线性代数

构造矩阵矩阵的基本运算
获取和设置矩阵元素求解线性系统
标量、向量和矩阵特征值和特征向量
标量、向量和矩阵的运算高级矩阵运算
向量和矩阵的乘法张量
向量运算稀疏数组：线性代数
矩阵求逆
构造矩阵
Table[f,{i,m},{j,n}]
建立一个 m×n 矩阵，其中 f 是 i 和 j 的函数，给出第 i,j 项的值
Array[f,{m,n}]
建立一个 m×n 矩阵，其第 i,j 项是 f[i,j]
ConstantArray[a,{m,n}]
建立一个 m×n 矩阵，其所有的项都等于 a
DiagonalMatrix[list]
生成对角矩阵，对角线上是 list 的元素
IdentityMatrix[n]
生成 n×n 单位阵
Normal[SparseArray[{{i1,j1}->v1,{i2,j2}->v2,…},{m,n}]]
生成一个矩阵，其中位于 {ik,jk} 的项为非零的值 vk
构造矩阵函数.
生成一个 2×2 阵，其第 i,j 个元素是 a[i,j]：
生成同一矩阵的另一方法：
产生一个 3×2 的零矩阵：
DiagonalMatrix 产生一个主对角线以外的元素均为零的矩阵：
IdentityMatrix[n] 生成一个 n×n 单位阵：
产生一个 3×4 矩阵，其中填充了两个非零的值：
MatrixForm 以二维矩阵形式显示矩阵：
Table[0,{m},{n}]
零矩阵
Table[If[i>=j,1,0],{i,m},{j,n}]
下三角矩阵
RandomReal[{0,1},{m,n}]
元素为随机数字的矩阵
构造特殊类型的矩阵.
Table 分别对每个元素计算 If[i≥j,a++,0]，给出一个下三角的元素连续增加的矩阵：
SparseArray[{},{n,n}]
零矩阵
SparseArray[{i_,i_}->1,{n,n}]
n×n 单位阵
SparseArray[{i_,j_}/;i>=j->1,{n,n}]
下三角矩阵
用 SparseArray 构造特殊类型的矩阵.
建立一个一般的下三角矩阵：
获取和设置矩阵元素
m[[i,j]]
第 i,j 个元素
m[[i]]
第 i 行
m[[All,i]]
第 i 列
Take[m,{i0,i1},{j0,j1}]
第 i0 行到第 i1 行、第 j0 列到第 j1 列构成的子阵
m[[i0;;i1,j0;;j1]]
第 i0 行到第 i1 行、第 j0 列到第 j1 列构成的子阵
m[[{i1,…,ir
}，{
j1
，… ，
js
}]]
行标为 ik 列标为 jk 的元素构成 r×s 子阵
Tr[m,List]
对角线上的元素
ArrayRules[m]
非零元素的位置
获取矩阵元素的办法.
在 Wolfram 语言中，矩阵被表示为列表的列表，可以对矩阵使用所有的标准 Wolfram 语言列表处理运算.
一个 3×3 矩阵：
取出矩阵的第二行：
矩阵的第二列：
取出一个子矩阵：
m={{a11,a12,…},{a21,a22,…},…}
给 m 赋值为一个矩阵
m[[i,j]]=a
重新设置元素 {i,j} 为 a
m[[i]]=a
重新设置第 i 行的所有元素为 a
m[[i]]={a1,a2,…}
重新设置第 i 行的元素为 {a1,a2,…}
m[[i0;;i1]]={v1,v2,…}
重新设置第 i0 行到第 i1 行为向量 {v1,v2,…}
m[[All,j]]=a
重新设置第 j 列的所有元素为 a
m[[All,j]]={a1,a2,…}
重新设置第 j 列的元素为 {a1,a2,…}
m[[i0;;i1,j0;;j1]]={{a11,a12,…},{a21,a22,…},…}
重新设置第 i0 行到第 i1 行，第 j0 列到第 j1 列的子矩阵为新的数值
重新设置矩阵的一部分.
一个 3×3 矩阵：
将 2，2 元素重置为 x，然后显示整个矩阵：
将第二列的所有元素重新设置为 z:
分别重新设置第二列里的三个元素：
增大第二列里的所有数值：
通过使用 ;; (Span) 可指定下标的范围.
