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Expectation

Expectation[expr,xdist]

假定 x 服从概率分布 dist，给出 expr 的期望值.

Expectation[expr,xdata]

假定 x 服从由 data 给定的概率分布，给出 expr 的期望值.

Expectation[expr,{x₁,x₂,…}dist]

假定 {x₁,x₂,…} 服从多元分布 dist，给出 expr 的期望值.

Expectation[expr,{x₁dist₁,x₂dist₂,…}]

假定 x₁、x₂、… 独立且服从分布 dist₁、dist₂、…，给出 expr 的期望值.

Expectation[exprpred,…]

已知 pred，给出 expr 的条件期望值.

Expectation

Expectation[expr,xdist]

假定 x 服从概率分布 dist，给出 expr 的期望值.

Expectation[expr,xdata]

假定 x 服从由 data 给定的概率分布，给出 expr 的期望值.

Expectation[expr,{x₁,x₂,…}dist]

假定 {x₁,x₂,…} 服从多元分布 dist，给出 expr 的期望值.

Expectation[expr,{x₁dist₁,x₂dist₂,…}]

假定 x₁、x₂、… 独立且服从分布 dist₁、dist₂、…，给出 expr 的期望值.

Expectation[exprpred,…]

已知 pred，给出 expr 的条件期望值.

背景

Expectation[expr,x] 给出了包含随机变量 x 的表达式 expr 的期望值，假设 x 要么服从一个指定的概率分布（即  是像 NormalDistribution、BinomialDistribution、ChiSquareDistribution 之类的的分布）要么是从给定的数据集中取样（即  是一个数据集）而其中  是 Distributed 的简写. Expectation 的输出可能是一个数或是包含了输入参数的符号表达式.
Expectation 也可用于多元分布，支持无参数分布如 EmpiricalDistribution、HistogramDistribution 和 KernelMixtureDistribution，以及衍生分布如 TransformedDistribution 和 ProductDistribution. Expectation 也可用于随机过程，包括由 ContinuousMarkovProcess、DiscreteMarkovProcess、WienerProcess 和 PoissonProcess 定义的那些.
传入 Expectation 的表达式可以包含线性和非线性的表达式，以及实变量或复变量的函数. Expectation 能计算条件期望，使用形如 exprpred 的表达式即可，其中  是 Conditioned 的简写. Expectation 可以使用许多选项，包括 Assumptions、GenerateConditions 和 Method. Expectation 提供的输出是由包括了符号积分及求和的精确方法计算得出的. 对应的涉及数值方法的结果可用 NExpectation 求得.
根据定义，服从分布  的随机变量 x 的期望 Expectation[x,x] 等于其一阶原点矩 Moment[,1] 也因此等于其均值 Mean[]. 此外，配对使用 Expectation 和 Boole 构造得到的 Expectation 的结果也可用 Probability 求得. 例如，Expectation[Boole[1<x<3],xNormalDistribution[]] 其实等价于 Probability[1<x<3, xNormalDistribution[]].

范例

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基本范例 (3)

计算多项式表达式的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[2x + 3, xNormalDistribution[]]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 7x + 8, xPoissonDistribution[μ]]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 3y ^ 2 + 11, {x, y}DirichletDistribution[{1, 4, 5}]]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 3 + 4y - a z, {x, y, z}MultinomialDistribution[10, {1 / 2, 1 / 3, 1 / 6}]]

计算任意表达式的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[(x - 1)^2 + E ^ (-x), xNormalDistribution[]]

Wolfram Language code: Expectation[Abs[2x - 1], xExponentialDistribution[λ]]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + E ^ (x + y), {x, y}DirichletDistribution[{2, 3, 4}]]

计算条件期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x^2 + 1x > 1 / 2, xLaplaceDistribution[0, 1 / 2]]

Wolfram Language code: Expectation[x + y^2 - (3/10)(1 / 2 < x < 3 / 4), {x, y}DirichletDistribution[{1, 3, 4}]]

范围 (31)

基本用途 (9)

计算连续单变量分布中的一个表达式的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[3x ^ 2 + 5, xNormalDistribution[]]

离散单变量分布：

Wolfram Language code: Expectation[2x + 7, xPoissonDistribution[1]]

连续多变量分布：

Wolfram Language code: Expectation[5x + 3y ^ 2 + 11, {x, y}BinormalDistribution[1 / 2]]

离散多变量分布：

Wolfram Language code: Expectation[3x ^ 2 + 8x y + 1, {x, y}MultivariatePoissonDistribution[2, {2, 3}]]

