表达式关于 x 的导数：

二阶导数：

表达式在某点的导数：

函数在一般点 x 的导数：

这也可以使用流数符号得到：

在点 x==5 的导数：

这可以更轻松地使用流数符号得到：

在点 x==-1 的三阶导数：

关于符号函数的导数：

表达式关于 x 和 y 的偏导数：

混合偏导数 ：

混合偏导数 ：

关于复合表达式的导数：

关于不同复合表达式的导数：

向量表达式的导数：

矩阵表达式：

嵌套列表的导数：

表达式的向量导数，也称作梯度：

二阶向量导数，也称作海森矩阵：

矩阵导数：

创建基本导数的表格：

符号式函数的导数：

对 f 代入纯函数得到特定结果：

和的导数：

积：

商：

复合函数链式法则：

三个函数的乘积规则：

使用 Inactive 导数表明规则：

符号函数的偏导数：

对 f 代入具有两个变量的纯函数：

纯函数关于无自变量参数的导数：

得到的函数给出 在点 x 关于 a 的导数：

局部变量与导数变量无关：

符号函数在一个点的导数：

使用撇号，结果相同：

反函数的导数：

n 阶导数的乘积规则：

链式规则：

多项式和有理函数：

代数函数：

三角函数和反三角函数：

指数和对数函数：

双曲函数：

创建一个函数，为表达式列表制作一个格式美观的导数表格：

创建一个三阶导数表格：

创建一个双曲导数表格：

Gamma 的对数导数是 PolyGamma 函数：

艾里函数的导数以 AiryAiPrime 和 AiryBiPrime 的形式给出：

Zeta 的导数在原点处具有解析形式表达式：

具有初等导数的特殊函数：

导数以相同形式的函数表示的特殊函数：

JacobiSN 的导数：

JacobiCD 的导数：

LogIntegral 的导数：

ExpIntegralEi 的导数：

SinIntegral 的 n 阶导数：

创建一个特殊函数的导数表格：

分段函数的导数：

ConditionalExpression 的导数：

将符号函数转换为实数区间上的分段函数，并对其求导：

计算有限域上的分段导数：

点态定义工程函数的经典导数：

广义函数的分布式导数：

RealAbs 的导数：

RealSign：

它们的相应部分在复平面上不可微分：

Floor 的导数：

Ceiling：

程序式定义的函数导数：

D 逐项作用于 Equal 以计算隐函数的导数：

计算双变量隐函数的偏导数：

由方程组定义的隐式函数的偏导数：

列表的导数：

二阶导数：

向量值函数在广义值 t 处的一阶导数：

使用撇号进行相同的计算：

在 t==0 处的三阶导数：

使用撇号进行相同的计算：

矩阵的导数：

四阶导数：

存储为 SparseArray 的向量值函数的导数：

将结果转换为普通数组：

用 SymmetrizedArray 对象表示矩阵的导数：

将结果转换为普通数组：

标量函数的梯度：

海森矩阵：

矢量值函数的雅可比行列式：

二阶导数张量：

计算行列式关于原始矩阵的导数：

存储为 SparseArray 的向量值函数的梯度：

结果也是一个 SparseArray，仅含有非零项：

将结果转换为普通矩阵：

作为 SparseArray 计算的海森行列式：

梯度也可以作为 SparseArray 计算，但在此例中它实际上是稠密的：

以 SparseArray 计算雅可比行列式：

符号向量值函数关于标量参数的导数：

符号矩阵-值函数关于标量参数的导数：

符号数组-值函数关于标量参数的导数：

标量-值函数关于符号向量参数的导数：

实数符号矢量参数：

标量值函数关于符号矩阵参数的导数：

实数符号矩阵参数：

标量值函数关于符号数组参数的导数：

符号数组-值函数关于符号数组参数的导数：

符号数组复合函数的导数：

对未计算的积分求导：

傅立叶变换：

拉普拉斯变换：

卷积：

对积分的 Inactive 形式求导，得到积分的基本定理：

基本定理的更为广义的形式：

对未激活的 FourierTransform 求导：

验证正式结果：

对未计算的和式求导：

对虚拟变量求导得到零：

离散卷积：

对和式的 Inactive 形式求导：

