机器精度向量的标量积：

精确向量的点积：

符号向量的内积：

任意精度向量的点积：

Dot 允许复数输入，但不会取任意一个输入的共轭：

如果想对复数或 Hermitian 内积进行计算，对其中一个输入应用 Conjugate：

一些资料，特别是在数学文献中，取第二个参数的共轭：

用两个内积计算 u 的范数：

用 Norm 验证结果：

稀疏向量的点积：

计算两个 QuantityArray 向量的标量积：

定义一个 的矩阵：

定义一个 2-向量和一个 3-向量：

矩阵只能从左侧被 2-向量相乘：

以相反的顺序相乘会因维数不兼容引发出错消息：

同样， 矩阵只能从右侧被 3-向量相乘：

同时对矩阵两边相乘：

定义一个方阵和一个兼容的向量：

乘积 m.v 和 v.m 返回不同的向量：

乘积 v.m.v 是一个标量：

定义一个列矩阵和一个行矩阵 c 和 r，其中的元素与 v 一样：

涉及 m、c 和 r 的乘积与涉及 m 和 v 的乘积的元素一样，但都是矩阵：

此外，产品必须按照符合矩阵维数的顺序完成：

定义一个矩阵和两个向量：

因为 是一个向量，允许 这样的乘积：

注意，它实际上是在矩阵的左侧而不是右侧乘以 ：

稀疏矩阵和稀疏向量的乘积是稀疏向量：

将结果格式化为行矩阵：

一个稀疏矩阵和一个普通向量的乘积是一个正规向量：

如果可能，结构化矩阵与向量的乘积将保留结构：

正规矩阵与结构化向量的乘积可能具有向量的结构：

实机器数矩阵相乘：

复矩阵的积：

精确矩阵的积：

以另一种顺序相乘：

可视化输入和输出矩阵：

任意精度的矩阵相乘：

因为 ，这些矩阵不能以相反的顺序相乘：

符号矩阵的积：

有限域元素矩阵的乘积：

CenteredInterval 矩阵的乘积：

求 m 和 n 的随机表示 mrep 和 nrep：

验证 mn 包含 mrep 和 nrep 的乘积：

稀疏矩阵的乘积是另一个稀疏矩阵：

格式化结果：

如果可能，结构化矩阵的乘积会保留结构：

格式化结果：

矩阵的三次方：

与 MatrixPower 的结果相比较：

用 Dot 与 Apply (@@) 和 ConstantArray 计算矩阵的 10 次方：

验证结果：

高效计算大型矩阵相乘：

Dot 适用于任意阶数的数组：

结果的维数是将输入的相同的维数折叠后的维数：

只要有相同的维数，任何组合都是允许的：

创建一个三个维数都相同的三阶数组：

创建维数与该数组一致的三个向量：

是完全缩并 ，将 与 的最后一层相配，将 与 的第一层相配：

是不同的缩并 ，将 与 的第一层相配，将 与 的最后一层相配：

将 m 的两个层分别与 a 的第二层和第三层进行缩并：

两个稀疏数组的 Dot 通常是另一个稀疏数组：

一个稀疏数组与一个普通列表的 Dot 可能是另一个稀疏数组或普通列表：

格式化三阶数组：

两个 SymmetrizedArray 对象的乘积通常是另一个对称数组：

新数组的对称性可能比任一输入的对称性复杂得多：

将向量 投影到由向量 决定的直线上：

可视化 以及在由 决定的直线上的投影：

将向量 投影到由向量 和 决定的平面上：

首先，将 替换为垂直于 的平面中的一个向量：

在平面上的投影是在 和 上的投影之和：

求垂直于平面的分量：

将 投影到平面的法线上以确认结果：

可视化平面、向量及其平行和垂直分量：

应用 Gram–Schmidt 过程根据以下向量构建正交基：

正交基 中的第一个向量是归一化的 ：

对于后续向量，在归一化之前减去与前一个基向量平行的分量：

用 Orthogonalize 确认答案：

定义 的基向量：

验证基向量是正交的：

求一般向量相对于这些新基向量的分量：

验证这些相对于 的分量：

定义 的基向量：

通过显示由向量形成的矩阵具有非零行列式来验证它是一个基：

基矩阵的变化是列为 的矩阵的逆：

标准基中坐标为 的向量相对于 的坐标为 ：

验证这些坐标可以给出向量 ：

Frenet–Serret 系统将每条空间曲线的属性编码到向量基和标量函数中. 考虑以下曲线：

通过减去平行投影，根据前三个导数构建一个正交基：

确保基为右手系的：

计算曲率 和扭矩 ，它们量化了曲线弯曲的程度：

用 FrenetSerretSystem 验证答案：

可视化曲线和相关的移动基，也称为框架：

如果 ，则矩阵是正交矩阵. 证明旋转矩阵是正交的：

用 OrthogonalMatrixQ 确认：

如果 ，则矩阵是酉矩阵. 证明 Pauli 矩阵是酉矩阵：

用 UnitaryMatrixQ 确认：

如果 ，则矩阵是正规矩阵. 证明以下矩阵是正规矩阵：

用 NormalMatrixQ 确认：

正规矩阵包括许多其他类型的矩阵，为正规矩阵的特例. 酉矩阵是正规矩阵：

厄米特矩阵或自伴随矩阵 () 也是正规矩阵，如矩阵 所示：

但是，矩阵 不是已命名的正规矩阵，如酉矩阵或厄米特矩阵：

在量子力学中，具有有限多个状态的系统由单位向量表示，物理量由作用于它们的矩阵表示. 考虑一个自旋 1/2 的粒子，如电子. 它可能处于如下状态：

方向上的角动量由以下矩阵给出：

该状态的角动量是 ：

该状态的角动量的不确定性是 ：

可用类似方式计算 方向上的不确定性：

不确定性原理给出了不确定性乘积的下限，：

来看一个线性映射 ：

获取 的矩阵表示 ：

创建一个要处理的向量：

使用不同的方法将线性映射应用于向量：

将 与 Dot 一起使用是最快的方法：

将单个矩阵应用于多个向量 ，可用 来计算：

矩阵法比重复应用要快得多：

实对称矩阵 通过公式 给出二次形式 ：

二次形式具有属性 ：

相当于定义了以 的变量表示的齐次二次多项式：

多项式的值域可以是 、、 或 . 这里为 ：

可视化多项式：

正定实对称矩阵或度量矩阵 通过 来定义内积：

正定意味着对于 ，关联的二次型 为正：

注意 Dot 本身是与单位矩阵相关的内积：

对标准基应用 Gram–Schmidt 过程以获取正交基：

确认确认这个基对于内积 是正交的：

对于反对称矩阵 ， 定义了一个 Hamiltonian 2-form ：

在 上验证条件：

全部为零：

但是，这种形式是非简并的，则 意味着 ：

构建六个六维向量：

用 LeviCivitaTensor 构建六维全反对称数组：

计算全缩并 ：

这与由向量形成的矩阵的行列式相等：

根据 的反对称，反向缩并 (reversed contraction) 的区别是维度 上相差 ：