NContourIntegrate
NContourIntegrate
NContourIntegrate[f,z∈cont]
複素平面上で cont で定義される曲線に沿った f の数値積分を与える．
詳細とオプション
- 周回積分は経路積分あるいは複素線積分としても知られている．
- 周回積分は複素解析における正則関数および有理型関数の研究で発現したものであるが，現在では逆ラプラス(Laplace)変換およびZ変換の計算，定積分と総和，偏微分方程式の解を含む幅広い分野で使われている．
- 積分路 cont
に沿った関数 
の周回積分は以下で与えられる． - 周回積分の値はパラメータ化には依存しないが，積分路 cont の向きには依存する．
- 関数 f は，通常は z の有理型関数であるが，複素平面内の cont の近傍で定義される任意の区分連続関数でよい．
- 有理型関数
の閉じた積分路 cont に沿った周回積分はコーシー(Cauchy)の留数定理を使って計算できる． - 次は，よく使われる閉じた積分路 cont である． »
-
{"Hairpin",hl} 半直線 hl を囲む 
{"UpperSemicircle",ipts,epts} すべて実軸上の点 ipts を含み点 epts は含まない上半平面を囲む 
{"LowerSemicircle",ipts,epts} すべて実軸上の点 ipts を含み点 epts は含まない下半平面を囲む 
{"Dumbbell",pt1,pt2} 点 pt1と点 pt2で与えられるカプセルを囲む - 複素点は{x,y}のペアで与えられる．複素半直線はHalfLineプリミティブとして与えられる．
における積分路 cont は 
における曲線領域(RegionQ)としても指定できる．- パラメトリック積分路ParametricRegion[{x[t],y[t]},{{t,a,b}}]の向きは t が増加する方向である．
- 次は，
における特殊積分路とその推定される方向である． -
Line[{p1,p2,…}] p1から p2まで等 
HalfLine[{p1,p1}] p1から p2に向かう 
InfiniteLine[{p1,p2}] p1から p2に向かう 
Circle[p,…] 反時計回り - Polygonのような面領域を使うことができる．その場合の積分路は境界線RegionBoundary[Polygon[…]]である．
- 次は，
における特殊面領域とその推定境界線の向きである． -
Triangle[{p1,p2,p3}] 反時計回り 
Rectangle[p1,p2] 反時計回り 
RegularPolygon[n,…] 反時計回り 
Polygon[{p1,p2,…}{{q1,q2,…},…}] 外側の積分路の反時計回り，内側の積分路の時計回り 
Disk[p,…] 反時計回り 
Ellipsoid[p,…] 反時計回り 
StadiumShape[{p1,p2},r] 反時計回り 
Annulus[p,{rm,rm},…] 外側の積分路の反時計回り，内側の積分路の時計回り - cont 内の領域は，自動評価を避けるためにInactiveでラップされることがある．
- 次は，使用可能なオプションである．
-
AccuracyGoal Automatic 目標絶対確度の桁数 MaxPoints Automatic サンプル点の最大総数 MaxRecursion Automatic 再帰的下位区分の最大数 Method Automatic 使用するメソッド MinRecursion 0 再帰的下位区分の最小数 PrecisionGoal Automatic 目標精度の桁数 WorkingPrecision Automatic 内部計算精度
例題
すべて開く すべて閉じる例 (3)
NContourIntegrate[1 / z, z∈Circle[]]Show[ComplexPlot[(z^3 (1 - 5 z)/(1 + z) (1 + 2 z^4)), {z, -4 - 4I, 4 + 4I}], ...]NContourIntegrate[(z ^ 3(1 - 5z)/(1 + z) (1 + 2 z^4)), z∈Circle[{0, 0}, 3]]Show[ComplexPlot[(Cos[z]/z(z^2 + 3)(z - 2)), {z, -4 - 4I, 4 + 4I}], ...]NContourIntegrate[(Cos[z]/z(z^2 + 3)(z - 2)), z∈Circle[{0, 0}, {1, 3}]]結果をContourIntegrateと比較する：
ContourIntegrate[(Cos[z]/z(z^2 + 3)(z - 2)), z∈Circle[{0, 0}, {1, 3}]]N[%]スコープ (46)
基本的な用法 (9)
f = (1/(z - 1)^2 (z - I));ComplexPlot[f, {z, -3 - 3I, 3 + 3I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈Circle[{1, 0}, 1]]ContourIntegrateと比較する：
ContourIntegrate[f, z∈Circle[{1, 0}, 1]]f = Exp[2z] / (z - 1);reg = Line[{{0, 0}, {1, 1}, {2, 0}}];ComplexPlot[f, {z, -1 - I, 3 + 3I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = Sin[Pi * z] ^ 2 / (z - 1 - I);reg = Disk[{0, 0}, 3, {0, Pi}];NContourIntegrate[f, z∈reg]f = Sin[z ^ 2 + 1 / z] ^ 3;reg = Circle[];NContourIntegrate[f, z∈reg]reg = ParametricRegion[{Cos[t], Sin[t]}, {{t, 0, 2Pi}}];NContourIntegrate[1 / z, z∈reg]f = (Cosh[z^2 - 1]/z^3 + I / 2);reg = Disk[{0, 0}, 1, {0, Pi}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (Cos[1 / z]/z);reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 3 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = Exp[1 / Conjugate[z]];reg = Line[{{-1, -1}, {0, -1}, {1, -3 / 2}}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, Epilog -> {RGBColor[0.33333333333333337, 0.33333333333333337, 0.33333333333333337], Arrow@reg}, ImageSize -> Small]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = Log[z ^ 2 - 1 / 2];reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -1.5 - 1.5I, 1.5 + 1.5I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg, AccuracyGoal -> 5]スペシャルトピック：有理関数 (8)
NContourIntegrate[(3z ^ 3 + 2) / ((z - 1)(z ^ 2 + 9)), z∈Circle[{0, 0}, 4]]ComplexPlot[((z ^ 5 + 1) ^ 8/(z - I / 2)(z - 1 / 3) ^ 2), {z, -1 - I, 1 + I}, ...]NContourIntegrate[(z ^ 5 + 1/(2z - I)(3z - 1) ^ 3), z∈RegularPolygon[5]]f = ((z - I) ^ 3/(z - 1)(z - 2)(z - 3));reg = Triangle[{{2, 1}, {-2, 0}, {3, -1}}];ComplexPlot[f, {z, -4 - 2I, 4 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (z^4 + 1/(z^2 - 1)^2 + 3);reg = Rectangle[{-2, 0}, {2, 1}];ComplexPlot[f, {z, -5 / 2 - 2I, 5 / 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (z ^ 6 - 2I * z ^ 5 + 3 / 2z ^ 3 - 1) / (z(z ^ 2 - z - I) ^ 2);reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -3 / 2 - 3I / 2, 3 / 2 + 3I / 2}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = ((z + 1) ^ 2(z - 2 - 2I) ^ 3/z^2(z - 1 / 2) ^ 2(z - 3 + I));reg = Line[{{1, 0}, {2, 1}, {3, 0}, {4, 1}}];ComplexPlot[f, {z, -1 - 2I, 9 / 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (2z(z + 2)/z - 2);reg = Circle[{0, 0}, {1 / 2, 1}, {0, (7Pi/4)}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (z - 2) ^ 2 / (z - 1 / 2);reg = Circle[];NContourIntegrate[f, z∈reg]スペシャルトピック：有理型関数 (5)
f = (z^2 + I/(z - I / 2)Cos[3z]);reg = RegularPolygon[5];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]ContourIntegrate[f, z∈reg]N[%]f = (Sin[z]/z(z^2 + 3)(z - 2));reg = Circle[{0, 0}, {1, 3}];ComplexPlot[f, {z, -4 - 4I, 4 + 4I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (Cosh[z^2 - 1 / 4]/z^2 + 1 / 4);reg = Disk[{0, 0}, 1, {0, Pi}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = Tan[z - I];reg = Annulus[{0, 0}, {1, 3}, {0, Pi}];ComplexPlot[f, {z, -7 / 2 - 7I / 2, 7 / 2 + 7I / 2}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]NContourIntegrate[1 / Sin[z], z∈Circle[{0, 0}, 6]]スペシャルトピック：真性特異点を持つ関数 (4)
f = Exp[1 / z];reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]輪郭内に真性特異点があるSin関数：