将前两行重新设置为新的向量：
重新设置每一行的第一和第三列中的元素：
重新设置第二行到第三行的第一和第三列中的元素：
标量、向量和矩阵
Wolfram 语言用列表表示矩阵和向量. 非列表的量则作为标量.
Wolfram 语言中，向量由标量的列表组成. 矩阵由向量的列表组成. 向量表示矩阵的行. 作为矩阵，所有的行必须有相同的长度，所以矩阵元素构成一个长方形阵列.
VectorQ[expr]
当 expr 是一个向量时给出 True，否则给出 False
MatrixQ[expr]
当 expr 是一个矩阵时给出 True，否则给出 False
Dimensions[expr]
向量或矩阵的维数列表
检验向量和矩阵构造的函数.
列表 {a,b,c} 是一个向量：
不是列表的量作为标量处理. 故 VectorQ 给出 False：
一个 2×3 矩阵：
对于向量，Dimensions 给出值为向量 Length 的单个元素的列表：
该对象不构成矩阵. 因为其各行长度不同：
标量、向量和矩阵的运算
Wolfram 语言中的大部分数学函数能分别作用于列表中的每个元素，特别是具有属性 Listable 的函数都能做到这一点.
因此，大部分数学函数能逐个地作用于向量和矩阵的每个元素.
Log 分别作用于向量中的每个元素：
对矩阵，或任何嵌套列表都同样可行：
微分函数 D 也能分别作用于列表的每个元素：
两个向量的和是对应的元素相加：
如果试图将两个不同长度的向量相加，将出现错误：
标量 1 与向量的每个元素相加：
任何不是列表的量被作为标量处理. 这里 c 被作为一个标量处理，并分别与向量中的每个元素相加：
用标量 k 乘向量的每个元素：
在特定运算中只有当对象明显是一个列表时，Wolfram 语言才将其作为向量处理. 认识这一点很重要. 如果对象不明显是一个列表，Wolfram 语言总是作为标量处理. 这意味着在特定运算之前还是之后给某个对象赋列表值，得到的结果是不同的.
对象 p 作为标量处理，分别与向量的每个元素相加：
现在用列表 {c,d} 替换 p 得出此结果：
如果在第一个运算之前用 {c,d} 替换 p，将得出不同的结果：
向量和矩阵的乘法
cv
，
cm
， etc.
用标量乘每个元素
u.v
，
v.m
，
m.v
，
m1.m2
， etc.
向量和矩阵相乘
Cross[u,v]
向量叉积（也输入为 u×v）
Outer[Times,t,u]
外积
KroneckerProduct[m1,m2,…]
Kronecker 积
矩阵和向量的各种乘法.
用标量 k 乘向量的每个元素：
算符 "." 给出两个向量的标积（点积）：
也可以用 "." 进行矩阵和向量的乘法：
在 Wolfram 语言中，矩阵相乘也用 "."：
注意，"." 算符用于矩阵左乘和右乘向量，Wolfram 语言不区分“行”和“列”向量. Dot （点）算符将进行任何可能的运算. （用正式的数学语言来说，即 将张量 的最后一个下标和 的第一个下标缩并起来.）
定义一个矩阵 m 和一个向量 v：
m 左乘 v，此时 v 作为列向量处理：
m 右乘 v ，则 v 被作为行向量处理：
m 左、右都乘 v 得出一个标量：
有时，可能需要用符号表示向量和矩阵，而不是给出其元素. 对这种符号对象，可以用 Dot （点）表示乘法.
此处，"." 实际上是乘法的不可交换形式：
然而，是可结合的：
和的点积并不自动被展开：
此时可以使用 “结构运算” 中介绍的函数 Distribute 来应用分配律：
算符 "." 给出向量、矩阵等的“内积”. 在更高深的计算中，也可能需要构造向量和矩阵的外积或 Kronecker 积. 使用 Outer 或 KroneckerProduct 函数可做到这一点.
两个向量的外积是矩阵：
矩阵和向量的外积是秩为三的张量：
外积将在 “张量” 中更详细地讨论.
矩阵和向量的 Kronecker 积是矩阵：
一对 2×2 矩阵的 Kronecker 积是一个4×4 矩阵：
向量运算
v[[i]]
或
Part[v,i]
给出向量 v 中的第 i 个元素
c v
c 乘向量 v 的标积
u.v
两个向量的点积
Norm[v]
给出 v 的范数（模）
Normalize[v]
给出一个在 v 方向的单位向量
Standardize[v]
变换 v 以得到零的均值和单位抽样方差
Standardize[v,f1]
用 f1[v] 变换 v 并按比例调节来得到单位样本方差
基本向量运算.
