线性代数
Table[f,{i,m},{j,n}] | 建立一个 m×n 矩阵,其中 f 是 i 和 j 的函数,给出第 i,j 项的值 |
Array[f,{m,n}] | 建立一个 m×n 矩阵,其第 i,j 项是 f[i,j] |
ConstantArray[a,{m,n}] | 建立一个 m×n 矩阵,其所有的项都等于 a |
DiagonalMatrix[list] | 生成对角矩阵,对角线上是 list 的元素 |
IdentityMatrix[n] | 生成 n×n 单位阵 |
Normal[SparseArray[{{i1,j1}->v1,{i2,j2}->v2,…},{m,n}]] | 生成一个矩阵,其中位于 {ik,jk} 的项为非零的值 vk |
DiagonalMatrix 产生一个主对角线以外的元素均为零的矩阵:
MatrixForm 以二维矩阵形式显示矩阵:
Table[0,{m},{n}] | 零矩阵 |
Table[If[i>=j,1,0],{i,m},{j,n}] | 下三角矩阵 |
RandomReal[{0,1},{m,n}] | 元素为随机数字的矩阵 |
SparseArray[{},{n,n}] | 零矩阵 |
SparseArray[{i_,i_}->1,{n,n}] | n×n 单位阵 |
SparseArray[{i_,j_}/;i>=j->1,{n,n}] | 下三角矩阵 |
用 SparseArray 构造特殊类型的矩阵.
m[[i,j]] | 第 i,j 个元素 |
m[[i]] | 第 i 行 |
m[[All,i]] | 第 i 列 |
Take[m,{i0,i1},{j0,j1}] | 第 i0 行到第 i1 行、第 j0 列到第 j1 列构成的子阵 |
m[[i0;;i1,j0;;j1]] | 第 i0 行到第 i1 行、第 j0 列到第 j1 列构成的子阵 |
m[[{i1,…,ir
},{
j1,… , js
}]]
| 行标为 ik 列标为 jk 的元素构成 r×s 子阵 |
Tr[m,List] | 对角线上的元素 |
ArrayRules[m] | 非零元素的位置 |
m={{a11,a12,…},{a21,a22,…},…} | 给 m 赋值为一个矩阵 |
m[[i,j]]=a | 重新设置元素 {i,j} 为 a |
m[[i]]=a | 重新设置第 i 行的所有元素为 a |
m[[i]]={a1,a2,…} | 重新设置第 i 行的元素为 {a1,a2,…} |
m[[i0;;i1]]={v1,v2,…} | 重新设置第 i0 行到第 i1 行为向量 {v1,v2,…} |
m[[All,j]]=a | 重新设置第 j 列的所有元素为 a |
m[[All,j]]={a1,a2,…} | 重新设置第 j 列的元素为 {a1,a2,…} |
m[[i0;;i1,j0;;j1]]={{a11,a12,…},{a21,a22,…},…} | 重新设置第 i0 行到第 i1 行,第 j0 列到第 j1 列的子矩阵为新的数值 |
VectorQ[expr] | |
MatrixQ[expr] | |
Dimensions[expr] | 向量或矩阵的维数列表 |
Wolfram 语言中的大部分数学函数能分别作用于列表中的每个元素,特别是具有属性 Listable 的函数都能做到这一点.
Log 分别作用于向量中的每个元素:
微分函数 D 也能分别作用于列表的每个元素:
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在特定运算中只有当对象明显是一个列表时,Wolfram 语言才将其作为向量处理. 认识这一点很重要. 如果对象不明显是一个列表,Wolfram 语言总是作为标量处理. 这意味着在特定运算之前还是之后给某个对象赋列表值,得到的结果是不同的.
cv , cm, etc. | 用标量乘每个元素 |
u.v , v.m, m.v, m1.m2, etc. | 向量和矩阵相乘 |
Cross[u,v] | 向量叉积(也输入为 u×v) |
Outer[Times,t,u] | 外积 |
KroneckerProduct[m1,m2,…] | Kronecker 积 |
注意,"." 算符用于矩阵左乘和右乘向量,Wolfram 语言不区分“行”和“列”向量. Dot (点)算符将进行任何可能的运算. (用正式的数学语言来说,即
将张量
的最后一个下标和
的第一个下标缩并起来.)
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