f = (Sin[1 / z]/z^4 + I);reg = Rectangle[{-1 / 2, -1 / 2}, {1, 1}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (Tanh[1 / z]/(z - 1)(z + I / 2));reg = Disk[{-1 / 2, -1}, {1, 3 / 2}, {0, Pi / 2}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]f = (Cos[2 - 1 / z]/z);reg = Annulus[{-1 / 2, -1}, {1 / 2, 3 / 2}, {0, Pi / 2}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 3 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]スペシャルトピック：非解析的関数 (4)
f = Conjugate[z];reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]Arg関数の周回積分：
f = Arg[z];reg = Circle[{0, 0}, 2];ComplexPlot[f, {z, -3 - 3I, 3 + 3I}, ...]NContourIntegrate[Arg[z], z∈reg]f = (1/z - Conjugate[z] + 1);reg = Disk[{0, 0}, {1, 2}, {-Pi / 8, 11Pi / 8}];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]//Simplifyf = (Exp[Conjugate[z]]/z + Conjugate[z]);reg = Rectangle[{-5 / 2, -5 / 2}, {-1, -1}];ComplexPlot[f, {z, -6 / 2 - 6 / 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]スペシャルトピック：分枝切断線がある関数 (2)
f = Sqrt[z ^ 3 - I / 2];reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -1.5 - 1.5I, 1.5 + 1.5I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg, WorkingPrecision -> 20, MaxRecursion -> 20, AccuracyGoal -> 6]//Quietf = (z^2/Sqrt[z^2 + 1 / 2]);reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]//Quietスペシャルトピック：名前付きの積分路 (7)
複素平面の上半分で閉じている，実軸上の極の周りの，正の方向の実軸に沿った周回積分：
NContourIntegrate[I E ^ (I p) / (p ^ 2 - 4), p∈{"UpperSemicircle", 2, -2}]ContourIntegrate[I E ^ (I p) / (p ^ 2 - 4), p∈{"UpperSemicircle", 2, -2}]%//NComplexPlot[I E ^ (I p) / (p ^ 2 - 4), {p, -4 - 4I, 4 + 4I}, ...]NContourIntegrate[I E ^ (I p) / (p ^ 2 - 1) / (p - I / 2), p∈{"UpperSemicircle", Point[{1, 0}], Point[{-1, 0}]}]ContourIntegrate[I E ^ (I p) / (p ^ 2 - 1) / (p - I / 2), p∈{"UpperSemicircle", Point[{1, 0}], Point[{-1, 0}]}]%//N複素平面の下半分で閉じている，実軸上の極の周りの，正の方向の実軸に沿った周回積分：
NContourIntegrate[I E ^ (-I p) / (p ^ 2 - 4), p∈{"LowerSemicircle", -2, 2}, MaxRecursion -> 20]ContourIntegrate[I E ^ (-I p) / (p ^ 2 - 4), p∈{"LowerSemicircle", -2, 2}]%//NComplexPlot[I E ^ (-I p) / (p ^ 2 - 4), {p, -4 - 4I, 4 + 4I}, ...]NContourIntegrate[I E ^ (-2I p) / (p ^ 2 - 1) / (p + 3I), p∈{"LowerSemicircle", Point[{-1, 0}], Point[{1, 0}]}, MaxRecursion -> 20]ContourIntegrate[I E ^ (-2I p) / (p ^ 2 - 1) / (p + 3I), p∈{"LowerSemicircle", Point[{-1, 0}], Point[{1, 0}]}]%//Nヘアピン積分路あるいはハンケル(Hankel)積分路の周りの周回積分：
NContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 2)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]ContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 2)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]%//NComplexPlot[(-z) ^ (1 / 2)E ^ (-z), {z, -2 - 2I, 3 + 3I}, ...]NContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 3 - 1)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]ContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 3 - 1)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]%//NComplexPlot[(-z) ^ (1 / 3 - 1)E ^ (-z), {z, -2 - 2I, 3 + 3I}, ...]評価するとZeta関数になる周回積分：
