Dot
✖
Dot

更多信息

- a 和 b 是适当维数的列表时,a.b 给出一个明确的结果. 它将 a 中最后一个指标与 b 中第一个指标之间建立约定.
- Dot 的各种应用:
-
{a1,a2}.{b1,b2} 向量的标积 {a1,a2}.{{m11,m12},{m21,m22}}向量和矩阵的乘积 {{m11,m12},{m21,m22}}.{a1,a2}矩阵和向量的乘积 {{m11,m12},{m21,m22}}.{{n11,n12},{n21,n22}}两个矩阵的乘积 - 对两个张量
和
使用 Dot 的结果是张量
将 Dot 应用到一个
维张量和一个
维张量得到一个
维的张量. »
- 可将 Dot 应用于 SparseArray 和结构化数组对象. 可能的情况下,它将返回与输入相同类型的对象. »
- 对于所有参数,Dot 都是线性的. » 它没有定义向量上的复(厄米特)内积. »
- 当它的参数不是列表或稀疏数组时,Dot 保持不计算. 它具有 Flat 属性.
范例
打开所有单元关闭所有单元基本范例 (4)常见实例总结

https://wolfram.com/xid/02cqd-2nv5gr


https://wolfram.com/xid/02cqd-rlu7fj


https://wolfram.com/xid/02cqd-peqyxh


https://wolfram.com/xid/02cqd-bg8lym


https://wolfram.com/xid/02cqd-nsnlin


https://wolfram.com/xid/02cqd-k0jn1c


https://wolfram.com/xid/02cqd-k7usjd


https://wolfram.com/xid/02cqd-wr3wn2


https://wolfram.com/xid/02cqd-o3l7ps


https://wolfram.com/xid/02cqd-wc5jg0

范围 (28)标准用法实例范围调查
向量的点积 (7)

https://wolfram.com/xid/02cqd-n9078n


https://wolfram.com/xid/02cqd-f1hujw


https://wolfram.com/xid/02cqd-z3441e


https://wolfram.com/xid/02cqd-vd7co8


https://wolfram.com/xid/02cqd-ex91be

Dot 允许复数输入,但不会取任意一个输入的共轭:

https://wolfram.com/xid/02cqd-cbz27c

如果想对复数或 Hermitian 内积进行计算,对其中一个输入应用 Conjugate:

https://wolfram.com/xid/02cqd-5l0ran

https://wolfram.com/xid/02cqd-we0c9i


https://wolfram.com/xid/02cqd-8z82wm

https://wolfram.com/xid/02cqd-3kxpp2


https://wolfram.com/xid/02cqd-z6nb90

用 Norm 验证结果:

https://wolfram.com/xid/02cqd-xw32ni


https://wolfram.com/xid/02cqd-q4hgd0


https://wolfram.com/xid/02cqd-3p06hh


https://wolfram.com/xid/02cqd-0co8u4

计算两个 QuantityArray 向量的标量积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-80mcz5


https://wolfram.com/xid/02cqd-2zcedv


https://wolfram.com/xid/02cqd-l73cyi

矩阵-向量相乘 (5)

https://wolfram.com/xid/02cqd-3ype6l


https://wolfram.com/xid/02cqd-gd6rwr


https://wolfram.com/xid/02cqd-5xj0qn


https://wolfram.com/xid/02cqd-z97q8n



https://wolfram.com/xid/02cqd-45f19c


https://wolfram.com/xid/02cqd-j74d7f


https://wolfram.com/xid/02cqd-vm2lml

https://wolfram.com/xid/02cqd-ywj5u0


https://wolfram.com/xid/02cqd-orb8qb


https://wolfram.com/xid/02cqd-y3pyr7

定义一个列矩阵和一个行矩阵 c 和 r,其中的元素与 v 一样:

https://wolfram.com/xid/02cqd-1osa10
涉及 m、c 和 r 的乘积与涉及 m 和 v 的乘积的元素一样,但都是矩阵:

https://wolfram.com/xid/02cqd-ft19ie


https://wolfram.com/xid/02cqd-40nloq


https://wolfram.com/xid/02cqd-73tfw2


https://wolfram.com/xid/02cqd-62ivtp




https://wolfram.com/xid/02cqd-ntf53u

https://wolfram.com/xid/02cqd-uzt0t


https://wolfram.com/xid/02cqd-g3i4bh


https://wolfram.com/xid/02cqd-c3xmxn


https://wolfram.com/xid/02cqd-6e0cns


https://wolfram.com/xid/02cqd-6rawkm


https://wolfram.com/xid/02cqd-o4am55


https://wolfram.com/xid/02cqd-mip78l


https://wolfram.com/xid/02cqd-693yp2


https://wolfram.com/xid/02cqd-er7lsf

矩阵-矩阵相乘 (11)