求由一个列表指定的分布中的一个表达式的期望值：

Wolfram Language code: r = RandomVariate[NormalDistribution[], 1000];

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 3x + 11, xr]

使用独立分布的随机变量，计算期望值：

Wolfram Language code: Expectation[2x + 3y ^ 2 + a, {xExponentialDistribution[1], yNormalDistribution[]}]

在广义非零概率条件下，求条件期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x + 21 / 2 < x ^ 2 < 5, xExponentialDistribution[λ]]

Wolfram Language code: Plot[%, {λ, 0, 5}]

离散单变量分布：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 12x > 2, xPoissonDistribution[λ]]

Wolfram Language code: Plot[%, {λ, 0, 10}]

多变量连续分布：

Wolfram Language code: Expectation[(x + y)(y > 1 / 3), {x, y}DirichletDistribution[{1, 3, 4}]]

多变量离散分布：

Wolfram Language code: Expectation[x + y + 5z > 2, {x, y, z}MultinomialDistribution[10, {1 / 3, 1 / 2, 1 / 6}]]

在零概率条件事件下，计算条件期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x + y ^ 2(x == 1 / 7), {x, y}ProductDistribution[{ExponentialDistribution[3], 2}]]

如果符号式计算失效，应用 N[Expectation[…]] 来调用 NExpectation：

Wolfram Language code: f[x_ ? NumericQ] := x ^ 2 + 3x ^ 4

Wolfram Language code: Expectation[f[x], xNormalDistribution[]]

Wolfram Language code: N[%]

Wolfram Language code: NExpectation[f[x], xNormalDistribution[]]

若无 Assumptions，生成条件：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[x - a], xUniformDistribution[{2, 8}]]

使用 Assumptions，返回在给定假设下有效的一个结果：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[x - a], xUniformDistribution[{2, 8}], Assumptions -> 3 < a < 4]

Wolfram Language code: Assuming[3 < a < 4, Expectation[UnitStep[x - a], xUniformDistribution[{2, 8}]]]

求有理函数的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[(x + 3) / (x + 5), xExponentialDistribution[2]]

超越函数：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-3x ^ 2) + 1, xExponentialDistribution[2]]

分段函数：

Wolfram Language code: Expectation[Piecewise[{{5, x < 1}, {x ^ 2 + 3, x ≥ 1}}], xExponentialDistribution[2]]

复数函数：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (I x), xUniformDistribution[{3, 4}]]

计算泊松过程时间切片的期望值:

Wolfram Language code: Expectation[x[t] ^ 2 + x[t] + 3E ^ (-x[t]), xPoissonProcess[μ]]

用于数量 (5)

求出数量表达式的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[Quantity[x, "Meters"] * Quantity[3.5, "Feet"], xLogNormalDistribution[2, 3]]

Wolfram Language code:

Expectation[Quantity[v, "Meters" / "Seconds"] Quantity[t, "Minutes"], {vMaxwellDistribution[σ], tGammaDistribution[a, b]}]

求出使用 QuantityDistribution 指定的期望值：

Wolfram Language code: freq𝒟 = UniformDistribution[{Quantity[2, "Hertz"], Quantity[5, "Hertz"]}]

Wolfram Language code: dur𝒟 = UniformDistribution[{Quantity[.5, "Seconds"], Quantity[.9, "Seconds"]}]

Wolfram Language code: ampl𝒟 = RayleighDistribution[Quantity[5, "Volts"]]

Wolfram Language code: Expectation[a Sin[ω t], {ωfreq𝒟, tdur𝒟, aampl𝒟}]

求出条件期望值：

Wolfram Language code:

Expectation[t1 - t2t1 > t2, {t1, t2}CopulaDistribution[{"FGM", α}, {UniformDistribution[{Quantity[MixedMagnitude[{1, 15}], MixedUnit[{"Hours", "Minutes"}]], Quantity[2, "Hours"]}], UniformDistribution[{Quantity[80, "Minutes"], Quantity[MixedMagnitude[{1, 45}], MixedUnit[{"Hours", "Minutes"}]]}]}]]

使用 QuantityMagnitude 计算期望值：

Wolfram Language code: 𝒟 = QuantityDistribution[NormalDistribution[0, .3], "Yards"];

Wolfram Language code: Expectation[QuantityMagnitude[x, "Meters"] ^ 2, x𝒟]