ContourIntegrate[(-z) ^ (14 / 9 - 1)E ^ (-3 z) / (1 - E ^ -z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]%//NNContourIntegrate[(-z) ^ (14 / 9 - 1)E ^ (-3 z) / (1 - E ^ -z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]ComplexPlot[(-z) ^ (14 / 9 - 1)E ^ (-3 z) / (1 - E ^ -z), {z, -3 - 3I, 3 + 3I}, ...]NContourIntegrate[E ^ (-z - 1 / 2z ^ 2)(-z) ^ (3 / 2 - 1), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]ComplexPlot[E ^ (-z - 1 / 2z ^ 2)(-z) ^ (3 / 2 - 1), {z, -3 - 3I, 3 + 3I}, ...]NContourIntegrate[Log[z / (z - 1)], z∈{"Dumbbell", 0, 1}]ComplexPlot[Log[z / (z - 1)], {z, -1 - I, 2 + 2I}, ...]スペシャルトピック：領域の輪郭 (7)
NContourIntegrate[1 / (s + 1)(1 / 2) ^ -s, s∈InfiniteLine[{1, 0}, {0, 1}]]ComplexPlot[1 / (s + 1) * (1 / 2) ^ -s, {s, -20 - 20I, 20 + 20I}, ...]NContourIntegrate[1 / (z - 1 / 2), z∈Circle[]]NContourIntegrate[(z + 1)(z - I)(z + 2I - 1), z∈Line[{{0, 0}, {1, 1}}]]ComplexPlot[(z + 1)(z - I)(z + 2I - 1), {z, -3 - 3I, 3 + 3I}, ...]reg = Triangle[{{0, 1}, {-1, 0}, {1, 0}}];NContourIntegrate[Sinh[z ^ 2] / (z - I / 2), z∈reg]ComplexPlot[Sinh[z ^ 2] / (z - I / 2), {z, -2 - I, 2 + 2I}, ...]reg = Rectangle[{-1, -1}, {1, 1}];NContourIntegrate[E ^ (I z) / (z ^ 2 + 1 / 4), z∈reg]ComplexPlot[E ^ (I z) / (z ^ 2 + 1 / 4), {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]reg = Disk[{0, 0}, {1, 2}, {0, Pi / 3}];NContourIntegrate[Cosh[z ^ 3] / (z - 1 / 2 - I), z∈reg]ComplexPlot[Cosh[z ^ 3] / (z - 1 / 2 - I), {z, -1 - I, 2 + 2I}, ...]reg = Annulus[{0, 0}, {1, 2}, {0, Pi}];NContourIntegrate[ArcTan[z + 2] / (z ^ 2 + 3 / 2), z∈reg]ComplexPlot[ArcTan[z + 2] / (z ^ 2 + 3 / 2), {z, -3 - I, 3 + 3I}, ...]オプション (7)
AccuracyGoal (1)
オプションAccuracyGoalは確度の桁数を設定する：
exact = ContourIntegrate[1 / z, z∈Circle[{2, 0}]]NContourIntegrate[1 / z, z∈Circle[{2, 0}], AccuracyGoal -> 15] - exactデフォルト設定による結果はPrecisionGoalしか設定しない：
NContourIntegrate[1 / z, z∈Circle[{2, 0}]] - exact
MaxPoints (1)
MaxRecursion (1)
オプションMinRecursionは再帰ステップの最大数を指定する：
NContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 2)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}, MaxRecursion -> 5]
NContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 2)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}, MaxRecursion -> 25]ContourIntegrate[(-z) ^ (1 / 2)E ^ (-z), z∈{"Hairpin", HalfLine[{0, 0}, {1, 0}]}]%//NMethod (1)
オプションMethodはNIntegrateにおけるのと同じ値を取ることができる．例として以下を見よ：