https://wolfram.com/xid/02cqd-ncz1mo


https://wolfram.com/xid/02cqd-irmssc


https://wolfram.com/xid/02cqd-blxy1e


https://wolfram.com/xid/02cqd-hemkzc


https://wolfram.com/xid/02cqd-c373x7


https://wolfram.com/xid/02cqd-b1j1sz


https://wolfram.com/xid/02cqd-tr4f1



https://wolfram.com/xid/02cqd-pww6q


https://wolfram.com/xid/02cqd-nw2qll

CenteredInterval 矩阵的乘积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-ghxly8


https://wolfram.com/xid/02cqd-b7u4hh


https://wolfram.com/xid/02cqd-fq7fj1


https://wolfram.com/xid/02cqd-27bmd


https://wolfram.com/xid/02cqd-lhfeiq


https://wolfram.com/xid/02cqd-m6qbwl


https://wolfram.com/xid/02cqd-n4lvad


https://wolfram.com/xid/02cqd-upvhcj


https://wolfram.com/xid/02cqd-wajwti

https://wolfram.com/xid/02cqd-ylu6mb

与 MatrixPower 的结果相比较:

https://wolfram.com/xid/02cqd-6z66qk

用 Dot 与 Apply (@@) 和 ConstantArray 计算矩阵的 10 次方:

https://wolfram.com/xid/02cqd-rfip7d


https://wolfram.com/xid/02cqd-mbdoyo


https://wolfram.com/xid/02cqd-3sijcl

高阶数组 (5)
Dot 适用于任意阶数的数组:

https://wolfram.com/xid/02cqd-0npemv

https://wolfram.com/xid/02cqd-oprsnp


https://wolfram.com/xid/02cqd-bct7q


https://wolfram.com/xid/02cqd-vt925v


https://wolfram.com/xid/02cqd-ikt229


https://wolfram.com/xid/02cqd-jgghlw
是完全缩并
,将
与
的最后一层相配,将
与
的第一层相配:

https://wolfram.com/xid/02cqd-1kn30q

是不同的缩并
,将
与
的第一层相配,将
与
的最后一层相配:

https://wolfram.com/xid/02cqd-mbp8jt


https://wolfram.com/xid/02cqd-lp4nvs

两个稀疏数组的 Dot 通常是另一个稀疏数组:

https://wolfram.com/xid/02cqd-jhf21p

https://wolfram.com/xid/02cqd-27lx98

https://wolfram.com/xid/02cqd-u6ay98

一个稀疏数组与一个普通列表的 Dot 可能是另一个稀疏数组或普通列表:

https://wolfram.com/xid/02cqd-brwhqh


https://wolfram.com/xid/02cqd-jcdaky


https://wolfram.com/xid/02cqd-baqyqn

两个 SymmetrizedArray 对象的乘积通常是另一个对称数组:

https://wolfram.com/xid/02cqd-k6p7gt


https://wolfram.com/xid/02cqd-takcdo


https://wolfram.com/xid/02cqd-k0bsdz

应用 (16)用该函数可以解决的问题范例
投影和基 (6)

https://wolfram.com/xid/02cqd-1rf22h


https://wolfram.com/xid/02cqd-bb5qc5


https://wolfram.com/xid/02cqd-t5aqq0

https://wolfram.com/xid/02cqd-556932


https://wolfram.com/xid/02cqd-6sqj73


https://wolfram.com/xid/02cqd-vy5nk0


https://wolfram.com/xid/02cqd-usowgy


https://wolfram.com/xid/02cqd-l0ji89

应用 Gram–Schmidt 过程根据以下向量构建正交基:

https://wolfram.com/xid/02cqd-ipdyf1

https://wolfram.com/xid/02cqd-trym6a


https://wolfram.com/xid/02cqd-ez7k6a


https://wolfram.com/xid/02cqd-4zt373


https://wolfram.com/xid/02cqd-4wc2on

用 Orthogonalize 确认答案:

