IdentityMatrix

IdentityMatrix[n]

给出 nn 单位矩阵.

IdentityMatrix[{m,n}]

给出 mn 单位矩阵.

更多信息和选项

  • 单位矩阵是正方形矩阵乘法的单位元素.
  • 单位矩阵 的项由 I〚i,j〛=TemplateBox[{{i, ,, j}}, KroneckerDeltaSeq] 给出；即，主对角线上的项为 1，其余项为零.
  • nn 单位矩阵 ℐ 对任何 nn 矩阵 m 都满足关系 m.ℐ=ℐ.m=m.
  • nn 单位矩阵是一个对称、正定的酉矩阵，而 mn 单位矩阵仅为酉矩阵.
  • IdentityMatrix 默认情况下建立一个含有精确整数的矩阵.
  • IdentityMatrix[…,SparseArray] 以 SparseArray 对象的形式给出单位矩阵.
  • 可以给出以下选项：
  • TargetStructure Automatic返回矩阵的结构
    WorkingPrecision Infinity创建项的精度
  • TargetStructure 的可能设置包括：
  • Automatic自动选择返回的表示
    "Dense"以稠密矩阵的形式表示矩阵
    "Hermitian"以埃尔米特矩阵的形式表示矩阵
    "Orthogonal"以正交矩阵的形式表示矩阵
    "Sparse"以稀疏矩阵的形式表示矩阵
    "Structured"以结构化数组的形式表示矩阵
    "Symmetric"以对称矩阵的形式表示矩阵
    "Unitary"以酉矩阵的形式表示矩阵
  • 当设置 TargetStructureAutomatic 时，如果矩阵项的数量少于预设的阈值，则返回稠密矩阵，否则返回结构化数组.
  • 当单位矩阵被表示为结构化数组时，可以进行有效的存储和操作，包括 Det、Dot、Inverse 和 LinearSolve.
  • 为 IdentityMatrix 加速的操作运算包括：
  • Det时间
    Dot时间
    Inverse时间
    LinearSolve时间
  • 对于结构化的 IdentityMatrix id，以下属性 "prop" 可以 id["prop"] 形式访问：
  • "WorkingPrecision"内部使用的精度
    "Properties"支持的属性列表
    "Structure"结构化数组类型
    "StructuredData"结构化阵列存储的内部数据
    "StructuredAlgorithms"为结构化数组提供特殊方法的函数列表
    "Summary"摘要信息，以 Dataset 的形式表示
  • Normal[IdentityMatrix[…]] 以普通矩阵的形式给出单位矩阵.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

构建一个 3×3 的单位矩阵：

可视化该矩阵：

创建一个 2×3 的单位矩阵：

范围  (6)

单位方阵：

矩形单位矩阵：

计算单位矩阵的秩：

使用选项设置 TargetStructure"Sparse" 构建稀疏单位矩阵：    

稀疏表示可为较大的矩阵节省大量内存：

使用选项设置 TargetStructure"Structured" 生成结构化单位矩阵：

结构化数组的表示方法及计算速度都很高效：

普通表示方法计算量大且速度慢：

求逆需要大量存储空间：

IdentityMatrix 对象包含了提供有关数组信息的属性：

"WorkingPrecision" 给出了矩阵项的精度：

"Summary" 属性给出了一个关于数组的摘要信息：

"StructuredAlgorithms" 属性列出了具有结构化算法的函数：

选项  (7)

TargetStructure  (5)

以稠密矩阵的形式返回单位矩阵：

以结构化数组的形式返回单位矩阵：

以稀疏矩阵的形式返回单位矩阵：

设置 TargetStructureAutomatic 时，对于小维度的矩阵而言，会返回一个稠密矩阵：

而对于大维度的矩阵而言，则会返回一个结构化的表示：

对于大型列表而言，稠密表示法会使用大量的内存：

稀疏表示通常使用的内存更少：

结构化表示法使用的内存甚至更少：

WorkingPrecision  (2)

构建一个机器精度的单位矩阵：

创建一个精度为 24 的单位矩阵：

应用  (3)

使用 IdentityMatrix 快速定义 TemplateBox[{}, Reals]^n 的标准基准：

变量 、 和 可用作标准基准变量：

使用 IdentityMatrix 计算特征多项式：

使用 CharacteristicPolynomial 直接计算进行比较：

形成矩阵 m 和单位矩阵结合的增广矩阵：

增广矩阵的行约化会给出使用 Inverse[m] 进行增广的单位矩阵：

验证 r 的右半边实际上是 Inverse[m]：

属性和关系  (15)

方块单位矩阵的行列式总是为 1：

对于 nm 矩阵 ℳ，Tr[ℳ]==Min[n,m]：

方块单位矩阵的逆矩阵和转置矩阵是其自身：

方块矩阵的标量倍数是对角矩阵：

KroneckerDelta[i,j] 会给出任何单位矩阵的第 个和第 个条目：

IdentityMatrix[n] 的第 行或列是 UnitVector[n,i]：

对于 IdentityMatrix[{n,m}]，i≤Min[n,m] 时的行是 UnitVector[m,i]：

IdentityMatrix 可转化为结构化 DiagonalMatrix：

对一般对角矩阵使用 DiagonalMatrix：

对可逆 n×n 矩阵 m，Inverse[m].m==m.Inverse[m]==IdentityMatrix[n]：

对 n×m 矩阵 a，a.PseudoInverse[a]==IdentityMatrix[n]：

单位矩阵的伪逆矩阵是其转置矩阵：

对于非奇异 n×n 矩阵 m 来说，MatrixPower[m,0]==IdentityMatrix[n]：

单位矩阵的克罗内克积 KroneckerProduct 是分块对角矩阵：

WorkingPrecision 选项相当于先建立矩阵，然后应用 N：

若 IdentityMatrix 是方形矩阵，其可转换为 PermutationMatrix：

获取单位矩阵的轮换表示：

Wolfram Research (1988)，IdentityMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/IdentityMatrix.html （更新于 2024 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，IdentityMatrix，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/IdentityMatrix.html （更新于 2024 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "IdentityMatrix." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/IdentityMatrix.html.

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Wolfram 语言. (1988). IdentityMatrix. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/IdentityMatrix.html 年

BibTeX

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