NContourIntegrate[(z - 3) / (z - I / 2), z∈Circle[], Method -> "TrapezoidalRule", WorkingPrecision -> 9]NContourIntegrate[(z - 3) / (z - I / 2), z∈Circle[], Method -> "NewtonCotesRule", WorkingPrecision -> 9]NContourIntegrate[(z - 3) / (z - I / 2), z∈Circle[], Method -> "ClenshawCurtisRule", WorkingPrecision -> 9]NContourIntegrate[(z - 3) / (z - I / 2), z∈Circle[], WorkingPrecision -> 9]ContourIntegrate[(z - 3) / (z - I / 2), z∈Circle[]]%//N[#, 9]&MinRecursion (1)
オプションMinRecursionは下位区分が最小数になるように強制する：
NContourIntegrate[Exp[-300Abs[z] ^ 2], z∈Line[{{-70, -70}, {70, 70}}]]
NContourIntegrate[Exp[-300Abs[z] ^ 2], z∈Line[{{-70, -70}, {70, 70}}], MinRecursion -> 5]ContourIntegrate[Exp[-300Abs[z] ^ 2], z∈Line[{{-70, -70}, {70, 70}}]]%//NPrecisionGoal (1)
オプションPrecisionGoalは積分の相対許容度を設定する：
exact = ContourIntegrate[1 / (1 / 2 + Sin[z]), z∈Circle[]]NContourIntegrate[1 / (1 / 2 + Sin[z]), z∈Circle[], PrecisionGoal -> 15] - exactNContourIntegrate[1 / (1 / 2 + Sin[z]), z∈Circle[]] - exactWorkingPrecision (1)
WorkingPrecisionを使って作業精度が設定できる：
f = Exp[Tan[2 + 1 / z]];NContourIntegrate[f, z∈Circle[]]NContourIntegrate[f, z∈Circle[], WorkingPrecision -> 25]アプリケーション (22)
有理関数 (2)
NContourIntegrate[(1/z^2 + 1), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {0, Pi}]]これは，記号的に計算された大きい 
についての極限と一致する：
Limit[ContourIntegrate[(1/z^2 + 1), z∈Disk[{0, 0}, R, {0, Pi}]], R -> ∞]NIntegrateによって入手した同じ結果：
NIntegrate[(1/x^2 + 1), {x, -∞, ∞}]NIntegrate[(x^2/(x^2 + 1)(x^2 + 4)), {x, -∞, ∞}]NContourIntegrate[(z^2/(z^2 + 1)(z^2 + 4)), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {0, Pi}]]三角関数と有理関数の積 (2)
NIntegrate[(Cos[2x]/(x^2 + 3^2)^2), {x, -∞, ∞}]NIntegrate[(Sin[2x]/(x^2 + 3^2)^2), {x, -∞, ∞}]これら2つの結果は，大きい半径の半円板に沿った複素積分を使って回復することができる：
res = NContourIntegrate[(Exp[2 I z]/(z^2 + 3^2)^2), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {0, Pi}], Rule[...]]{Re[%], Im[%]}//ChopNIntegrate[(x Sin[2x]/x^2 + 3), {x, -∞, ∞}]NIntegrate[(x Cos[2x]/x^2 + 3), {x, -∞, ∞}]NContourIntegrate[(z Exp[I 2 z]/z^2 + 3), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {0, Pi}], MaxRecursion -> 20]{Im[%], Re[%]}//Chop三角関数 (3)
f = (1/1 + 1 / 2 * Sin[θ]);NIntegrate[f, {θ, 0, 2Pi}]g = f /. {Sin[θ] -> (z - z^-1/2I)}//FullSimplifyNContourIntegrate[(g/I z), z∈Circle[]]f = (2Cos[2θ]Sin[3θ] ^ 6/1 - 4Cos[θ] + 4);NIntegrate[f, {θ, 0, 2Pi}]g = (f//TrigExpand) /. {Sin[θ] -> (z - z^-1/2I), Cos[θ] -> (z + z^-1/2)}//FullSimplifyNContourIntegrate[(g/I z), z∈Circle[]]f = (1/5 + 4Sin[θ] ^ 7);NIntegrate[f, {θ, 0, 2Pi}]g = f /. {Sin[θ] -> (z - z^-1/2I)}//FullSimplifyNContourIntegrate[(g/I z), z∈Circle[]]フーリエ変換 (2)
ft = FourierTransform[(1/x^2 + 1), x, k]
ft /. k -> 2//N(1/Sqrt[2Pi])NContourIntegrate[(Exp[2I z]/z^2 + 1), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {0, Pi}], Rule[...]]