https://wolfram.com/xid/02cqd-s42jvt


https://wolfram.com/xid/02cqd-mgqdax

https://wolfram.com/xid/02cqd-w5gmoi


https://wolfram.com/xid/02cqd-20j6cc

https://wolfram.com/xid/02cqd-ijqswp


https://wolfram.com/xid/02cqd-34ypwx


https://wolfram.com/xid/02cqd-svkrze

https://wolfram.com/xid/02cqd-ie0q9c


https://wolfram.com/xid/02cqd-44tmnt


https://wolfram.com/xid/02cqd-p3suks


https://wolfram.com/xid/02cqd-kk9uuy

Frenet–Serret 系统将每条空间曲线的属性编码到向量基和标量函数中. 考虑以下曲线:

https://wolfram.com/xid/02cqd-rw3aai

https://wolfram.com/xid/02cqd-bmpr4j


https://wolfram.com/xid/02cqd-dly7ni

https://wolfram.com/xid/02cqd-mufwwo

用 FrenetSerretSystem 验证答案:

https://wolfram.com/xid/02cqd-k6so6w


https://wolfram.com/xid/02cqd-eumwkl

矩阵和线性算子 (6)

https://wolfram.com/xid/02cqd-rl81a3


https://wolfram.com/xid/02cqd-zgnm3n

用 OrthogonalMatrixQ 确认:

https://wolfram.com/xid/02cqd-bu72ly


https://wolfram.com/xid/02cqd-usqzs3


https://wolfram.com/xid/02cqd-0e24pu

用 UnitaryMatrixQ 确认:

https://wolfram.com/xid/02cqd-cs5hfw


https://wolfram.com/xid/02cqd-usjbn0

用 NormalMatrixQ 确认:

https://wolfram.com/xid/02cqd-8ernzh

正规矩阵包括许多其他类型的矩阵,为正规矩阵的特例. 酉矩阵是正规矩阵:

https://wolfram.com/xid/02cqd-szmdf0


https://wolfram.com/xid/02cqd-yw4cka


https://wolfram.com/xid/02cqd-vyprzo

在量子力学中,具有有限多个状态的系统由单位向量表示,物理量由作用于它们的矩阵表示. 考虑一个自旋 1/2 的粒子,如电子. 它可能处于如下状态:

https://wolfram.com/xid/02cqd-38x16q

https://wolfram.com/xid/02cqd-sja8mn


https://wolfram.com/xid/02cqd-3srgxm


https://wolfram.com/xid/02cqd-xtk4yx


https://wolfram.com/xid/02cqd-l30enu


https://wolfram.com/xid/02cqd-9r9je9


https://wolfram.com/xid/02cqd-kcsb44


https://wolfram.com/xid/02cqd-cid5sq


https://wolfram.com/xid/02cqd-0w233f


https://wolfram.com/xid/02cqd-z0iti

https://wolfram.com/xid/02cqd-pycqoz


https://wolfram.com/xid/02cqd-etzj5l


https://wolfram.com/xid/02cqd-hh8zny

将 与 Dot 一起使用是最快的方法:

https://wolfram.com/xid/02cqd-iufy0n


https://wolfram.com/xid/02cqd-5vwze0

https://wolfram.com/xid/02cqd-2y6rrz

https://wolfram.com/xid/02cqd-kagdsr


https://wolfram.com/xid/02cqd-emcqm4


https://wolfram.com/xid/02cqd-gvoadx

具有对称性的矩阵和数组 (4)

https://wolfram.com/xid/02cqd-9qtx6s


https://wolfram.com/xid/02cqd-5b73fr

https://wolfram.com/xid/02cqd-oj4kij


https://wolfram.com/xid/02cqd-lqoxhq


https://wolfram.com/xid/02cqd-0baxmq


https://wolfram.com/xid/02cqd-ycw1jx


https://wolfram.com/xid/02cqd-xs2xkr


https://wolfram.com/xid/02cqd-i29f9p

https://wolfram.com/xid/02cqd-f5yka3

注意 Dot 本身是与单位矩阵相关的内积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-vw5ltx


https://wolfram.com/xid/02cqd-9jtyba


https://wolfram.com/xid/02cqd-mkuz95

对于反对称矩阵 ,
定义了一个 Hamiltonian 2-form
:

https://wolfram.com/xid/02cqd-uvb16x


https://wolfram.com/xid/02cqd-k7tr9y

https://wolfram.com/xid/02cqd-ifqtyk


https://wolfram.com/xid/02cqd-riu0jg


https://wolfram.com/xid/02cqd-5frid3


https://wolfram.com/xid/02cqd-pysujz

用 LeviCivitaTensor 构建六维全反对称数组:

https://wolfram.com/xid/02cqd-kzgi5b


https://wolfram.com/xid/02cqd-osemks


https://wolfram.com/xid/02cqd-qmh0co

根据 的反对称,反向缩并 (reversed contraction) 的区别是维度
上相差
:

https://wolfram.com/xid/02cqd-dp57h3

属性和关系 (16)函数的属性及与其他函数的关联
对于每个参数,Dot 都是线性的:

https://wolfram.com/xid/02cqd-e9q9ue

https://wolfram.com/xid/02cqd-ikv3n


https://wolfram.com/xid/02cqd-ci1a2f

对于实向量 ,Norm[v] 等于
:

https://wolfram.com/xid/02cqd-oxfzh


https://wolfram.com/xid/02cqd-u32nko


https://wolfram.com/xid/02cqd-gdmvu6


https://wolfram.com/xid/02cqd-p16weh


https://wolfram.com/xid/02cqd-73nauh


https://wolfram.com/xid/02cqd-l1kkf8


https://wolfram.com/xid/02cqd-47cn13

对于两个矩阵, 的第
和第
项是
的第
行与
的第
列的点积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-i6f9x2


https://wolfram.com/xid/02cqd-f2bkec

用 MatrixPower 计算重复的矩阵相乘:

https://wolfram.com/xid/02cqd-h2otbd

https://wolfram.com/xid/02cqd-hhvw2b


https://wolfram.com/xid/02cqd-nu828k


https://wolfram.com/xid/02cqd-i6q0os


https://wolfram.com/xid/02cqd-39xbig

对秩为 的张量和秩为
的张量应用 Dot 给出秩为
的张量:

https://wolfram.com/xid/02cqd-u5lpym

https://wolfram.com/xid/02cqd-ihttlp


https://wolfram.com/xid/02cqd-f5e3x5


https://wolfram.com/xid/02cqd-8edu6d

Dot 实现了数组的标准内积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-8ddd1p

使用 Times 做元素乘法:

https://wolfram.com/xid/02cqd-b36o97

可通过 TensorProduct 和 TensorContract 组合使用实现 Dot:

https://wolfram.com/xid/02cqd-ej1tta

https://wolfram.com/xid/02cqd-dzk5e5

将 Dot 与 Flatten 一起使用以缩并一个数组的多个层级与另一个数组的多个层级:

https://wolfram.com/xid/02cqd-e1xdmi

https://wolfram.com/xid/02cqd-fela60

TensorReduce 可简化含有 Dot 的表达式:

https://wolfram.com/xid/02cqd-8w0f4e


https://wolfram.com/xid/02cqd-y8vwui


https://wolfram.com/xid/02cqd-tbklq8


https://wolfram.com/xid/02cqd-ys573h


https://wolfram.com/xid/02cqd-li5n8b

一个行矩阵和列矩阵的 Dot 等于对应向量的 KroneckerProduct:

https://wolfram.com/xid/02cqd-2f9dxl

可能存在的问题 (2)常见隐患和异常行为
Dot 实际上从右边处理多维向量,可以视为列向量:

https://wolfram.com/xid/02cqd-blgtoq

https://wolfram.com/xid/02cqd-i6pdop


https://wolfram.com/xid/02cqd-ljimti

Dot 实际上从左边边处理多维向量,可以视为行向量:

https://wolfram.com/xid/02cqd-daadm


https://wolfram.com/xid/02cqd-kd327t

Dot 不给出 的标准内积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-mhb61v

https://wolfram.com/xid/02cqd-josa09

对一个参数应用 Conjugate 以获取厄米特内积:

https://wolfram.com/xid/02cqd-m58fbd


https://wolfram.com/xid/02cqd-pxgh3h

Wolfram Research (1988),Dot,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html (更新于 2024 年).
文本
Wolfram Research (1988),Dot,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html (更新于 2024 年).
Wolfram Research (1988),Dot,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html (更新于 2024 年).
CMS
Wolfram 语言. 1988. "Dot." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html.
Wolfram 语言. 1988. "Dot." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html.
APA
Wolfram 语言. (1988). Dot. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html 年
Wolfram 语言. (1988). Dot. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html 年
BibTeX
@misc{reference.wolfram_2025_dot, author="Wolfram Research", title="{Dot}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Dot.html}", note=[Accessed: 04-April-2025
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BibLaTeX
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