一个三维的向量：
给出一个向量 u，方向与 v 相反，大小是其两倍：
将 u 的第一个元素重新赋予成其负值：
给出 u 和 v 的点积：
v 的范数：
和 v 同方向的单位向量：
证实范数是1：
变换 v 以得到零的均值和单位抽样方差：
显示被变换的数值均值为 0，方差为 1：
如果点积为零，则两个向量为正交. 如果一组向量都是单位向量并且是成对正交的，那就是正交归一的.
Projection[u,v]
给出 u 在 v 上的垂直投影
Orthogonalize[{v1,v2,…}]
从给定的一列向量产生正交归一的一组向量
正交向量运算.
给出 u 在 v 上的投影：
p 是 v 的标量倍数：
u-p 和 v 正交：
从一组向量 {u,v} 开始，找到一组正交归一的两个向量：
当其中的一个向量线性地依赖前面的向量时，其结果中相应的位置上将是一个零向量：
矩阵求逆
Inverse[m]
求方阵的逆矩阵
矩阵求逆.
一个简单的 2×2 矩阵：
给出 m 的逆. 在产生公式时，Wolfram 语言隐含地假定行列式 ad-bc 不为零：
用原矩阵乘逆矩阵应得到单位阵：
必须使用 Together 来消除分母，以得到一个标准单位阵：
一个有理数的矩阵：
Wolfram 语言求出该矩阵的精确逆：
乘以原矩阵得到单位阵：
如果对奇异矩阵求逆，Wolfram 语言将给出警告信息并原封不动地返回输入：
如果矩阵的元素是精确的符号或数值， Wolfram 语言将给出精确的逆矩阵. 反之，如果矩阵的某些元素是近似实数，那么 Wolfram 语言将给出近似数值结果.
矩阵包含近似实数：
求数值逆矩阵：
乘以原矩阵给出单位阵，但有小的四舍五入的误差：
可以使用 Chop 去掉非对角线上的微小元素：
当对具有精确值元素的矩阵求逆时，Wolfram 语言总能辨别矩阵是否是奇异的. 当对近似数值阵求逆时，Wolfram 语言通常不能肯定地辨别矩阵是否是奇异的：只能辨别与矩阵元素相比，其行列式的值是很小的. 当 Wolfram 语言怀疑是在给奇异数值阵求逆時，会给出一个警告.
当求逆的数值阵被怀疑是奇异时，Wolfram 语言给出一个警告：
矩阵是奇异的，但警告是不同的，结果是无用的：
如果矩阵的元素是高精度的近似数，Wolfram 语言生成的逆矩阵保持同样的精度.
生成一个 6×6 数值阵，其元素的精度是 20 位：
将该矩阵和其逆矩阵相乘，并显示出结果的第一行：
生成一个 6×6 Hilbert 矩阵的 20 位精度的近似值. Hilbert 矩阵是有名的难以求数值逆的矩阵：
结果仍然是正确的，但其中的 0 有较低的准确度：
Inverse 仅对方阵有效. “高级矩阵运算” 讨论函数 PseudoInverse，也能用于非方阵.
矩阵的基本运算
Transpose[m]
矩阵转置 m
ConjugateTranspose[m]
共轭转置 m（Hermitian 共轭）
Inverse[m]
矩阵求逆
Det[m]
行列式
Minors[m]
矩阵子式
Minors[m,k]
k 阶子式
Tr[m]
矩阵的迹
MatrixRank[m]
矩阵的秩
一些基本的矩阵运算.
转置矩阵是将矩阵的行和列进行交换. m×n 矩阵的转置是 n×m 矩阵.
2×3 矩阵的转置是一个 3×2 矩阵：
Det[m] 给出方阵 m 的行列式. Minors[m] 是一个矩阵，其第 个元素是删掉 m 的第 行和第 列得到的子矩阵的行列式. m 的第 个余子式正是 乘以子式矩阵的第 个元素.
Minors[m,k] 给出 m 的所有 k×k 子式的行列式，这些子式是通过从 m 中取每一组可能的 k 个行和 k 个列而获得. 注意 Minors 不但可以用于方阵，而且也可以用于长方阵.
一个简单的 2×2 矩阵的行列式：
产生一个 3×3 矩阵，其第 元素是 a[i,j]：
m 的行列式：
矩阵的迹 Tr[m] 是主对角线上的元素之和.