ft /. k -> -2//N(-1/Sqrt[2Pi])NContourIntegrate[(Exp[-2I z]/z^2 + 1), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {-Pi, 0}], MaxRecursion -> 20]ft = FourierTransform[(1/-2 + 2x - x^2), x, k]
ft /. k -> 2//N(1/Sqrt[2Pi])NContourIntegrate[(Exp[2I z]/-2 + 2z - z^2), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 4, {0, Pi}], Rule[...]]
ft /. k -> -2//N(-1/Sqrt[2Pi])NContourIntegrate[(Exp[-2I z]/-2 + 2z - z^2), z∈Disk[{0, 0}, 10 ^ 3, {-Pi, 0}]]逆ラプラス変換 (4)
ilt = InverseLaplaceTransform[1 / (s + 1), s, t, GenerateConditions -> True]
ilt /. t -> 3//N1 / (2Pi I)NContourIntegrate[1 / (s + 1) * E ^ (3s), s∈InfiniteLine[{1, 0}, {0, 1}]]f = Log[(s + 1) / (s + 2)];ilt = InverseLaplaceTransform[f, s, t, GenerateConditions -> True]
ilt /. t -> 2//N1 / (2Pi I)NContourIntegrate[f * E ^ (2s), s∈InfiniteLine[{1, 0}, {0, 1}]]ilt = InverseLaplaceTransform[1 / Sqrt[s + 1], s, t, GenerateConditions -> True]
ilt /. t -> 1 / 2//N1 / (2Pi I)NContourIntegrate[1 / Sqrt[s + 1] * E ^ (s / 2), s∈InfiniteLine[{1, 0}, {0, 1}], MaxRecursion -> 50]Logを含む関数の逆ラプラス変換：
ilt = InverseLaplaceTransform[Log[s] / (s - 1), s, t, GenerateConditions -> True]
ilt /. t -> 3 / 2//N1 / (2Pi I)NContourIntegrate[Log[s] / (s - 1) * E ^ (s * 3 / 2), s∈InfiniteLine[{1, 0}, {0, 1}], MaxRecursion -> 20]逆メリン変換 (4)
imt = InverseMellinTransform[(1/s^2 - 1), s, x, GenerateConditions -> True]
imt /. x -> 1 / 2//N1 / (2Pi I)NContourIntegrate[(1 / 2) ^ (-s) * (1/s^2 - 1), s∈InfiniteLine[{{2, 0}, {2, 1}}]]imt = InverseMellinTransform[1 / (s - 1), s, x, GenerateConditions -> True]
Assuming[Re[s] > 1, Simplify[imt]] /. x -> 1 / 5//N1 / (2Pi I)NContourIntegrate[1 / (s - 1) * (1 / 5) ^ -s, s∈InfiniteLine[{2, 0}, {0, 1}]]f = (1/(1 + x)^3);MellinTransform[f, x, s, GenerateConditions -> True]
1 / (2Pi I)NContourIntegrate[Gamma[s]Gamma[3 - s] / 2 * (1 / 3) ^ -s, s∈InfiniteLine[{2, 0}, {0, 1}]]f /. x -> 1 / 3//Nf = (x ^ 2/(1 + x)^3);MellinTransform[(x ^ 2/(1 + x)^3), x, s, GenerateConditions -> True]
1 / (2Pi I)NContourIntegrate[(1/2) π s (1 + s) Csc[π s] * (2 / 3) ^ -s, s∈InfiniteLine[{0, 0}, {0, 1}]]f /. x -> 2 / 3//N逆Z変換 (2)
InverseZTransform[z / (z - 2), z, n]
% /. n -> 3(1/2Pi I)NContourIntegrate[(z^3/(z - 2)), z∈Circle[{0, 0}, 10 ^ 3]]f = InverseZTransform[z / (z ^ 2 - 3 z + 1), z, n]
f /. n -> 7//N(1/2Pi I)NContourIntegrate[z^n / (z ^ 2 - 3 z + 1) /. n -> 7, z∈Circle[{0, 0}, 10 ^ 3], ...]古典的な定理 (3)
f = 3z ^ 2 / (z ^ 3 - 1 / 2);reg = Circle[];ComplexPlot[f, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, ...]NContourIntegrate[f, z∈reg]
