系统：

多项式系统：

量化多项式系统：

代数系统：

分段系统：

超越系统，可使用反函数求解：

在第一个变量中为指数-对数，在其他变量中为多项式的系统：

量化系统：

在第一个变量中为初等和有界，在其他变量中为多项式的系统：

量化系统：

在第一个变量中为全纯和有界，在其他变量中为多项式的系统：

量化系统：

有界区域上解析方程的平方系统：

丢番图方程  (11)

线性方程组：

线性方程和不等式组：

单变量多项式方程：

二元二次方程：

Thue 方程：

平方和方程：

毕达哥拉斯方程：

方程和不等式的有界系统：

无解的高次系统：

超越丢番图系统：

同余多项式系统：

模方程  (4)

线性系统：

单变量多项式方程：

多项式方程和不等式的系统：

量化多项式系统：

有限域上的方程  (3)

一元方程：

线性方程组：

多项式方程组：

具有混合变量域的系统  (2)

实变量和复变量混合：

实变量和整数变量混合：

具有几何区域约束的系统  (9)

在二维特殊区域上求解：

绘图：

在三维特殊区域上求解：

绘图：

量化系统：

隐式定义的区域：

参数式定义的区域：

派生区域：

绘图：

消除区域笛卡尔积的量词：

取决于参数的区域：

答案取决于参数值 ：

使用 指定 是在 上的向量：

在这种情况下， 是在 上的向量：

选项  (26)

Assumptions  (4)

使用 Assumptions 指定关于参数的条件：

默认情况下，需要参数满足方程的解不会产生：

将关于参数的方程作为假设给出，将返回一个解：

包含求解变量的假设被当作系统的一部分来求解：

不使用 Assumptions 的等效语句：

假定参数属于离散集合，则返回涉及任意条件的解：

Cubics  (3)

默认情况下，仅当存在符号参数时，SolveValues 才使用带根式的三次方程的通用求根公式求解：

对于具有数字系数的多项式，SolveValues 不使用求根公式：

使用 Cubics->False，SolveValues 从不使用求根公式：

使用 Cubics->True，SolveValues 始终使用求根公式：

GeneratedParameters  (1)

SolveValues 可能会引入新的参数来表示解：

使用 GeneratedParameters 控制参数如何生成：

InverseFunctions  (3)

默认情况下，SolveValues 使用反函数，但显示警告消息：

对于具有 NumericFunction 属性的符号，不使用符号反函数：

使用 InverseFunctions->True，SolveValues 不显示反函数警告消息：

符号反函数适用于所有符号：

使用 InverseFunctions->False，SolveValues 不使用反函数：

求解代数方程不需要使用反函数：

在这里，使用了基于 Reduce 的方法，因为它不需要使用反函数：

MaxExtraConditions  (4)

默认情况下，不会产生需要额外条件的解：

除非参数是离散的：

默认设置 MaxExtraConditions->0 不给出需要条件的解：

MaxExtraConditions->1 给出需要最多一个参数方程的解：

MaxExtraConditions->2 给出最多需要两个参数方程的解：

给出需要最少数量的参数方程的解：

给出所有解：

默认情况下，SolveValues 删除连续参数上的不等式条件：

使用 MaxExtraConditions->All，SolveValues 包括所有条件：

MaxRoots  (4)

求多项式的 个根中的 个根：

求多项式方程组的 个根中的 个根：

求超越方程组的 个解：

当系统包含符号参数时，选项值将被忽略：

Method  (1)

默认情况下，SolveValues 使用反函数来求解非多项式复数方程：

设置 Method->Reduce，SolveValues 将使用 Reduce 找到完整的解集：

Modulus  (1)

在整数范围内求解模数为 9 的方程：

Quartics  (3)

默认情况下，仅当存在符号参数时，SolveValues 才使用带根式的四次方程的通用求根公式求解：

对于具有数字系数的多项式，SolveValues 不使用求根公式：

使用 Quartics->False，SolveValues 从不使用求根公式：

使用 Quartics->True，SolveValues 始终使用求根公式：

VerifySolutions  (1)

SolveValues 验证使用非等效转换获得的解：

使用 VerifySolutions->False，SolveValues 不验证解：

使用 VerifySolutions->False 返回的某些解不正确：

这里使用快速数值检验来尝试选择正确的解：

在这种情况下，数值检验可提供正确的解集：

WorkingPrecision  (1)