这是求一个简单的 2×2 矩阵的迹：
矩阵的秩是线性独立的行数或列数.
求一个矩阵的秩：
MatrixPower[m,n]
矩阵的 n 次幂
MatrixExp[m]
矩阵指数
矩阵的幂和指数.
一个 2×2 矩阵：
给出 m 的三次幂：
等价与这样三个矩阵相乘：
矩阵的百万次幂：
矩阵 m 的矩阵指数是 ，其中 表明一个矩阵的幂.
给出 m 的矩阵指数：
m 的矩阵指数的近似值，由幂级数给出：
求解线性系统
许多计算涉及求解线性方程组. 在许多情形下，明确写出各个方程，然后使用 Solve 求解是方便的.
然而对某些情形，用户会偏好把线性方程组化为矩阵方程，然后使用矩阵运算求解. 当方程组是一般规则系统的一部分，且事先不知道包含多少变量时，此方法是很有用的.
线性方程组可以表示为矩阵形式 ，其中 是由变量组成的向量.
注意，如果方程系统是稀疏的，即相应的矩阵 的大多数元素是零，那么最好是把矩阵表示为一个 SparseArray 对象. 就像在 “稀疏数组：线性代数” 中讨论的，能够使用 CoefficientArrays 来把符号方程转化成 SparseArray 对象. 所有这里描述的函数不但对普通的矩阵适用，而且也对 SparseArray 对象适用.
LinearSolve[m,b]
给出矩阵方程 的解的向量
NullSpace[m]
一列线性独立的向量，其线性组合包括矩阵方程 的所有解
MatrixRank[m]
的线性独立的行数或列数
RowReduce[m]
通过行的线性组合得到的 的简化形式
线性方程组的求解和分析.
一个 2x2 矩阵：
给出两个线性方程：
可以直接用 Solve 解此方程组.
也可以使用 LinearSolve 得到解向量. 这与 Solve 得到的解是等价的：
另一方法是求出 m 的逆，然后与 {a,b} 相乘得到解. 这不如用 LinearSolve 有效：
RowReduce 进行一种形式的高斯消元，也可以用来解方程组.
如果方阵 的行列式不为零，那么对任意 总能求出矩阵方程 的唯一解. 但当 的行列式为零时，对特定的 可能没有向量 ，或者有无穷多个向量 满足 . 这在 中体现的线性方程不是独立的时候会出现.
当 的行列式为零时，总能求出非零向量 满足 . 满足此方程的向量 的集合构成矩阵 的零空间或核. 任何这些向量都能被表示为某组基向量的线性组合，基向量可以使用 NullSpace[m] 来获得.
一个简单矩阵，对应于两个相同的线性方程：
该矩阵的行列式为零：
此时，LinearSolve 无法求出方程 的解：
m 的零空间具有单一基向量：
用 m 乘零空间的基向量得零向量：
m 中只有 1 个线性独立的行：
NullSpace 和 MatrixRank 必须决定矩阵元素的特定组合是否为零. 对于近似数值矩阵，能够用 Tolerance 选项来指定在和零多近时才可以被认为是足够近的. 对于精确的符号矩阵，有时需要通过类似于 ZeroTest->(FullSimplify[#]==0&) 的指定来强制进行更多的运算以测试符号表达式是否为零.
这是一个其行列式为零的简单符号矩阵：
m 的零空间的基包含两个向量：
m 乘以基向量的线性组合得零：
LinearSolve 和 NullSpace 的一个重要特点是他们对方阵和长方阵都有效.
当用矩阵方程形式 表示线性方程组时， 的列数就是变量的个数，其行数是方程的个数. 方程有多种情形.
欠定
方程的个数少于变量的个数；可能无解，也可能有多解
超定
独立方程的个数多于变量的个数；可能有解，也可能无解
非奇异
独立方程的个数等于变量的个数，行列式不为零；存在唯一解
相容
至少存在一个解
不相容
不存在解
由长方阵表示的线性系统的分类.
求不相容方程组 和 的解：
矩阵代表三个变量的两个方程：
LinearSolve 给出欠定方程组的一个解：
当矩阵代表欠定方程系统时，矩阵有一个非平凡的零空间. 此时，零空间由单个向量张成：
LinearSolve 给出的解，加上零空间的基向量的线性组合，仍然是解：
独立方程的个数是矩阵的秩 MatrixRank[m]. 多余方程的数目是 Length[NullSpace[m]]. 注意，这两个量之和总是等于 m 的列数.