等价的计算方法：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2, Quantity[x, "Meters"]𝒟]

计算由 Quantity 数据给出的分布的期望：

Wolfram Language code: Expectation[x, xQuantity[RandomReal[1, 100], "Meters"]]

由 QuantityArray 给定的分布：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2, xQuantityArray[RandomReal[1, 100], "Yards"]]

参数分布 (4)

计算单变量连续分布的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x + 1 / 2, xBetaDistribution[α, β]]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 7E ^ x, xUniformDistribution[{-2, 11}]]

Wolfram Language code: Expectation[(x - 3) ^ 2 + 5UnitStep[x ^ 2 - 1], xNormalDistribution[0, 1]]

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-x) + 3x, xChiSquareDistribution[ν]]

计算单变量离散分布的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 9, xBinomialDistribution[10, p]]

Wolfram Language code: Expectation[x + 10E ^ x, xDiscreteUniformDistribution[{5, max}]]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 3 + 12, xZipfDistribution[4]]

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (2x) + 3, xPoissonDistribution[λ]]

多变量连续分布的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x + y ^ 2 + 7, {xUniformDistribution[{0, 1}], yLaplaceDistribution[0, 1]}]

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 6 + 3y + 1, {xNormalDistribution[0, 1], yExponentialDistribution[m]}]

Wolfram Language code: Expectation[2x ^ 2 + 3y ^ 2 + z, {x, y, z}DirichletDistribution[{2, 3, 4, 7}]]

多变量离散分布的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x + y ^ 2, {x, y}ProductDistribution[DiscreteUniformDistribution[{2, 5}], BernoulliDistribution[p]]]

Wolfram Language code: Expectation[x y ^ 2, {xGeometricDistribution[1 / 3], yPoissonDistribution[λ]}]

Wolfram Language code: Expectation[2x + 3y + Abs[z - 2], {x, y, z}MultinomialDistribution[10, {1 / 2, 1 / 3, 1 / 6}]]

非参数分布 (4)

使用一个单变量 EmpiricalDistribution，计算期望值：

Wolfram Language code: 𝒟 = EmpiricalDistribution[RandomVariate[NormalDistribution[], 100]];

Wolfram Language code: Expectation[x^2 + 1, x𝒟]

使用多变量经验分布：

Wolfram Language code: 𝒟 = EmpiricalDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 100]];

Wolfram Language code: Expectation[x + y^2 + 4, {x, y}𝒟]

使用单变量 HistogramDistribution：

Wolfram Language code: 𝒟 = HistogramDistribution[RandomVariate[ExponentialDistribution[2], 100]];

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + x + 3, x𝒟]

多变量直方图分布：

Wolfram Language code: 𝒟 = HistogramDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 100]];

Wolfram Language code: Expectation[x + y^2 + 1, {x, y}𝒟]

使用一个单变量 KernelMixtureDistribution：

Wolfram Language code: 𝒟 = KernelMixtureDistribution[RandomVariate[NormalDistribution[], 30]];

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 4 + 2x ^ 2 + 7, x𝒟]

使用具有 SurvivalDistribution 的删截数据：

Wolfram Language code: eventTimes = {10, 7, 23, 22, 6, 25, 20, 19, 6, 17, 6, 13};

Wolfram Language code: censorIndicators = {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0};

Wolfram Language code: 𝒟 = SurvivalDistribution[EventData[eventTimes, censorIndicators]];

Wolfram Language code: Expectation[x + 25, x𝒟]

导出分布 (9)

使用 TransformedDistribution 计算期望：

Wolfram Language code: Expectation[x + 2, xTransformedDistribution[y ^ 2, yNormalDistribution[0, 1]]]

生成相同期望值的等价方式：

Wolfram Language code: Expectation[y ^ 2 + 2, yNormalDistribution[0, 1]]

使用 ProductDistribution 求期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x + y + 4, {x, y}ProductDistribution[ExponentialDistribution[m], TriangularDistribution[{3, 7}]]]

相同期望值的等价公式：

Wolfram Language code: Expectation[x + y + 4, {xExponentialDistribution[m], yTriangularDistribution[{3, 7}]}]//Together

使用正态分布的分量混合：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ x + 2, xMixtureDistribution[{1, 2}, {NormalDistribution[2, 3], NormalDistribution[4, 5]}]]

指数分布的分量混合：

Wolfram Language code:

Expectation[2x + 3, x  ParameterMixtureDistribution[
   ExponentialDistribution[λ], λ  UniformDistribution[{1, 2}]]]

