x についての式の微分：

二次微分：

ある点における式の微分：

生成点 x における関数の微分：

上記は流率表記を使っても達することができる：

点 x==5における微分：

これは，流率表記を使ってより簡単に求めることができる：

点 x==-1における三次微分：

記号関数を含む微分：

x と y についての式の偏微分：

混合偏微分 ：

混合偏微分 ：

複合式について微分する：

別の複合式について微分する：

ベクトル式の微分：

行列式：

ネストしたリストの微分：

勾配としても知られる，式のベクトル微分：

ヘッシアンとしても知られる，二次ベクトル微分：

行列微分：

基本的な微分の表を作る：

記号関数の微分：

f に純関数を代入して特定の解を得る：

総和の微分：

積の微分：

商の微分：

合成関数の連鎖法則：

3関数の積法則：

Inactive微分を使って規則を述べる：

記号関数の偏微分：

f に2変数の純関数を代入する：

引数ではないパラメータについての純関数の微分：

結果は点 x における の a についての微分を与える関数である：

局所変数は微分変数からは独立している：

ある点における記号関数の微分：

プライム表記を使って同じことを行う：

逆関数の微分：

次数 n の微分の積法則：

連鎖法則：

多項式関数および有理関数：

代数関数：

三角関数および逆三角関数：

指数関数および対数関数：

双曲線関数：

式のリストをきれいにフォーマットされた微分の表に変換する関数を作る：

三角関数の微分の表を作る：

双曲線関数の微分の表を作る：

Gammaの対数微分はPolyGamma関数である：

エアリー関数の微分は，AiryAiPrimeおよびAiryBiPrimeによって与えられる：

Zetaの微分は，原点において閉形の式を持つ：

初等微分を持つ特殊関数：

同じ関数によって表された微分を持つ特殊関数：

JacobiSNの微分：

JacobiCDの微分：

LogIntegralの微分：

ExpIntegralEiの微分：

SinIntegralについての次数の n の微分：

特殊関数の微分の表を作る：

区分関数の微分：

ConditionalExpressionの微分：

記号関数を実数上で区分関数に変換して微分する：

有限範囲で区分微分を計算する：

区分で定義された工学関数の古典的な微分：

一般化された関数の分布の微分：

RealAbsの微分：

RealSignの微分：

上記に対応する複素平面上の関数は微分できない：

Floorの微分：

Ceilingの微分：

手続き的に定義された関数の導関数：

陰関数の微分を計算するために，DはEqualに縫い込まれる：

2変数の陰関数について偏微分を計算する：

方程式系で定義された隠関数の偏微分を求める：

リストの微分：

二次微分：

一般的な値 t におけるベクトル値関数の一次微分：

プライム表記を使って同じものを計算する：

t==0における三次微分：

プライム表記を使って同じものを計算する：

行列の微分：

四次微分：

SparseArrayとして保存されてたベクトル値関数の微分：

結果を通常の配列に変換する：

SymmetrizedArrayタイプの構造配列オブジェクトとして表された行列の微分：

結果を通常の配列に変換する：

スカラー関数の勾配：

ヘッシアン行列：

ベクトル値関数のヤコビアン：

2階微分テンソル：

行列式のもとの行列についての微分を計算する：

SparseArrayとして保存されたベクトル値関数の勾配：

結果は非零の項だけを含む別のSparseArrayである：

結果を通常の行列に変換する：

SparseArrayとして計算されたヘッシアン：

勾配はSparseArrayとして計算することもできるが，その場合は事実上密行列になる：

SparseArrayとして計算されたヤコビアン：

記号ベクトル値関数のスカラー引数についての導関数：

記号行列値関数のスカラー引数についての導関数：

記号配列値関数のスカラー引数についての導関数：

スカラー値関数の記号ベクトル引数についての導関数：

実記号ベクトル引数：

スカラー値関数の記号行列引数についての導関数：

実記号行列引数：

スカラー値関数の記号配列引数についての導関数：

記号配列値関数の配列引数についての導関数：

記号配列関数の合成の導関数：

未評価の積分を微分する：

フーリエ変換：

ラプラス変換：

たたみ込み：

積分のInactive形式を微分して微積分の基本定理を得る：

基本定理のより一般的な形：

非アクティブなFourierTransformを微分する：

形式的な結果を確かめる：

未評価の総和を微分する：

ダミー変数について微分すると0が与えられる：

離散たたみ込み：

総和のInactiveな形を微分する：

ZTransform：

非アクティブなGeneratingFunctionを微分する：

形式的な結果を確かめる：

KroneckerDelta因子を含む指標付き変数について微分する：

Inactiveを使って総和の展開を阻止する：