ZTransform：

对未激活的 GeneratingFunction 求导：

验证正式结果：

对带有下标的变量微分，引入 KroneckerDelta 因子：

使用 Inactive 防止和式的展开：

必要时和式的指标将被重新命名，以避免名称的混淆：

对未激活的表格关于带下标的变量进行微分：

激活结果得到显式的向量结果：

对未激活的表格关于带下标的变量进行两次微分：

在这种情况下，只有第 j 个项非零：

在和式和表格中将任意符号用作变量的下标：

对下标变量的符号式表格进行微分：

激活结果，给出显式的梯度：

对下标变量的符号式表格进行两次微分，引入一个虚拟指标：

用显式值代替符号式变量：

使用另一个符号向量的符号向量微分：

向量关于自身进行向量微分得到单位矩阵：

定义带有撇号的导数：

用这个规则运算导数：

定义在某点处的导数：

定义二阶导数：

规定 f 和 g 的值和导数：

求该组合在 x=3 的导数：

用 Derivative 定义偏导数：

将 y 作为 x 的变量进行微分：

求解 y 的导数以实现隐式微分：

导数给出在某点处的切线斜率：

对于从基点 π 的小位移 h，切线给出对 f 很好的近似：

在很小且只在很小的绘图区域上，切线和 f 在视觉上无法区分彼此：

导数给出连接 {x,f[x]} 和 {x+h,f[x+h]} 的割线斜率极限：

可视化点 {1,f[1]} 的过程：

求函数的切线方程：

在 x=a 处的一般切线方程：

在 x=4 处的切线：

求函数的法线方程：

在 x=a 处的一般法线方程：

在 x=1 处的法线：

求通过某点的函数切线方程：

在 x=a 处的一般切线方程：

求 f[x] 通过 (0,-4) 的切线：

求平面曲线的拐点：

求函数的临界点：

根据二阶导数检测，这些是极大值或极小值：

可视化临界点：

求区间上满足中值定理的所有 c 值：

定义从 a 到 b 的割线：

定义与 c 的两个值关联的切线：

可视化沿原函数与割线平行的两条切线：

使用一阶导数表征函数：

求函数的临界点：

求函数的递增区域：

求函数的递减区域：

可视化结果：

使用二阶导数表征函数：

求函数的拐点：

求函数的正凹区域：

求函数的负凹区域：

可视化结果：

用 t=x^2 改变积分中的变量：

验证符号积分的结果：

求双变量的函数的临界点：

计算 和二阶偏导数的行列式的正负号：

根据二阶导数检测，头两个点（在图形中用红色和蓝色表示）为极小值点，第三个点（绿色）为鞍点：

求圆形螺旋的曲率，其半径为 r，螺距为 c：

使用 ArcCurvature 得到相同结果：

手动计算一元泰勒级数：

手动计算多元泰勒级数：

编写一个函数来自动执行此过程：

使用新函数重新进行上述计算：

梯度向量可以通过求函数的偏导数计算：

求函数 的梯度向量：

使用单位向量表示可视化梯度向量的方向：

平面上向量场的旋度可以通过减去其分量的导数计算：

求向量场 的旋度：

可视化向量场在一个点作为净“旋转”的二维旋度，红色和绿色分别表示顺时针和逆时针旋度，半径与旋转幅度成正比：

向量场的散度可以通过分量导数的加和计算：

求二维向量场的散度：

可视化向量场在一个点作为净“流”的二维散度，分别用红色和绿色表示流出和流入，半径与流量大小成正比：

构建满足隐函数 y[x] 的微分方程：

使用 D 指定普通和偏微分方程：

这些可以通过 DSolve 求解：

定义两个空间变量的波动方程：

定义函数及第一次导数的初始值：

指定边界条件：

使用 DSolve 求解：

从 Inactive 和式中提取几个项：

二维波在垂直方向进行周期运动：

使用 D 指定拉普拉斯算子：

指定齐次狄利克雷边界条件：

求算子在单位圆盘上的4个最小的特征值和特征函数：

可视化特征函数：

使用 D 指定积分微分方程：

得到通解：

指定初始条件，得到特解：

对 a 取不同值时解的图形：

求微分方程的二次多项式解：

抛物体在 t 时刻的高度由下式给出：

计算在 t 时刻的速度：

计算在 t 时刻的加速度：

求抛物体何时到达最高点：

求抛物体的最高点：

