ContourIntegrate

ContourIntegrate[f,z∈cont]

複素平面上で cont によって定義される曲線に沿った f の積分を与える．

詳細とオプション

  • 周回積分は経路積分あるいは複素線積分としても知られている．
  • 周回積分は複素解析における正則関数および有理型関数の研究で発現したものであるが，現在では逆ラプラス(Laplace)変換およびZ変換の計算，定積分と総和，偏微分方程式の解を含む幅広い分野で使われている．
  • 積分路 cont に沿った関数 の周回積分は以下で与えられる．
  • 周回積分の値はパラメータ化には依存しないが，積分路 cont の向きには依存する．
  • 関数 f は，通常は z の有理型関数であるが，複素平面内の cont の近傍で定義される任意の区分連続関数でよい．
  • 有理型関数 の閉じた積分路 cont に沿った周回積分はコーシー(Cauchy)の留数定理を使って計算できる．
  • 次は，よく使われる閉じた積分路 cont である． »
  • {"Hairpin", hl}半直線 hl を囲む
    {"UpperSemicircle",ipts,epts}すべて実軸上の点 ipts を含み点 epts は含まない上半平面を囲む
    {"LowerSemicircle",ipts,epts}すべて実軸上の点 ipts を含み点 epts は含まない下半平面を囲む
    {"Dumbbell",pt1,pt2}点 pt1と点 pt2で与えられるカプセルを囲む
  • 複素点は{x,y}のペアで与えられる．複素半直線はHalfLineプリミティブで与えられる．
  • における積分路 cont はにおける曲線領域(RegionQ)としても指定できる．
  • パラメトリック積分路ParametricRegion[{x[t],y[t]},{{t,a,b}}]の向きは t が増加する方向である．
  • 次は，における特殊積分路とその推定される方向である．
  • Line[{p1,p2,…}]p1から p2等まで
    HalfLine[{p1,p1}]p1から p2方向に
    InfiniteLine[{p1,p2}]p1から p2方向に
    Circle[p,…]反時計回り
  • Polygonのような面領域を使うことができる．その場合の積分路は境界線RegionBoundary[Polygon[…]]である．
  • 次は，における特殊面領域とその推定境界線の向きである．
  • Triangle[{p1,p2,p3}]反時計回り
    Rectangle[p1,p2]反時計回り
    RegularPolygon[n,…]反時計回り
    Polygon[{p1,p2,…}{{q1,q2,…},…}]外側の積分路の反時計回り，内側の積分路の時計回り
    Disk[p,…]反時計回り
    Ellipsoid[p,…]反時計回り
    StadiumShape[{p1,p2},r]反時計回り
    Annulus[p,{rm,rm},…]外側の積分路の反時計回り，内側の積分路の時計回り
  • ContourIntegrateは，入力が厳密ではない数量を含む場合は記号メソッドを数値メソッドを組み合せて使う．
  • cont 内の領域は自動評価を避けるためにInactiveでラップされることがある．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • Assumptions $Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditions Automaticパラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
    PrincipalValue Falseコーシー主値を求めるかどうか
    WorkingPrecision Automatic内部計算の精度

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (3)

複素平面上の単位円に沿って1/z を積分する：

中心が原点で半径2の円に沿って有理関数を積分する：

多角形のパス上の周回積分：

スコープ  (53)

基本的な用法  (5)

円形経路上の周回積分：

数値積分：

複素平面内の多角形鎖上の周回積分：

半円板上の周回積分：

数値周回積分：

複素平面上のパラメトリック積分路上の周回積分：

特別テーマ：有理関数  (13)

円に沿って有理関数を積分する：

円に沿ってパラメータ有理関数を積分する：

五角形の輪郭に沿って有理関数を積分する：

三角形の経路に沿った有理関数の周回積分：

矩形経路に沿った有理関数の周回積分：

単位円に沿った周回積分：

開いた多角形鎖上の周回積分：

開いた円弧に沿った周回積分：

閉じた半円上の有理型関数の周回積分：

真性特異点がある関数の周回積分：

非解析的な関数の周回積分：

分枝切断線を含む関数の周回積分：

記号パラメータに依存する関数の周回積分：

特別テーマ：有理型関数  (5)

多角形経路に沿った有理型関数の周回積分：

周回積分を数値評価する：

楕円経路に沿った周回積分：

閉じた半円上の周回積分：

アニュラスの扇形上の周回積分：

半径 の円板上の周回積分：

特別テーマ：真性特異点がある関数  (4)

指数関数：

輪郭線内に真性特異点があるSin関数：

真性特異点がある関数の周回積分：

周期関数からの真性特異点：

特別テーマ：非解析的関数  (4)

円形経路上の周回積分：

Arg関数の周回積分：

楕円の扇形上の周回積分：

矩形経路上の周回積分：

特別テーマ：分枝切断線がある関数  (2)

区分連続関数の周回積分：

積分経路に分枝切断線がある関数の周回積分：

特別テーマ：記号パラメータ  (5)

