LogLogisticDistribution

LogLogisticDistribution[γ,σ]

形状母数 γ，尺度母数 σ の対数ロジスティック分布を表す．

詳細

予備知識

  • LogLogisticDistribution[γ,σ]は，区間上でサポートされ，確率密度関数(PDF)の全体的な動作を決定する，正の実数 γ（「形状母数」と呼ばれる）と σ（「尺度母数」と呼ばれる）でパラメータ化された連続統計分布を表す．対数ロジスティック分布のPDFは，γ および σ の値によって，単一の「峰」（つまり最大値）がある単峰性か，潜在的特異値が領域の下端境界に近付く単調減少かになる．これに加え，対数ロジスティック分布のPDFには，そのPDFが の大きい値について指数的というよりも代数的に減少するという意味で「太った」裾部を持つ（この動作は，分布のSurvivalFunctionを解析することで，数量的に正確にすることができる）．LogLogisticDistributionは，特に経済学の応用において，Fisk分布として参照されることがある．
  • LogLogisticDistributionは，ロジスティック分布に従う確率変数の対数が従う分布である．別の表現を使うなら， が確率変数で （ は「として分布する」を表す） なら，である．数量的には，対数ロジスティック分布は対数正規分布(LogNormalDistribution)に類似しており，両者は，さまざまな分野でデータ寿命の近似を行う際にしばしば利用されるツールとなっている．加えて，対数ロジスティック分布は，降水量，富と所得，データ伝送と処理時間等を含むさまざまな現象のモデル化に使われている．
  • RandomVariateを使って，対数ロジスティック分布から，1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度（後者はWorkingPrecisionオプションを介す）の擬似乱数変量を得ることができる．Distributed[x,LogLogisticDistribution[γ,σ]]，（より簡略な表記では xLogLogisticDistribution[γ,σ]）を使って，確率変数 x が対数ロジスティック分布に従って分布していると宣言することができる．このような宣言は，Probability，NProbability，Expectation，NExpectation等の関数で使うことができる．
  • 対数ロジスティック分布の確率密度関数および累積分布関数は，PDF[LogLogisticDistribution[γ,σ],x]およびCDF[LogLogisticDistribution[γ,σ],x]を使って得られる．平均，中央値，分散，原点の周りのモーメント，中心モーメントは，それぞれMean，Median，Variance，Moment，CentralMomentを使って計算することができる．
  • DistributionFitTestを使って，与えられたデータ集合が対数ロジスティック分布と一致するかどうかを検定することが，EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリック対数ロジスティック分布を推定することが，FindDistributionParametersを使ってデータを対数ロジスティック分布にフィットすることができる．ProbabilityPlotを使って記号対数ロジスティック分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが，QuantilePlotを使って記号対数ロジスティック分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる．
  • TransformedDistributionを使って変換された対数ロジスティック分布を表すことが，CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが，TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる．CopulaDistributionを使って対数ロジスティック分布を含む高次元分布を構築することが，ProductDistributionを使って対数ロジスティック分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる．
  • LogLogisticDistributionは他の数多くの分布と関係がある．LogLogisticDistributionはLogisticDistributionと繋がりがあり，上記の説明の通り，LogNormalDistributionと数量的に類似している．LogLogisticDistributionは，LogLogisticDistribution[γ,σ]のPDFがDagumDistribution[1,γ,σ]，SinghMaddalaDistribution[1,γ,σ]，BetaPrimeDistribution[1,1,γ,σ]のPDFと厳密に等しいという意味で，DagumDistribution，SinghMaddalaDistribution，BetaPrimeDistributionを含むいくつかの分布の特殊ケースである．LogLogisticDistributionの対数動作はLogGammaDistribution，LogMultinormalDistribution，LogNormalDistributionのそれと数量的に類似している．この関数は，DavisDistribution，NormalDistribution，ExponentialDistribution，WeibullDistribution，GompertzMakehamDistribution，GammaDistributionとも関連している．

例題

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例  (4)

確率密度関数：

累積分布関数：

平均と分散：

中央値：

スコープ  (8)

対数ロジスティック分布から擬似乱数のサンプルを生成する：

そのヒストグラムを確率密度関数と比較する：

分布母数推定：

サンプルデータから分布母数を推定する：

サンプルの密度ヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

歪度は形状母数 γ のみに依存する：

γ の値が大きい場合，対数ロジスティック分布は対称になる：

尖度は形状母数 γ のみに依存する：

γ が大きくなるにつれ，尖度は水平に漸近線を持つ：

母数の関数としての閉形式の種々のモーメント：

Moment：

記号次数の閉形式：

CentralMoment：

FactorialMoment：

Cumulant：

ハザード関数：

分位関数：

母数でQuantityを一貫して使うとQuantityDistributionが与えられる：

四分位間の範囲を求める：

アプリケーション  (2)

LogLogisticDistributionは収入のモデル化に使うことができる：

パートタイムとフルタイムを調整して非零の値を選ぶ：

対数ロジスティック分布をデータにフィットする：

データのヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

大規模な州立大学の平均給与を求める：

給与が最高で$15,000になる確率を求める：

給与が最低でも$150,000になる確率を求める：

給与の中央値を求める：

上記のような大学の無作為に選んだ100名の雇用者の給与のシミュレーションを行う：

BetaPrimeDistributionを使って各州の住民1人あたりの収入をモデル化することができる：

通貨単位を加える：

対数ロジスティック分布をデータにフィットさせる：

データのヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

住民1人あたりの平均収入を求める：

収入が平均に近い州を求める：

1人あたりの収入の中央値を求める：

収入が中央値に近い州を求める：

対数尤度値を求める：

特性と関係  (6)

対数ロジスティック分布は正の因子によるスケーリングの下では閉じている：

他の分布との関係：

LogLogisticDistributionはDagumDistributionの特殊ケースである：

LogLogisticDistributionはSinghMaddalaDistributionの特殊ケースである：

LogLogisticDistributionはBetaPrimeDistributionの特殊ケースである：

LogLogisticDistributionはLogisticDistributionに関連している：

おもしろい例題  (1)

累積分布関数の等高線を持つ γ のさまざまな値についての確率密度関数：

Wolfram Research (2010), LogLogisticDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LogLogisticDistribution.html （2016年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2010), LogLogisticDistribution, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/LogLogisticDistribution.html （2016年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2010. "LogLogisticDistribution." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/LogLogisticDistribution.html.

APA

Wolfram Language. (2010). LogLogisticDistribution. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/LogLogisticDistribution.html

BibTeX

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BibLaTeX

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