截断狄利克雷分布：

Wolfram Language code:

Expectation[x ^ 2 + y + 4, {x, y}TruncatedDistribution[{{1 / 3, 1 / 2}, {1 / 6, 5 / 6}}, DirichletDistribution[{2, 4, 7}]]]

删截三角分布：

Wolfram Language code: Expectation[UnitBox[x ^ 2 - 35], xCensoredDistribution[{5, 30}, TriangularDistribution[{1, 50}]]]

边缘分布：

Wolfram Language code: Expectation[x^2 + 13 x + 6E ^ x, xMarginalDistribution[DirichletDistribution[{1, 2, 3}], 1]]

生成相同期望值的等价方式：

Wolfram Language code: Expectation[x^2 + 13 x + 6E ^ x, {x, y}DirichletDistribution[{1, 2, 3}]]

Copula 分布：

Wolfram Language code:

Expectation[x + y ^ 2 + 1, {x, y}CopulaDistribution[{"AMH", 1 / 5}, {UniformDistribution[{0, 1}], UniformDistribution[{0, 1}]}]]

公式分布：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-x ^ 2) + 2, xProbabilityDistribution[3 / 4(x ^ 2 + 2x), {x, 0, 1}]]

推广和延伸 (2)

使用一个纯函数计算一列值的期望值：

Wolfram Language code: r = RandomVariate[NormalDistribution[], 1000];

Wolfram Language code: Expectation[# ^ 2 + 3#&, r]

计算连续分布和离散分布的混合的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[k ^ 2 + 3, kMixtureDistribution[{1, 2}, {ExponentialDistribution[1 / 7], PoissonDistribution[2 / 7]}]]

选项 (6)

Assumptions (1)

在无 Assumptions 时，生成条件：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[x - a], xUniformDistribution[{2, m}]]

如果有 Assumptions，将返回给定假设条件下的有效结果：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[x - a], xUniformDistribution[{2, m}], Assumptions -> 3 < a < 4 && m > a]

Wolfram Language code: Assuming[3 < a < 4 && m > a, Expectation[UnitStep[x - a], xUniformDistribution[{2, m}]]]

Method (4)

计算多项式函数的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + x ^ 10, xNormalDistribution[]]

利用分布的矩得到同样的结果：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + x ^ 10, xNormalDistribution[], Method -> "Moment"]//Timing

利用 Expectation 的积分定义进行运算，速度较慢：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + x ^ 10, xNormalDistribution[], Method -> "Integrate"]//Timing

计算超越函数的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-x), xPoissonDistribution[3]]

这里由于表达式是一个非多项式，基于矩的方法失败：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-x), xPoissonDistribution[3], Method -> "Moment"]

利用 Expectation 作为符号式加和的定义可以得到结果：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-x), xPoissonDistribution[3], Method -> "Sum"]

求 TukeyLambdaDistribution 中函数的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[2x + 1], xTukeyLambdaDistribution[1 / 3]]

该分布的概率密度函数无可用的解析式表示：

Wolfram Language code: PDF[TukeyLambdaDistribution[1 / 3], x]

因此直接应用定义失败：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[2x + 1], xTukeyLambdaDistribution[1 / 3], Method -> "Integrate"]

期望值可以利用 Quantile 计算：

Wolfram Language code: Expectation[UnitStep[2x + 1], xTukeyLambdaDistribution[1 / 3], Method -> "Quantile"]

Wolfram Language code: q = Quantile[TukeyLambdaDistribution[1 / 3], p]

Wolfram Language code: Integrate[(UnitStep[2x + 1] /. {x -> q}), {p, 0, 1}]

计算表达式的期望：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (2x + 1), xNormalDistribution[]]

该例子使用 Integrate:

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (2x + 1), xNormalDistribution[], Method -> "Trace"]

使用 Activate 计算结果：

Wolfram Language code: Activate[%]

TargetUnits (1)

创建一个带单位的分布对象：

Wolfram Language code: 𝒟 = UniformDistribution[{1, 5} Quantity[1, "Seconds"]]

Expectation 默认使用分布中提供的单位：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2, x𝒟]

为 "Hours" 指定目标单位：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2, x𝒟, TargetUnits -> "Hours" ^ 2]

应用 (20)

分布属性 (5)

获得连续分布的原始矩：

Wolfram Language code: Expectation[x ^ n, xChiSquareDistribution[ν], Assumptions -> n > 0]