(2Pi I) * ResidueSum[{f, Abs[z] < 1}, z]//N積分の等高線は，関数の特異値を横切らなければ，積分の値を変えずに変形することができる：
f = 1 / (z - 2) + 1 / (z - 3);reg1 = Line[{{-1, 0}, {0, 1}, {1, 0}}];NContourIntegrate[f, z∈reg1]reg2 = Line[{{-1, 0}, {0, -1}, {1, 0}}];NContourIntegrate[f, z∈reg2]NContourIntegrate[1 / (z - 2), z∈Circle[], AccuracyGoal -> 5]ComplexPlot[1 / (z - 2), {z, -3 - 3I, 3 + 3I}, ...]特性と関係 (6)
記号計算ができなければ，N[ContourIntegrate[…]]を適用して数値解を得る：
f = Exp[Tan[2 + 1 / z]];ContourIntegrate[f, z∈Circle[]]N[%]これは，NIntegrateを使って計算することもできる：
NIntegrate[I * E ^ (I t) * (f /. z -> E ^ (I t)), {t, 0, 2Pi}]これは，NContourIntegrateで計算することもできる：
NContourIntegrate[f, z∈Circle[]]数値周回積分は，NIntegrateを使って得ることもできる：
NContourIntegrate[1 / (z - 1 / 2), z∈Circle[]]NIntegrate[I * E ^ (I t) / (E ^ (I t) - 1 / 2), {t, 0, 2Pi}]NIntegrateは複素平面上の真っ直ぐな等高線に沿って積分する：
NIntegrate[z ^ 2, {z, 0, 1 + I}]NContourIntegrate[z ^ 2, z∈Line[{{0, 0}, {1, 1}}]]閉じた経路上の周回積分はResidueSumで得ることもできる：
f = z ^ 2 / (2z ^ 3 - 1);NContourIntegrate[f, z∈Circle[{0, 0}, 2]]2πI * ResidueSum[{f, Abs[z] < 2}, z]//N有理型関数の曲はFunctionPolesで求められる：
f = Cos[z] / (z + 1 / 2);FunctionPoles[f, z]NContourIntegrate[f, z∈Circle[{0, 0}, 1]]この積分はResidueで計算することもできる：
2π I * Residue[f, {z, -1 / 2}]//N閉じた経路上の周回積分はResidueで求めることもできる：
f = z ^ 2 / ((z - 1)(z - 2));NContourIntegrate[f, z∈Circle[{0, 0}, 3]]2π I * (Residue[f, {z, 1}] + Residue[f, {z, 2}])//Nインタラクティブな例題 (2)
f = (1/z^2 + 1);Manipulate[
ComplexPlot[f, {z, -6 - 6I, 6 + 6I}, ...]
, {R, 0.1, 7}, SaveDefinitions -> True]Manipulate[NContourIntegrate[f, z∈Disk[{0, 0}, R, {0, Pi}]], {R, 0.1, 7}, SaveDefinitions -> True]ContourIntegrateと比較する：
ContourIntegrate[f, z∈Disk[{0, 0}, R, {0, Pi}]]f = (1/z^6 + 1);Manipulate[
ComplexPlot[f, {z, -6 - 6I, 6 + 6I}, ...], {R, 0.1, 7}, SaveDefinitions -> True]Manipulate[NContourIntegrate[f, z∈Disk[{0, 0}, R, {0, Pi}]], {R, 0.1, 7}, SaveDefinitions -> True]ContourIntegrateと比較する：
ContourIntegrate[f, z∈Disk[{0, 0}, R, {0, Pi}]]
Wolfram Research (2024), NContourIntegrate, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/NContourIntegrate.html.
テキスト
Wolfram Research (2024), NContourIntegrate, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/NContourIntegrate.html.
CMS
Wolfram Language. 2024. "NContourIntegrate." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/NContourIntegrate.html.
APA
Wolfram Language. (2024). NContourIntegrate. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/NContourIntegrate.html