総和因子は，名前が曖昧になるのを防ぐために，必要であれば名前が変えられる：

非アクティブな表を指標付きの変数について微分する：

結果をアクティブにして明示的なベクトルの結果を得る：

非アクティブな表を指標付きの変数について微分する：

この場合は，j 番目の項目のみが非零である：

総和と表中の指標付き変数に任意の表記法を使う：

指標付き変数の記号的な表について微分する：

結果をアクティブにすると明示的な勾配が与えられる：

ダミー変数を導入し，指標付き変数の記号の表について2回微分する：

記号変数を明示的な値で置換する：

別の記号ベクトルの記号ベクトル微分を使う：

ベクトルのそれ自身についてのベクトル微分は恒等行列を与える：

微分をプライム表記で定義する：

この規則は微分の評価に使われる：

ある点における微分を定義する：

二次微分を定義する：

f と g の値と微分を規定する：

x=3におけるこの合成の微分を求める：

Derivativeで偏微分を定義する：

x に依存するとみなされる y について微分する：

y の微分について事実上陰関数の微分として解く：

微分はある点における接線の傾きを与える：

基本の点 π からの変位 h が小さい場合，接線は f についての素晴らしい近似を与える：

狭いプロット範囲については，接線と f は視覚的には区別できない：

微分は{x,f[x]}と{x+h,f[x+h]}を接続する割線の勾配の極限を与える：

点{1,f[1]}についてこの過程を可視化する：

関数の接線の方程式を求める：

x=a における接線についての一般的な方程式：

x=4における接線：

関数の法線の方程式を求める：

x=a における法線についての一般的な方程式：

x=1における法線：

ある点を通過する関数の接線の方程式を求める：

x=a における接線についての一般的な方程式：

(0,-4)を通る f[x]の接線を求める：

平面曲線の転換点を求める：

関数の臨界点を求める：

二次微分検定によると，これらすべてが極大値または極小値である：

臨界点を可視化する：

ある区間における平均値の定理を満足する c のすべての値を求める：

a から b までの割線を定義する：

c の2つの値に関連付けられた接線を定義する：

割線に平行な2本の接線をもとの関数とともに可視化する：

一次微分を使って関数を特徴付ける：

関数の臨界点を求める：

関数が増加している箇所を求める：

関数が減少している箇所を求める：

結果を可視化する：

二次微分を使って関数を特徴付ける：

関数の変曲点を求める：

関数が正の凹面を持つ場所を求める：

関数が負の凹面を持つ場所を求める：

結果を可視化する：

積分において変数の変換 t=x^2を行う：

記号積分の結果を確かめる：

二変数関数の臨界点を求める：

と二次偏微分の行列式の符号を計算する：

二次微分検定から，最初の2点（プロット中の赤と青）は極小値で，3番目の点（プロット中の緑）は鞍点である：

半径 r，傾斜 c の円螺線の曲率を求める：

ArcCurvatureを使って同じ結果を得る：

一変量テイラー級数を手計算で求める：

多変量テイラー級数を手計算で求める：

この過程を自動化する関数を書く：

新関数を使って上の計算を再度行う：

勾配ベクトルは関数の偏微分を求めることで計算できる：

関数 の勾配ベクトルを求める：

単位ベクトル表現を使って勾配ベクトルの向きを可視化する：

平面上のベクトル場の回転は，その成分の微分を引くことで計算できる：

ベクトル場 の回転を求める：

2D回転をある点におけるベクトル場の「回転」の展開図として可視化する．赤と緑はそれぞれ時計回りと反時計回りの回転と回転の大きさに比例した半径を表す：

ベクトル場の発散は，その成分の微分の総和を求めることで計算できる：

2Dベクトル場の発散を求める：

2Dの発散を，ある点におけるベクトル場のフローの展開図として可視化する．赤と緑はそれぞれ出て行く流れと入ってくる流れを表す．半径はフローの大きさに比例する：

陰関数y[x]が満足する微分方程式を構築する：

Dを使って常微分方程式と偏微分方程式を指定する：

これらはDSolveを使って解くことができる：

2つの空間変数を持つ波動方程式を定義する：

関数の初期値と最初の微分を定義する：

境界条件を指定する：

DSolveを使ってこの系を解く：

Inactive総和からいくつかの項を抽出する：

二次元波は縦方向に周期運動を行う：

Dを使ってラプラス演算子を指定する：

同次ディリクレ境界条件を指定する：

単位円板上の演算子の小さい方から4つの固有値と固有関数を求める：

固有関数を可視化する：

Dを使って積分微分方程式を指定する：

一般解を得る：

初期条件を指定して特殊解を得る：

a のさまざまな値について解をプロットする：

微分方程式の二次多項式解を求める：

時点 t における発射体の高さは以下で与えられる：

t における速度を計算する：

t における加速度を計算する：

発射体がいつ最大の高さに達するかを求める：

発射体の最大の高さを求める：

時間の関数としての円の面積は以下で与えられる：