Wolfram Language code: Moment[ChiSquareDistribution[ν], n]//FunctionExpand

获得离散分布的均值：

Wolfram Language code: Expectation[x, xPoissonDistribution[μ]]

Wolfram Language code: Mean[PoissonDistribution[μ]]

获得截断分布的方差：

Wolfram Language code: dist = TruncatedDistribution[{1, 3}, ExponentialDistribution[2]];

Wolfram Language code: Expectation[(x - Mean[dist]) ^ 2, xdist]

Wolfram Language code: Variance[dist]

构造一个混合密度，此处是一个泊松-逆高斯分布的混合：

Wolfram Language code: Expectation[PDF[PoissonDistribution[μ], k], μInverseGaussianDistribution[m, λ]]

利用 ParameterMixtureDistribution 直接获得相同的结果：

Wolfram Language code: PDF[ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μInverseGaussianDistribution[m, λ]], k]

Wolfram Language code: FullSimplify[% - %%, m∈Reals && m > 0 && λ∈Reals && λ > 0]

验证一个凹函数和一个对数正态分布的詹森(Jensen)不等式：

Wolfram Language code: 𝒟 = LogNormalDistribution[μ, σ];

Wolfram Language code: Expectation[Log[X], X𝒟] ≤ Log[Expectation[X, X𝒟]]

Wolfram Language code: FullSimplify[%, σ > 0 && μ∈Reals]

精算学 (5)

一保险单偿付损失的限额最多为10. 保单持有人的损失所服从分布的密度函数在时为，其它时候为 0. 求该保险单损失支付的期望值：

Wolfram Language code: 𝒟 = CensoredDistribution[{1, 10}, ProbabilityDistribution[2 / y ^ 3, {y, 1, Infinity}]];

Wolfram Language code: Expectation[x, x𝒟]//N

一保险公司的月索赔额用一个连续正随机变量模拟，其概率密度函数在时与成比例. 求该公司月索赔额的期望值：

Wolfram Language code: claimDistribution = ProbabilityDistribution[3 / (1 + x) ^ 4, {x, 0, Infinity}];

Wolfram Language code: Expectation[x, xclaimDistribution]

投保房屋的风灾索赔额是相互独立的随机变量，具有的共同密度函数为时为，其余时候为 0，其中是以1000为单位的索赔额. 求最大的三次索赔的期望值：

Wolfram Language code: windClaims = ProductDistribution[{ProbabilityDistribution[3 / y ^ 4, {y, 1, Infinity}], 3}];

Wolfram Language code: Expectation[1000Max[x, y, z], {x, y, z}windClaims]

令表示发生事故的一辆投保汽车的年龄. 令表示车主在发生事故时对汽车投保的时间长度. 和具有联合概率密度函数（当且时），0 （其它情况）. 计算发生事故的投保汽车的期望年龄：

Wolfram Language code: ageDistribution = ProbabilityDistribution[(10 - x y ^ 2) / 64, {x, 2, 10}, {y, 0, 1}];

Wolfram Language code: Expectation[x, {x, y}ageDistribution]

Wolfram Language code: N[%, 2]

在损失再保险协议的免赔限度下，仅当索赔超出一定金额时，承保人与再承保人共同承担索赔支付. 否则，承保人支付全部索赔. 假定索赔服从参数为和的对数正态分布. 计算当保留水平为时，承保人和再承保人索赔金额的期望值和 . 求承保人索赔支付的期望值：

Wolfram Language code: insurerPayouts = TransformedDistribution[Min[x, m], xLogNormalDistribution[μ, σ], Assumptions -> m > 0];

Wolfram Language code: Expectation[y, yinsurerPayouts]

求再承保人对承保人支付金额的期望值：

Wolfram Language code: reinsurerPayouts = TransformedDistribution[Max[0, x - m], xLogNormalDistribution[μ, σ], Assumptions -> m > 0];

Wolfram Language code: Expectation[z, zreinsurerPayouts]

金融 (2)

计算在时刻支付的1美元死亡恤金的期望时值，其中服从 Gompertz–Makeham分布：

Wolfram Language code: tv = TimeValue[Cashflow[{{t, 1}}], EffectiveInterest[r, 0], 0]

Wolfram Language code: nsp = Expectation[tv, tGompertzMakehamDistribution[a, b]]

求通常在保险单年度的开始支付的年保费，使得期支付流的期望时值等于净整付保费（其中服从 Gompertz–Makeham 分布）：

Wolfram Language code: nap = TimeValue[AnnuityDue[premium, t], EffectiveInterest[r, 0], 0]