作为时间函数的圆面积由下式给出：

计算面积的变化率：

求半径为 10 m 的面积的变化速率，如果半径的递增速率为 5m/s：

粒子位置由下式给出：

计算粒子的速度、加速度、加加速度、突弹跳变（snap）、裂变（crackle）和变形（pop）：

两个电阻并联的电路总电阻由下式给出：

已知 R₁ 和 R₂，计算 R_T：

求总电阻的变化速率：

计算给定值的总电阻的变化速率：

边长为 l 的立方体体积由下式给出：

立方体的表面积由下式给出：

使用链式法则计算立方体体积相对于表面积的变化速率：

用面积的形式求解 l，并代入结果：

求隐函数在 (1,) 处的切线方程：

计算在 x=1 处的斜率：

在 x=1 处的切线：

可视化切线：

求隐函数斜率等于 时点的位置：

函数之间的关系由下式给出：

求 z[t] 的导数：

用给定值计算 z'[t]：

矩形篱笆总长 2000 英尺，其中一条边与谷仓毗邻，求该篱笆的最大面积：

计算面积，用宽度表示：

求最大值：

根据二阶导数检测，该值为真实最大值：

另外，也可以用长度表示面积：

可视化长度变化时面积的变化：

求曲线上到一点 (1,5) 的最短距离：

计算距离，用 y 表示：

求最小值点：

根据二阶导数检测，这是最小值：

可视化距离随位置的变化：

用最少的材料制作一个可以容纳2升水的无盖圆柱体，求圆柱体的尺寸：

利用体积约束条件计算高度，用半径表示：

计算表面积，用半径表示：

对应于最小表面积的半径：

根据二阶导数检验，这是最小值：

计算最小配置下的半径、高度和表面积：

可视化尺寸随半径的变化：

求两个函数的比值在 x0 时的极限：

直接求解极限会导致类型为 的未定式：

可以使用洛比达法则，因为在 附近的区间上， 和 均有定义，且 :

事实上， 和 是连续的，且 ，因此 显然可以得到：

使用 Limit 验证结果：

可视化这两个函数及其比值：

求两个函数的比值在 x∞ 时的极限：

直接求解极限会导致类型为 的未定式：

可以使用洛比达法则，因为对于 ， 和 均有定义，且有 ：

然而，使用一阶导数也会导致未定式：

二阶导数为常数，明显满足洛比达法则的条件：

因此 显然可以得到：

使用 Limit 验证结果：

求在 x0 时两个函数之积的极限：

直接求解极限将导致类型为 0×∞ 的未定式：

注意到 未定义：

然而， 存在，且对于所有 均为正，对于所有 也存在且为负：

由于 对全部实数 有明确定义，可以应用洛比达法则：

等式右边的比值给出极限易于计算的连续表达式：

近似扰动向量的方差：

零阶近似：

与精确值进行比较：

一阶近似：

与精确值进行比较：

二阶近似：

由于二阶导数不取决于 ，因此二阶近似值等于精确值：

近似扰动矩阵的行列式：

零阶近似：

与精确值进行比较：

一阶近似：

与精确值进行比较：

二阶近似：

与精确值进行比较：

针对以 配对列表形式给出的数据 ，推导出最小二乘法解：

求数据的垂直偏差向量 ：

定义数据垂直偏差的平方和：

设立最小二乘方程：

生成一些数据：

求解这些数据的最小二乘法问题：

使用最大似然法求得最拟合给定数据的 GammaDistribution 参数：

最大化对数似然函数 ：

计算 的梯度：

用 代替 ，求梯度的零点：

将结果可视化：

与使用 EstimatedDistribution 计算出的结果进行比较：

为预期收益率为 、标准差为 的投资组合优化问题找出最优条件：

当资产权重向量 满足 Total[x]=1 时，目标是最大化 . 该约束可以用来表示 ，其中无约束向量变量 由 的前 个坐标组成：

最大值出现在 的临界点：

用 表示条件：

计算方程 所代表的线性回归模型的对数似然函数的梯度，其中 为正态分布随机变量，均值为零，方差为 ：

对数似然函数 由以下给出：

计算 ：

用 表示结果：

计算 ：

计算幂级数的系数：

通过对 关于 在 处求导，推导 的解析形式：

现在首先计算 的积分，然后关于 在 处求导：

最终结果：

验证结果：

通过对 关于 在 处求导，推导 的解析形式：

计算 ，然后求导：

结果：

验证结果：