默认情况下，SolveValues 得到方程的精确解：

使用 100 位的数值精度计算解速度更快：

结果与精确解的前100位数值一致：

使用机器精度求解要快得多：

结果仍然非常接近精确解：

应用  (7)

求解二次方程：

求圆和抛物线的交点：

求四次方程所有根均相等的条件：

一种方法是使用 Subresultants：

量词消除法：

绘制由隐式描述给出的空间曲线：

绘制空间曲线在 {x,y} 平面上的投影：

求勾股数：

求勾股数序列：

求如何使用 10 美分、23 美分和 37 美分的邮票支付 2.27 美元的邮资：

使用 IntegerPartitions 可以完成相同的任务：

求一个复解析函数的 200 个根：

在复数图上显示函数的根：

属性和关系  (15)

以列表形式给出解，并满足以下方程：

对于一元方程，SolveValues 根据其多重性重复求解：

代数方程的解通常以 Root 对象的形式给出：

使用 N 计算 Root 对象的数值近似：

Root 对象可能涉及参数：

使用 Series 计算 Root 对象的级数展开：

级数在 11 阶内满足方程：

SolveValues 给出解的值：

Solve 根据替换规则表示解：

Reduce 用方程和不等式的布尔组合表示解：

SolveValues 使用快速试探法求解超越方程，但可能给出不完整的解：

Reduce 使用的方法通常较慢，但会找到全部解并给出所有必要条件：

使用 FindInstance 求解的实例：

像 Reduce 一样，可以给 FindInstance 提供不等式和定义域规范：

使用 DSolve 求解微分方程：

使用 RSolve 求解递归方程：

SolveAlways 给出复方程始终为真的参数的值：

相同的问题可以使用 ForAll 来表示，并使用 SolveValues、Solve 或 Reduce 来求解：

Resolve 消除量词，可能并不会求解得到的无量词系统：

Eliminate 消除复方程组中的变量：

这里使用 Resolve 求解相同的问题：

Reduce、Solve 和 SolveValues 还可求解所得出的方程：

当且仅当方程 对每个 都恰好有一个解时， 是双射的：

使用 FunctionBijective 检验函数是否是双射的：

使用 FunctionAnalytic 检验一个函数是否是解析的：

解析函数在一个封闭且有界的区域中只能有有限个零点：

SolveValues 找到满足方程 的 的显式函数：

使用 ImplicitD 求隐式定义函数的导数：

可能存在的问题  (9)

SolveValues 提供通解；没有给出涉及参数方程的解：

Reduce 提供所有解，包括对参数需要方程的解：

使用 MaxExtraConditions->All，SolveValues 同时给出非通用解：

SolveValues 结果不取决于某些输入方程是否仅包含参数. 以下两个系统是等效的，没有通解：

使用 MaxExtraConditions 指定允许的参数条件数量：

使用 Exists 量词以找到对参数 a 的某些值有效的解：

SolveValues 不排除既非一般正确也非一般不正确的解：

解对于 正确，对于 不正确：

对于超越方程，SolveValues 可能不会给出所有解：

使用 Reduce 得到所有解：

SolveValues 通过设置 Method->"Reduce" 使用 Reduce 求解，但返回解的值：

使用反函数允许 SolveValues 快速得到某些解：

求完整的解可能需要更长的时间，并且解可能很大：

这里求 n 值，使得 x==2 是一个解：

对假设的解释取决于它们的句法属性. 在此，该解在受假设限制的参数空间中是通用的：

这个数学上等价的假设包含求解变量，因此被当作要求解的系统的一部分：

没有通解，因为输入被解释为：

该解是非通用的，因为它要求参数满足方程：

当参数被限定为离散集时，通用性的概念定义不明确，并返回所有解：

输入方程的可移除奇点通常不被视为有效解：

然而，解可以包括可移除的奇点，这些奇点会被自动化简取消：

处的可移除奇点在运算时被取消：

此处， 处的可移除奇点被对方程进行预处理的 Together 取消：

MaxRoots 的值仅用于具有数值系数的系统：

当存在符号参数时，选项值将被忽略：

作为变量给出的表达式被视为原子对象，而不是其子表达式的函数：

实际上，在方程求解之前，变量被替换为新符号：

结果来自于：

Wolfram Research (2021)，SolveValues，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (2021)，SolveValues，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2021. "SolveValues." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html.

APA

Wolfram 语言. (2021). SolveValues. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/SolveValues.html 年

BibTeX

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