Wolfram Language code: etv = Expectation[nap, tGompertzMakehamDistribution[a, b]]

得到的净年保费：

Wolfram Language code: Solve[etv == nsp, premium]//FullSimplify

股票价格在时刻（单位为年）的比例变化假定为参数为和的对数正态分布：

Wolfram Language code: f𝒟[μ_, σ_, t_] = LogNormalDistribution[μ t, σ Sqrt[t]];

计算时刻的期望股票价格：

Wolfram Language code: PriceAtEpoch[S0_, μ_, σ_, t_] = S0 Mean[f𝒟[μ, σ, t]]

假设投资者可以股息收益率，复利年利率为无风险地连续投资一年，风险中性定价条件要求：

Wolfram Language code: PriceAtEpoch[Subscript[S, 0], μ, σ, t + 1] == PriceAtEpoch[Subscript[S, 0], μ, σ, t] Exp[r - q]

求参数：

Wolfram Language code: {sol} = Solve[ForAll[{t, Subscript[S, 0]}, %], μ, Reals]

考虑一个一年后以固定价格购买该股票的期权. 期权的价值等于：

Wolfram Language code: CallOptVal[s_, 𝒦_] = Max[s - 𝒦, 0];

我们再来考虑一年后以固定价格卖出该股票的期权. 期权的价值为：

Wolfram Language code: PutOptVal[s_, 𝒦_] = Max[𝒦 - s, 0];

看涨看跌期权的风险中性价格由期望期权值的现值决定：

Wolfram Language code:

BlackScholesCallOptionPrice[S0_, 𝒦_, r_, q_, σ_, t_] = Assuming[S0 > 0 && r > 0 && q > 0 && σ > 0 && t > 0 && 𝒦 > 0, Exp[-r t]Expectation[CallOptVal[𝒻 S0, 𝒦], 𝒻f𝒟[μ /. sol, σ, t]]//FullSimplify]

Wolfram Language code:

BlackScholesPutOptionPrice[S0_, 𝒦_, r_, q_, σ_, t_] = Assuming[S0 > 0 && r > 0 && q > 0 && σ > 0 && t > 0 && 𝒦 > 0, Exp[-r t]Expectation[PutOptVal[𝒻 S0, 𝒦], 𝒻f𝒟[μ /. sol, σ, t]]//FullSimplify]

现在，你可以得出著名的买卖权平价关系：

Wolfram Language code:

(BlackScholesCallOptionPrice[S0, 𝒦, r, q, σ, t] - BlackScholesPutOptionPrice[S0, 𝒦, r, q, σ, t] == S0 E^-q t - 𝒦 E^-r t)//FullSimplify

假定利率为 5%，股息收益率为2%，波动参数为 0.087，每支股票的初始价格为200美元，行使价为每股190美元，则 Black–Scholes 看涨看跌期权价格为：

Wolfram Language code: values = {𝒦 -> 190, t -> 1, r -> 0.05, σ -> 0.087, S0 -> 200, q -> 0.02};

Wolfram Language code: BlackScholesCallOptionPrice[S0, 𝒦, r, q, σ, t] /. values

Wolfram Language code: BlackScholesPutOptionPrice[S0, 𝒦, r, q, σ, t] /. values

可以将上述结果与 FinancialDerivative 进行比较：

Wolfram Language code:

FinancialDerivative[{"European", "Call"}, Evaluate[{"StrikePrice" -> 𝒦, "Expiration" -> t} /. values],   Evaluate[{"InterestRate" -> r, "Volatility" -> σ, "CurrentPrice" -> S0, "Dividend" -> q} /. values]]

Wolfram Language code:

FinancialDerivative[{"European", "Put"}, Evaluate[{"StrikePrice" -> 𝒦, "Expiration" -> t} /. values],   Evaluate[{"InterestRate" -> r, "Volatility" -> σ, "CurrentPrice" -> S0, "Dividend" -> q} /. values]]

风险与可靠性 (2)

研究指数分布的尾部风险值（TVaR）：

Wolfram Language code:

MeanExcessLoss[dist_, d_] := Expectation[ - d > d, dist]
VaR[dist_, p_] := Quantile[dist, p]
TVaR[dist_, p_] := VaR[dist, p] + MeanExcessLoss[dist, Quantile[dist, p]]

Wolfram Language code: Simplify[MeanExcessLoss[ExponentialDistribution[λ], d], d > 0]