有时,可能需要用符号表示向量和矩阵,而不是给出其元素. 对这种符号对象,可以用 Dot (点)表示乘法.
v[[i]] 或 Part[v,i] | 给出向量 v 中的第 i 个元素 |
c v | c 乘向量 v 的标积 |
u.v | 两个向量的点积 |
Norm[v] | 给出 v 的范数(模) |
Normalize[v] | 给出一个在 v 方向的单位向量 |
Standardize[v] | 变换 v 以得到零的均值和单位抽样方差 |
Standardize[v,f1] | 用 f1[v] 变换 v 并按比例调节来得到单位样本方差 |
Projection[u,v] | 给出 u 在 v 上的垂直投影 |
Orthogonalize[{v1,v2,…}] | 从给定的一列向量产生正交归一的一组向量 |
Inverse[m] | 求方阵的逆矩阵 |
必须使用 Together 来消除分母,以得到一个标准单位阵:
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可以使用 Chop 去掉非对角线上的微小元素:
当对具有精确值元素的矩阵求逆时,Wolfram 语言总能辨别矩阵是否是奇异的. 当对近似数值阵求逆时,Wolfram 语言通常不能肯定地辨别矩阵是否是奇异的:只能辨别与矩阵元素相比,其行列式的值是很小的. 当 Wolfram 语言怀疑是在给奇异数值阵求逆時,会给出一个警告.
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Transpose[m] | 矩阵转置 m |
ConjugateTranspose[m] | 共轭转置 m(Hermitian 共轭) |
Inverse[m] | 矩阵求逆 |
Det[m] | 行列式 |
Minors[m] | 矩阵子式 |
Minors[m,k] | k 阶子式 |
Tr[m] | 矩阵的迹 |
MatrixRank[m] | 矩阵的秩 |
矩阵的迹 Tr[m] 是主对角线上的元素之和.
MatrixPower[m,n] | 矩阵的 n 次幂 |
MatrixExp[m] | 矩阵指数 |
许多计算涉及求解线性方程组. 在许多情形下,明确写出各个方程,然后使用 Solve 求解是方便的.
注意,如果方程系统是稀疏的,即相应的矩阵
的大多数元素是零,那么最好是把矩阵表示为一个 SparseArray 对象. 就像在 “稀疏数组:线性代数” 中讨论的,能够使用 CoefficientArrays 来把符号方程转化成 SparseArray 对象. 所有这里描述的函数不但对普通的矩阵适用,而且也对 SparseArray 对象适用.
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LinearSolve[m,b] | 给出矩阵方程 ![]() ![]() |
NullSpace[m] | 一列线性独立的向量,其线性组合包括矩阵方程 ![]() |
MatrixRank[m] | ![]() |
RowReduce[m] | 通过行的线性组合得到的 ![]() |
可以直接用 Solve 解此方程组.
RowReduce 进行一种形式的高斯消元,也可以用来解方程组.
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NullSpace 和 MatrixRank 必须决定矩阵元素的特定组合是否为零. 对于近似数值矩阵,能够用 Tolerance 选项来指定在和零多近时才可以被认为是足够近的. 对于精确的符号矩阵,有时需要通过类似于 ZeroTest->(FullSimplify[#]==0&) 的指定来强制进行更多的运算以测试符号表达式是否为零.
欠定
| 方程的个数少于变量的个数;可能无解,也可能有多解 |
超定
| 独立方程的个数多于变量的个数;可能有解,也可能无解 |
非奇异
| 独立方程的个数等于变量的个数,行列式不为零;存在唯一解 |
相容
| 至少存在一个解 |
不相容
| 不存在解 |
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LinearSolve 给出欠定方程组的一个解:
LinearSolve 给出的解,加上零空间的基向量的线性组合,仍然是解:
LinearSolve[m] | 产生一个求解形如 ![]() |
产生 LinearSolveFunction 对象.
在某些应用中,会希望多次求解形式为
的方程组,其具有相同的
,但不同的
. 在 Wolfram 语言中能这样有效地做,那就是使用 LinearSolve[m] 来产生一个单一的 LinearSolveFunction,应用于任意多的向量.



产生一个 LinearSolveFunction:
将这个向量作为一个明确的第二自变量给予 LinearSolve,能得到相同的结果:
LeastSquares[m,b] | 给出一个最小二乘问题 ![]() ![]() |
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Eigenvalues[m] | m 的特征值列表 |
Eigenvectors[m] | m 的特征向量的列表 |
Eigensystem[m] | 形如 {eigenvalues,eigenvectors}({特征值,特征向量})的列表 |
Eigenvalues[N[m]], etc. | 数字特征值 |
Eigenvalues[N[m,p]], etc. | p 位精度的数字特征值 |
CharacteristicPolynomial[m,x] | m 的特征多项式 |
对于
×
的矩阵,Eigenvalues 总是给出一个
个特征值的列表. 特征值是矩阵的特征多项式的根,可能是相同的. 另一方面,Eigenvectors 给出相互独立的特征向量的列表. 当特征向量的数目小于
时,Eigenvectors 将在列表中添加零向量,使列表的长度总为
.