関数および輪郭線は記号パラメータを含むことができる：

GenerateConditions Falseを使って存在条件を抑制する：

結果はPiecewise関数である：

半径 の半円板に沿った周回積分：

一般的な楕円に沿った周回積分：

半径が と の半アニュラスに沿った周回積分：

特別テーマ：名前付きの積分路  (8)

複素平面の上半分を閉じる，実軸上の極を中心として正の方向の実軸に沿った周回積分：

2つ目の例：

複素平面の下半分を閉じる，実軸上の極を中心として正の方向の実軸に沿った周回積分：

デフォルトで，この輪郭線は時計回りに進む：

2番目の例：

ヘアピンつまりハンケル(Hankel)の積分路の周りの周回積分：

ヘアピンつまりハンケルの積分路の周りの周回積分：

の場合：

評価するとZeta関数になる周回積分：

, の場合：

ヘアピン上の周回積分：

の場合：

ヘアピンつまりハンケルの積分路：

0と1を繋ぐ分枝切断線の周りのダンベル型輪郭線：

特別テーマ：領域輪郭  (7)

無限線上の周回積分：

の場合：

円形積分路上の周回積分：

線分上の周回積分：

三角形のパス上の周回積分：

の場合：

矩形パス上の周回積分：

扇形上の周回積分：

アニュラス上の周回積分：

オプション  (6)

Assumptions  (1)

オプションAssumptionsはパラメータに使うことができる：

GenerateConditions  (2)

ContourIntegrateはGenerateConditionsAutomaticでパラメータについての条件を生成する：

オプションGenerateConditionsFalseを使って存在条件を抑制する：

積分路がパラメータを含む場合に条件を生成する：

GenerateConditionsFalseを使って条件を抑制する：

PrincipalValue  (1)

オプションPrincipalValueを使ってコーシー主値が計算できる：

WorkingPrecision  (2)

WorkingPrecisionが設定されていると，積分は数値的に評価される：

入力精度が有限のとき，積分は数値評価される：

アプリケーション  (22)

有理関数  (2)

半円板の周回積分：

大きい についての極限：

Integrateで得られた同じ結果：

実線上の積分：

周回積分の極限として得ることもできる：

三角関数と有理関数の積  (2)

実線上の積分：

この結果は複素積分で回復できる：

実線上の積分：

複素積分を使う：

三角関数  (3)

正弦の有理関数の積分：

周回積分として回復することができる：

余弦の有理関数の積分：

周回積分として：

正弦の有理関数の積分：

周回積分として得ることもできる：

フーリエ変換  (2)

関数のフーリエ変換：

正の についての周回積分を使った計算：

負の について：

関数のフーリエ変換：

正の についての周回積分を使った計算：

負の について：

逆ラプラス変換  (4)

関数の逆ラプラス変換：

周回積分を使った計算：

有理関数の逆ラプラス変換：

周回積分を使う：

平方根を含む関数の逆ラプラス変換：

周回積分を使った同じ計算：

Logを含む関数の逆ラプラス変換：

逆ラプラス変換の定義を使う：

逆メリン変換  (4)

関数の逆メリン変換：

これを周回積分から計算する：

関数の逆メリン変換：

これを周回積分としての定義から計算する：

関数のメリン変換：

逆メリン変換を使って関数を回復する：

有理関数のメリン変換：

逆メリン変換との関係：

逆Z変換  (2)

関数の逆Z変換：

周回積分としての定義から結果を取得する：

関数の逆Z変換：

周回積分としての定義を使う：

古典的な定理  (3)

閉じたパス上の有理型関数の周回積分に適用された留数定理：

この積分は，積分路内の極の留数の和の 倍に等しい：

関数の特異点が交差されていなければ，積分の積分路は積分の値を変えずに変形できる：

積分路内に特異点があれば積分は0になる：

特性と関係  (6)

記号計算がうまくいかないときはN[ContourIntegrate[...]]を適用して数値解を得る：

NIntegrateを使って計算することもできる：

周回積分はIntegrateを使って得ることもできる：

これは以下と等価である：

Integrateは複素平面で真っ直ぐな輪郭線に沿って積分できる：

これは以下と等価である：

閉じたパス上の周回積分はResidueSumを使っても得ることができる：

有理型関数の極はFunctionPolesを使って求めることができる：

この積分はResidueを使って計算することもできる：

閉じた経路上の周回積分はResidueを使って得ることもできる：

インタラクティブな例題  (2)

さまざまな半径の扇形上の周回積分：

さまざまな半径の扇形上の別の周回積分：

おもしろい例題  (2)

「パックマン」の輪郭上の周回積分：

「忍者」の輪郭線に沿った有理型関数の周回積分：

Wolfram Research (2023), ContourIntegrate, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html.

テキスト

Wolfram Research (2023), ContourIntegrate, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html.

CMS

Wolfram Language. 2023. "ContourIntegrate." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html.

APA

Wolfram Language. (2023). ContourIntegrate. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_contourintegrate, author="Wolfram Research", title="{ContourIntegrate}", year="2023", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/ContourIntegrate.html}", note=[Accessed: 17-November-2024 ]}

BibLaTeX

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