LinearSolve[m]
产生一个求解形如 的方程的函数
产生 LinearSolveFunction 对象.
在某些应用中，会希望多次求解形式为 的方程组，其具有相同的 ，但不同的 . 在 Wolfram 语言中能这样有效地做，那就是使用 LinearSolve[m] 来产生一个单一的 LinearSolveFunction，应用于任意多的向量.
产生一个 LinearSolveFunction：
应用于一个向量：
将这个向量作为一个明确的第二自变量给予 LinearSolve，能得到相同的结果：
但是能将 f 应用于任何的向量：
LeastSquares[m,b]
给出一个最小二乘问题 的解的向量 .
求解最小二乘问题.
这个线性系统是不相容的：
LeastSquares 求解一个向量 使得 在最小二乘的意义上最小化：
特征值和特征向量
Eigenvalues[m]
m 的特征值列表
Eigenvectors[m]
m 的特征向量的列表
Eigensystem[m]
形如 {eigenvalues,eigenvectors}（{特征值，特征向量}）的列表
Eigenvalues[N[m]],
etc.
数字特征值
Eigenvalues[N[m,p]],
etc.
p 位精度的数字特征值
CharacteristicPolynomial[m,x]
m 的特征多项式
特征值和特征向量.
是矩阵 的特征值是指存在非零向量 使得 . 则称 为特征向量.
一个 × 矩阵的特征多项式 CharacteristicPolynomial[m,x] 由 Det[m-x IdentityMatrix[n]] 给出. 特征值是这个多项式的根.
求 × 矩阵的特征值一般涉及到求 次多项式方程. 因此，对于 ，结果一般不能用显式根式来表达. 然而，总是可以使用 Root 对象，尽管除了相当稀疏或简单的矩阵之外所得的表达式是很复杂的.
即使这么简单的矩阵，特征值的显式形式也是相当复杂的：
对近似实数矩阵，Wolfram 语言将求出近似数值特征值和特征向量.
一个 2×2 数值矩阵：
该矩阵有两个特征值，均为实数：
这是 m 的两个特征向量：
Eigensystem 同时计算特征值和特征向量，给 vals 赋以特征值列表，给 vecs 赋以特征向量列表：
这里证实第一个特征值和特征向量满足适当的条件：
这里求 4×4 随机矩阵的特征值，对非对称矩阵，特征值会有虚部：
对于 × 的矩阵，Eigenvalues 总是给出一个 个特征值的列表. 特征值是矩阵的特征多项式的根，可能是相同的. 另一方面，Eigenvectors 给出相互独立的特征向量的列表. 当特征向量的数目小于 时，Eigenvectors 将在列表中添加零向量，使列表的长度总为 .
这是一个 3×3 矩阵：
这个矩阵有三个特征值，都等于 0：
但是，该矩阵仅有一个独立的特征向量. 此时，Eigenvectors 添加两个零向量给出总共三个向量：
这里给出矩阵的特征多项式：
Eigenvalues[m,k]
m 的最大的 k 个特征值
Eigenvectors[m,k]
m 的相应的特征向量
Eigensystem[m,k]
m 的最大的 k 个特征值以及相应的特征向量
Eigenvalues[m,-k]
m 的最小的 k 个特征值
Eigenvectors[m,-k]
m 的相应的特征向量
Eigensystem[m,-k]
m 的最小的 k 个特征值以及相应的特征向量
求解最大的和最小的特征值.
Eigenvalues 对数值特征值进行排序，使得绝对值大的排在最先. 在很多情况下，也许仅对矩阵的最大或最小的特征值感兴趣. 能用 Eigenvalues[m,k] 和 Eigenvalues[m,-k] 来得到.
这里计算一个整数矩阵的精确特征值：
特征值按递减值的顺序排列：
这里给出三个绝对值最大的特征值：
Eigenvalues[{m,a}]
相对于 a 的 m 的广义特征值
Eigenvectors[{m,a}]
相对于 a 的 m 的广义特征向量
Eigensystem[{m,a}]
相对于 a 的 m 的广义特征系统
CharacteristicPolynomial[{m,a},x]
相对于 a 的 m 的广义特征多项式
广义特征值、特征向量和特征多项式.
矩阵 相对于矩阵 的广义特征值定义为使得 成立的那些 .