Wolfram Language code: Simplify[VaR[ExponentialDistribution[λ], p], 0 < p < 1]

Wolfram Language code: Simplify[TVaR[ExponentialDistribution[λ], p], 0 < p < 1 && λ > 0]

Wolfram Language code:

Plot[Table[%, { λ, 1, 3, 0.5}]//Evaluate, {p, 0, 1}, PlotLegends -> (StringJoin["λ = ", ToString[#]]& /@ Range[1, 3, 0.5])]

求指数寿命分布的失效平均时间（MTTF）：

Wolfram Language code: MTTF = Expectation[T, TExponentialDistribution[λ]]

随机试验 (2)

连续分布中样本量为10的随机样本以升序排列. 生成一个新的随机数. 求第11个样本落在排序列表的第4个和第5个最小值之间的概率：

Wolfram Language code: 𝒟 = UniformDistribution[];n = 10;k = 4;

Wolfram Language code: Expectation[Probability[x < z < y, z𝒟], {x, y}OrderDistribution[{𝒟, n}, {k, k + 1}]]

概率等于，并且独立于：

Wolfram Language code: Table[Expectation[Probability[x < z < y, z𝒟], {x, y}OrderDistribution[{𝒟, n}, {k, k + 1}]], {k, 1, n - 1}]

它同时独立于分布：

Wolfram Language code: 𝒟 = ExponentialDistribution[1];n = 6;

Wolfram Language code: Table[Expectation[Probability[x < z < y, z𝒟], {x, y}OrderDistribution[{𝒟, n}, {k, k + 1}]], {k, 1, n - 1}]

抛掷四个六面骰子. 求最小值的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x, xOrderDistribution[{DiscreteUniformDistribution[{1, 6}], 4}, 1]]

Wolfram Language code: N[%]

求最大值的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x, xOrderDistribution[{DiscreteUniformDistribution[{1, 6}], 4}, 4]]

Wolfram Language code: N[%]

求最大的三个值之和的期望值. 利用恒等式和所得到的 Expectation 的线性关系：

Wolfram Language code:

Expectation[x1 + x2 + x3 + x4, {x1, x2, x3, x4}ProductDistribution[{DiscreteUniformDistribution[{1, 6}], 4}]] - Expectation[x, xOrderDistribution[{DiscreteUniformDistribution[{1, 6}], 4}, 1]]

Wolfram Language code: N[%]

其他应用 (4)

一个玩家在一个赌场投注金额，该游戏无赌注限制，获胜机率为 . 如果赌输，他要将赌注加倍，如果赌赢则退出，因此他的游戏次数服从几何分布且参与游戏的次数期望值如下：

Wolfram Language code: Expectation[k + 1, kGeometricDistribution[p]]

赢得第次游戏所需的准备金为：

Wolfram Language code: cashReserve[k_] := Sum[a 2^n - 1, {n, 1, k - 1}]

该玩家总是在收集初始下注金额后离开赌场：

Wolfram Language code: a 2^k - 1 - cashReserve[k]//Simplify

执行上述策略所需的准备金仅对于严格有利的游戏是有限的，其中：

Wolfram Language code: Expectation[cashReserve[k + 1], kGeometricDistribution[p], GenerateConditions -> True]

一种药物已被证明是在40%的情况下有效. 求应用于700例患者时，成功次数的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x, xBinomialDistribution[700, 0.4]]

一名棒球运动员击中的概率为 0.300. 如果该运动员用球棒击球3次，求击中次数的期望值：

Wolfram Language code: Expectation[x, xBinomialDistribution[3, 0.300]]

如果信噪比服从韦伯分布，求均值：

Wolfram Language code: AverageSNR = Expectation[γ, γWeibullDistribution[α, β]]

属性和关系 (10)

一个连续分布中表达式的期望值由一个积分定义：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ x, xNormalDistribution[]]

Wolfram Language code: Integrate[E ^ x PDF[NormalDistribution[], x], {x, -Infinity, Infinity}]

离散分布中一个表达式的期望值由和式定义：

Wolfram Language code: Expectation[E ^ x, xPoissonDistribution[1]]

Wolfram Language code: Sum[E ^ x PDF[PoissonDistribution[1], x], {x, -Infinity, Infinity}]

一个条件期望值是根据期望值和概率的比值定义的：

Wolfram Language code: 𝒟 = ExponentialDistribution[λ];

Wolfram Language code: expr = x ^ 2;cond = x > 1;