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


但是,该矩阵仅有一个独立的特征向量. 此时,Eigenvectors 添加两个零向量给出总共三个向量:
Eigenvalues[m,k] | m 的最大的 k 个特征值 |
Eigenvectors[m,k] | m 的相应的特征向量 |
Eigensystem[m,k] | m 的最大的 k 个特征值以及相应的特征向量 |
Eigenvalues[m,-k] | m 的最小的 k 个特征值 |
Eigenvectors[m,-k] | m 的相应的特征向量 |
Eigensystem[m,-k] | m 的最小的 k 个特征值以及相应的特征向量 |
Eigenvalues 对数值特征值进行排序,使得绝对值大的排在最先. 在很多情况下,也许仅对矩阵的最大或最小的特征值感兴趣. 能用 Eigenvalues[m,k] 和 Eigenvalues[m,-k] 来得到.
Eigenvalues[{m,a}] | 相对于 a 的 m 的广义特征值 |
Eigenvectors[{m,a}] | 相对于 a 的 m 的广义特征向量 |
Eigensystem[{m,a}] | 相对于 a 的 m 的广义特征系统 |
CharacteristicPolynomial[{m,a},x] | 相对于 a 的 m 的广义特征多项式 |
广义特征值对应于广义特征多项式 Det[m-x a] 的零点.
这两个矩阵共享一个一维的零空间,所以一个广义特征值是 Indeterminate:
SingularValueList[m] | m 的非零的奇异值的列表 |
SingularValueList[m,k] | m 的 k 个最大的奇异值 |
SingularValueList[{m,a}] | m 的相对于 a 的广义奇异值 |
Norm[m,p] | m 的 p-范数 |
Norm[m,"Frobenius"] | m 的 Frobenius 范数 |
矩阵
的奇异值是
的特征值的平方根,这里
表示 Hermitian 转置. 奇异值的数目是矩阵的最小的维数. SingularValueList 将奇异值从最大到最小进行整理. 非常小的奇异值通常在数值上没有意义的. 当使用 Tolerance->t 这个选项设置时,SingularValueList 去掉小于最大奇异值的 t 部分的那些奇异值. 对于近似数字矩阵,默认下的容限值稍微比零大一点.

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LUDecomposition[m] | 求任意方阵的 LU 分解 |
CholeskyDecomposition[m] | Cholesky 分解 |
LU 分解将任何方阵有效地分解为下三角和上三角阵的乘积. Cholesky 分解将任何 Hermitian 正定矩阵分解为一个下三角阵和其 Hermitian 共轭的乘积,这可以看成是类似于求一个方阵的平方根.
PseudoInverse[m] | 计算矩阵的伪逆 |
QRDecomposition[m] | 求数值矩阵的 QR 分解 |
SingularValueDecomposition[m] | 奇异值分解 |
SingularValueDecomposition[{m,a}] | 广义奇异值分解 |
当矩阵不是方阵或是奇异时,标准的逆矩阵定义不再有效. 然而,可以定义矩阵
的伪逆矩阵
. 使得
中的所有元素的平方和被最小化,其中
是单位阵. 伪逆矩阵有时被称为广义逆,或 Moore–Penros. 这尤其在关于最小平方拟合的问题中使用.
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
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JordanDecomposition[m] | Jordan 分解 |
SchurDecomposition[m] | Schur 分解 |
SchurDecomposition[{m,a}] | 广义 Schur 分解 |
HessenbergDecomposition[m] | Hessenberg 分解 |
绝大多数的方阵都能被变成一个特征值的对角阵,这可以通过用其特征向量矩阵作为相似变换来完成. 但是即使在没有足够的特征向量来做这个时,仍然可以将矩阵变成 Jordan 形式,在其中对角线上既有特征值又有 Jordan 块. Jordan 分解一般将任何方阵写成
的形式.

数值上更稳定的是 Schur 分解,将任何矩阵
写成
的形式,其中
是一个正交归一的矩阵,
是块式上三角. 也相关的是 Hessenberg 分解,将一个方阵写成
的形式,其中
是一个正交归一的矩阵,
可以在主对角线以下的对角线上有非零的元素.