广义特征值对应于广义特征多项式 Det[m-x a] 的零点.
注意，尽管普通矩阵的特征值总有确定数值，如果广义特征多项式变为零，某些广义特征值将总是 Indeterminate，这会在 和 共享一个零空间时发生. 也注意，广义特征值可以是无穷的.
这两个矩阵共享一个一维的零空间，所以一个广义特征值是 Indeterminate：
给出一个广义特征多项式：
高级矩阵运算
SingularValueList[m]
m 的非零的奇异值的列表
SingularValueList[m,k]
m 的 k 个最大的奇异值
SingularValueList[{m,a}]
m 的相对于 a 的广义奇异值
Norm[m,p]
m 的 p-范数
Norm[m,"Frobenius"]
m 的 Frobenius 范数
求矩阵的奇异值和范数.
矩阵 的奇异值是 的特征值的平方根，这里 表示 Hermitian 转置. 奇异值的数目是矩阵的最小的维数. SingularValueList 将奇异值从最大到最小进行整理. 非常小的奇异值通常在数值上没有意义的. 当使用 Tolerance->t 这个选项设置时，SingularValueList 去掉小于最大奇异值的 t 部分的那些奇异值. 对于近似数字矩阵，默认下的容限值稍微比零大一点.
如果取 维空间的单位球，用 × 矩阵 乘其中对于每个点的向量，这将得到 维空间的椭球体. 的奇异值给出椭球体主轴的长度.
矩阵的2-范数 Norm[m,2] 是椭球体的最大的主轴，等于矩阵最大的奇异值. 这也是对于任何可能的单位向量 ， 的最大的2-范数长度.
矩阵的 ‐范数一般是 所能得到的最大 ‐范数长度. 最常考虑的情况是 、 和 . 有时也被考虑的是 Frobenius 范数 Norm[m,"Frobenius"] 是 的迹的平方根.
LUDecomposition[m]
求任意方阵的 LU 分解
CholeskyDecomposition[m]
Cholesky 分解
把方阵分解成三角形式.
当用 LinearSolve[m] 产生一个 LinearSolveFunction 时，这经常是通过把矩阵 分解成三角形式来完成的. 有时能明确地得到这些形式是有用的.
LU 分解将任何方阵有效地分解为下三角和上三角阵的乘积. Cholesky 分解将任何 Hermitian 正定矩阵分解为一个下三角阵和其 Hermitian 共轭的乘积，这可以看成是类似于求一个方阵的平方根.
PseudoInverse[m]
计算矩阵的伪逆
QRDecomposition[m]
求数值矩阵的 QR 分解
SingularValueDecomposition[m]
奇异值分解
SingularValueDecomposition[{m,a}]
广义奇异值分解
矩阵的正交分解.
当矩阵不是方阵或是奇异时，标准的逆矩阵定义不再有效. 然而，可以定义矩阵 的伪逆矩阵 . 使得 中的所有元素的平方和被最小化，其中 是单位阵. 伪逆矩阵有时被称为广义逆，或 Moore–Penros. 这尤其在关于最小平方拟合的问题中使用.
QR 分解把任意矩阵 写为 ，其中 是正交归一矩阵， 表示 Hermitian 转置， 是一个三角阵，在其中所有主对角线以下的元素都为零.
奇异值分解或 SVD 是许多数值矩阵算法中的基本元素. 基本的思想是将任何矩阵写成 的形式，其中 是对角线上的值为 的奇异值的一个矩阵， 和 是正交归一的矩阵， 是 的 Hermitian 转置.
JordanDecomposition[m]
Jordan 分解
SchurDecomposition[m]
Schur 分解
SchurDecomposition[{m,a}]
广义 Schur 分解
HessenbergDecomposition[m]
Hessenberg 分解
关于特征值问题的函数.
绝大多数的方阵都能被变成一个特征值的对角阵，这可以通过用其特征向量矩阵作为相似变换来完成. 但是即使在没有足够的特征向量来做这个时，仍然可以将矩阵变成 Jordan 形式，在其中对角线上既有特征值又有 Jordan 块. Jordan 分解一般将任何方阵写成 的形式.
数值上更稳定的是 Schur 分解，将任何矩阵 写成 的形式，其中 是一个正交归一的矩阵， 是块式上三角. 也相关的是 Hessenberg 分解，将一个方阵写成 的形式，其中 是一个正交归一的矩阵， 可以在主对角线以下的对角线上有非零的元素.