Wolfram Language code: Expectation[exprcond, x𝒟] == (Expectation[Piecewise[{{expr, cond}}], x𝒟]/Probability[cond, x𝒟])

使用 NExpectation 求期望的数值：

Wolfram Language code: dist = ExponentialDistribution[1];

Wolfram Language code: Expectation[E ^ (-x ^ 2), xdist]

Wolfram Language code: N[%]

Wolfram Language code: NExpectation[E ^ (-x ^ 2), xdist]

计算一个事件的概率：

Wolfram Language code: Probability[1 < x < 3, xExponentialDistribution[2]]

利用 Expectation 得到相同的结果：

Wolfram Language code: Expectation[Boole[1 < x < 3], xExponentialDistribution[2]]

如果符号计算失败，N[Expectation[…]] 等价于 NExpectation：

Wolfram Language code: f[x_ ? NumericQ] := x ^ 2 + 2

Wolfram Language code: Expectation[f[x], xNormalDistribution[]]

Wolfram Language code: N[%]

Wolfram Language code: NExpectation[f[x], xNormalDistribution[]]

用 AsymptoticExpectation 求期望的渐近近似：

Wolfram Language code: dist[b_] := ExponentialDistribution[b];

Wolfram Language code: AsymptoticExpectation[E ^ (-x ^ 3), xdist[b], {b, 0, 6}]

用 Asymptotic[Expectation[…]] 获取同样的结果：

Wolfram Language code: Asymptotic[Expectation[E ^ (-x ^ 3), xdist[b]], {b, 0, 6}]

Mean、Moment、Variance 和其他属性由期望值定义：

Wolfram Language code: dist = ExponentialDistribution[3];

Wolfram Language code: {Mean[dist], Expectation[x, xdist]}

Wolfram Language code: {Variance[dist], Expectation[(x - Mean[dist]) ^ 2, xdist]}

Wolfram Language code: {Moment[dist, 5], Expectation[x ^ 5, xdist]}

Wolfram Language code: {CentralMoment[dist, 5], Expectation[(x - Mean[dist]) ^ 5, xdist]}

Wolfram Language code: {FactorialMoment[dist, 5], Expectation[FactorialPower[x, 5]//FunctionExpand, xdist]}

包括 MomentGeneratingFunction 在内的母函数均由期望值定义：

Wolfram Language code: dist = ExponentialDistribution[3];

Wolfram Language code: {MomentGeneratingFunction[dist, t], Expectation[E ^ (t x), xdist]}//Simplify

Wolfram Language code: {CharacteristicFunction[dist, t], Expectation[E ^ (I t x), xdist]}//Simplify

Wolfram Language code: {CentralMomentGeneratingFunction[dist, t], Expectation[E ^ (t (x - Mean[dist])), xdist]}//Simplify

Wolfram Language code: {FactorialMomentGeneratingFunction[dist, t], Expectation[t ^ x, xdist]}//Simplify

对于一个由列表指定的分布，Expectation 等价于使用 Mean：

Wolfram Language code: data = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};

Wolfram Language code: Expectation[x ^ 2 + 3, xdata]

Wolfram Language code: Mean[Table[x ^ 2 + 3, {x, data}]]

可能存在的问题 (1)

默认情况下，Integrate 的 GenerateConditions 设置为 False，Expectation 可能会给出错误的结果：

Wolfram Language code: Expectation[x, xCauchyDistribution[a, b]]

事实上，这种期望是未定义的：

Wolfram Language code: Mean[CauchyDistribution[a, b]]

将 GenerateConditions 设置为 True 以确保正确的结果：

Wolfram Language code: Expectation[x, xCauchyDistribution[a, b], GenerateConditions -> True]

Top

Assumptions	$Assumptions	对参数所做的假定 »
GenerateConditions	False	是否生成关于参数的条件
Method	Automatic	使用何种方法 »
TargetUnits	Automatic	输出中所显示的单位 »

Expectation

更多信息和选项

背景

范例

基本范例 (3)

范围 (31)

基本用途 (9)

用于数量 (5)

参数分布 (4)

非参数分布 (4)

导出分布 (9)

推广和延伸 (2)

选项 (6)

Assumptions (1)

Method (4)

TargetUnits (1)

应用 (20)

分布属性 (5)

精算学 (5)

金融 (2)

风险与可靠性 (2)

随机试验 (2)

其他应用 (4)

属性和关系 (10)

可能存在的问题 (1)

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