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产生 k 阶张量的一个简单方法是给出 k 个变量的函数的值表. 在物理学中出现的张量具有指出空间或时空方向的指标. 注意,在 Wolfram 系统中,没有共变和协变张量指标的概念. 用户须使用度量张量来建立这些概念.
Table[f,{i1,n1},{i2,n2},…,{ik,nk}] | |
建立一个 n1×n2×…×nk 张量,其元素是 f 的值 | |
Array[a,{n1,n2,…,nk}] | 建立一个 n1×n2×…×nk 张量其元素通过把 a 用于每个指标集合给出 |
ArrayQ[t,n] | 检验是否 t 是一个 n 阶张量 |
Dimensions[t] | 给出张量的维数的列表 |
ArrayDepth[t] | 求张量的阶 |
MatrixForm[t] | 以两维阵列的形式排列张量 t 的元素 |
Dimensions 给出张量的维数:
ArrayDepth 给出张量的阶:
Transpose[t] | 张量的前两个指标的转置 |
Transpose[t,{p1,p2,…}] | 转置张量,使第 k 个指标变成为第 pk 个指标 |
Tr[t,f] | 构造张量 t 的广义迹 |
Outer[f,t1,t2] | 构造张量 t1 和 t2 在“乘法算子” f 下的广义外积 |
t1.t2 | 构造 t1 和 t2 的点积(t1 的最后一个指标和 t2 的第一个指标被删去) |
Inner[f,t1,t2,g] | 构造广义内积,带有“乘法算子” f 和“加法算子” g |
可以把 k 阶张量看作有 k 个插入指标的“位置”. 使用 Transpose 是重排这些位置的有效方法. 如果把张量的元素看作构成 k 维立方体,那么 Transpose 就是旋转(也可能是反射)该立方体.
在最一般的情形,Transpose 允许任意重排张量指标. 函数 Transpose[T,{p1,p2,…,pk}] 给出一个新的张量 T′,使得 T′i1 i2 … ik 的值由 Tip1 ip2 … ipk 给定.
如果一个张量的不同层次具有同样的长度,则可以使用 Transpose 压缩不同的层次.
也可以用 Tr 提取张量的对角元素.
用指标来描述,对两个张量 Ti1 i2 … ir 和 Uj1 j2 … js 应用 Outer 的结果是张量 Vi1 i2 … irj1 j2 … js,其元素是 f[Ti1 i2 … ir,Uj1 j2 … js].
构造 Outer[f,t,u] 时,把 u 插入到 t 的每一点. 构造 Inner[f,t,u] 时,组合并删去 t 的最后一维和 u 的第一维,即取 m1×m2×…×mr 张量和 n1×n2×…×ns 张量(其中 mr=n1),得到一个 m1×m2×…×mr-1×n2×…×ns 张量.
在张量的许多应用中,需要添加正负号实现反对称. 函数 Signature[{i1,i2,…}] 给出交换的正负号,常常用于这种目的.
Outer[f,t1,t2,…] | 通过组合 t1,t2,… 最低层元素构造广义外积 |
Outer[f,t1,t2,…,n] | 将第 n 层子列表作为分离元素处理 |
Outer[f,t1,t2,…,n1,n2,…] | 将 ti 中的第 ni 层子列表作为分离元素 |
Inner[f,t1,t2,g] | 使用 t1 的最低层元素,构造广义内积 |
Inner[f,t1,t2,g,n] | 将第一个张量的指标 n 与第二个张量的第一个指标合并压缩 |
ArrayFlatten[t,r] | 从一个 r 阶的 r 阶张量产生一个展平的 r 阶张量 |
ArrayFlatten[t] | 展平矩阵的矩阵(等同于 ArrayFlatten[t,2]) |
许多大型的线性代数的应用涉及到含有很多元素的矩阵,但是这些元素中很少是非零的. 在 Wolfram 系统中可以使用 SparseArray 对象有效地表示这些稀疏矩阵,这在 “稀疏数组:操作列表” 中讨论. SparseArray 对象是通过用规则列表指定非零数值出现的地方来工作的.
SparseArray[list] | 一个普通列表的 SparseArray 形式 |
SparseArray[{{i1,j1}->v1,{i2,j2}->v2,…},{m,n}] | |
一个 m×n 稀疏数组,其元素 {ik,jk} 具有数值 vk | |
SparseArray[{{i1,j1},{i2,j2},…}->{v1,v2,…},{m,n}] | |
同样的稀疏数组 | |
Normal[array] | 相应于一个 SparseArray 的普通列表 |
Dimensions[m] | 数组的维数 |
ArrayRules[m] | 对于数组中非零元素的规则 |
m[[i,j]] | 元素 i,j |
m[[i]] | 第 i 行 |
m[[All,j]] | 第 i 行 |
m[[i,j]]=v | 重新设置元素 i,j |
可以直接应用于 SparseArray 对象的几个结构运算.
SparseArray[rules] | 根据规则产生稀疏数组 |
CoefficientArrays[{eqns1,eqns2,…},{x1,x2,…}] | |
从方程中获得系数的数组 | |
Import["file.mtx"] | 从文件中导入稀疏数组 |
CoefficientArrays 可以处理一般的多项式方程:
对于机器精度数值稀疏矩阵,Mathematica 支持标准的文件格式,例如 Matrix Market (.mtx) 和 Harwell–Boeing. 可以用 Import 和 Export 这些格式导入和导出矩阵.