面積の変化率を計算する：

半径が5m/s の割合で増大する場合の，半径 10 m における面積の変化率を求める：

粒子の位置は以下で与えられる：

粒子の速度，加速度，ジャーク，スナップ（振動），クラックル，ポップを計算する：

2つの抵抗が並列で繋がれた回路の総抵抗は以下で与えられる：

R₁とR₂の与えられた値についてR_Tを計算する：

総抵抗の変化率を求める：

総抵抗の変化率を与えられた値で計算する：

1辺の長さが l の立方体の体積は以下で与えられる：

立方体の表面積は以下で与えられる：

立方体の体積の表面積に対する変化率を連鎖法則を使って計算する：

l についての表面積を計算し，これを結果に代入して解く：

隠関数の(1,)における接線の方程式を求める：

x=1における傾きを計算する：

x=1における接線：

接線を可視化する：

隠関数の傾きがになる点を求める：

関数間の関係は以下で与えられる：

z[t]の微分を求める：

与えられた値で z'[t]を計算する：

片側が納屋に面している2000フィートの矩形フェンスの最大面積を求める：

面積を幅について計算する：

最大値を求める：

二次微分検定で，この値が真の最大値であることが分かる：

面積を長さによって計算してもよい：

長さの変化によって面積がどのように変化するかを可視化する：

曲線から点(1,5)までの最短距離を求める：

距離を y について計算する：

距離が最短となる点を求める：

二次微分検定から，これが最短距離であることが分かる：

位置によって距離がどのように変化するかを可視化する：

2リットルまでの水が入る蓋のない円筒形の缶で材料が最小のものを求める：

体積の制約を用いて半径から高さを計算する：

半径から表面積を計算する：

この半径は最小の表面積に対応する：

二次微分検定から，これが最小であることが分かる：

最小形状の，半径，高さ，表面積を計算する：

大きさが半径によってどのように変化するかを可視化する：

x0のときの2関数の比の極限を求める：

極限を直接解くとのタイプの不定形に至る：

近くの区間では と の両方が定義されていて なので，ロピタル(L'Hôpital)の規則を使うことができる：

事実，と は連続的で なので，は自明に計算することができる：

Limitを使って結果を確かめる：

2つの関数とその比を可視化する：

x∞のときの2関数の比の極限を求める：

極限を直接解くと，のタイプの不定形に至る：

すべての について と の両方が定義され，なので，ロピタルの規則を使うことができる：

しかし，一次微分を使っても不定形に至る：

二次微分は一定で明らかにロピタルの規則の条件を満足する：

したがって，を自明に計算することができる：

Limitを使って結果を可視化する：

x0のときの2関数の積の極限を求める：

極限を直接解くと0×∞のタイプの不定形に至る：

は定義されていない点に注意：

しかし，は存在し，すべての について正でありすべての について負である：

は明らかにすべての実数 について定義されているので，ロピタルの規則は次の形で適用することができる：

右辺の極限の商は極限の計算が簡単な連続する式を与える：

摂動ベクトルの分散を近似する：

次数0の近似：

厳密値と比較する：

次数1の近似：

厳密値と比較する：

次数2の近似：

第2導関数は には依存しないので，二次近似は厳密値に等しい：

摂動行列の行列式を近似する：

次数0の近似：

厳密値と比較する：

次数1の近似：

厳密値と比較する：

次数2の近似：

厳密値と比較する：

ペアのリストとして与えられたデータ についての最小二乗解を導出する：

データの垂直偏差 のベクトルを求める：

データの垂直偏差の二乗和を定義する：

最小二乗方程式を設定する：

データを生成する：

このデータについての最小二乗問題を解く：

最尤法を使って与えられたデータの最良フィットを与えるGammaDistributionパラメータを求める：

対数尤度関数 を最大にする：

の勾配を計算する：

を で置換して勾配の零点を求める：

結果を可視化する：

EstimatedDistributionを使って計算した結果と比較する：

期待収益 ，標準偏差 の場合のポートフォリオの最適化問題の最適条件を求める：

目標は，資産重みのベクトル がTotal[x]=1を満たすときに，を最大化することである．製薬条件を使って，制約のないベクトル変数 が の最初の 個の座標で構成される を表すことができる：

最大値は の臨界点になる：

制約条件を によって表す：

方程式 で表される線形回帰モデルの対数尤度関数の勾配を計算する． は，正規分布に従う，平均が0で偏差が のランダム変数である：

対数尤度関数 は以下で与えられる：

を計算する：

結果を について表わす：

を計算する：

ベキ級数の係数を計算する：

における について を微分して の閉形式を導出する：

次に， を積分し，次に において について微分する：

最終結果：

結果を可視化する：

において について を微分して の閉形式を導出する：

を計算し，次に微分する：

結果：

結果を確かめる：