张量
张量是向量和矩阵的推广. 在 Wolfram 系统中，张量被表示为嵌套到一定次数的列表的集合，嵌套次数称为张量的秩.
rank 0
标量
rank 1
向量
rank 2
矩阵
rank k
k 矩阵
嵌套列表的解释.
阶为 k 的张量实际上是一个 k 维值表. 张量的阶为 k 的条件是能够将表中的元素列为一个 k 维立方阵列，没有空洞和鼓包.
指明张量中特定元素的指标相应于立方体的坐标. 张量的维数相应于立方体的边长.
产生 k 阶张量的一个简单方法是给出 k 个变量的函数的值表. 在物理学中出现的张量具有指出空间或时空方向的指标. 注意，在 Wolfram 系统中，没有共变和协变张量指标的概念. 用户须使用度量张量来建立这些概念.
Table[f,{i1,n1},{i2,n2},…,{ik,nk}]
建立一个 n1×n2×…×nk 张量，其元素是 f 的值
Array[a,{n1,n2,…,nk}]
建立一个 n1×n2×…×nk 张量其元素通过把 a 用于每个指标集合给出
ArrayQ[t,n]
检验是否 t 是一个 n 阶张量
Dimensions[t]
给出张量的维数的列表
ArrayDepth[t]
求张量的阶
MatrixForm[t]
以两维阵列的形式排列张量 t 的元素
建立和检验张量结构的函数.
一个 2×3×2 张量：
用另一方法产生同一张量：
MatrixForm 用二维阵列显示张量的元素. 可以看作是一个列向量的 2×3 矩阵：
Dimensions 给出张量的维数：
张量的 元素：
ArrayDepth 给出张量的阶：
张量的阶等于指定每个元素所需的指标数. 通过使用较少的指标数可以取出子张量.
Transpose[t]
张量的前两个指标的转置
Transpose[t,{p1,p2,…}]
转置张量，使第 k 个指标变成为第 pk 个指标
Tr[t,f]
构造张量 t 的广义迹
Outer[f,t1,t2]
构造张量 t1 和 t2 在“乘法算子” f 下的广义外积
t1.t2
构造 t1 和 t2 的点积（t1 的最后一个指标和 t2 的第一个指标被删去）
Inner[f,t1,t2,g]
构造广义内积，带有“乘法算子” f 和“加法算子” g
张量运算.
可以把 k 阶张量看作有 k 个插入指标的“位置”. 使用 Transpose 是重排这些位置的有效方法. 如果把张量的元素看作构成 k 维立方体，那么 Transpose 就是旋转（也可能是反射）该立方体.
在最一般的情形，Transpose 允许任意重排张量指标. 函数 Transpose[T,{p1,p2,…,pk}] 给出一个新的张量 T′，使得 T′i1 i2 … ik 的值由 Tip1 ip2 … ipk 给定.
如果最初有一个 np1×np2×…×npk 张量，使用 Transpose 后，将得到一个 n1×n2×…×nk 张量.
一个矩阵，也可以看作 2×3 张量：
使用 Transpose 给出 3×2 张量. Transpose 实际上将张量指标的两个“位置”交换：
原张量中的元素 m[[2,3]] 变成转置张量的元素 m[[3,2]]：
生成一个 2×3×1×2 张量：
转置 t 的前两层：
结果是 3×2×1×2 张量：
如果一个张量的不同层次具有同样的长度，则可以使用 Transpose 压缩不同的层次.
压缩所有的三层，给出“主对角”元素的列表：
仅压缩前两层：
也可以用 Tr 提取张量的对角元素.
构造三阶张量的普通迹：
广义迹，将这些元素放入一个列表：
组合对角元素到第二层：
外积以及其推广是一种用低阶张量构造高阶张量的方法. 外积有时称为直接积，张量积或 Kronecker 积.
根据结构的观点，Outer[f,t,u] 给出的张量有一个 u 插入到 t 的每个元素的“位置”的结构. 所得结构中的元素通过使用函数 f 组合 t 和 u 的元素来获得.
给出两个向量的“外积 f”. 结果是一个矩阵：
对长度为 3 和长度为 2 的两个向量“外积 f”，得到 3×2 矩阵：
2×2 矩阵和长度为 3 的向量的“外积 f”是 2×2×3 张量：
张量的维数：
m1×m2×…×mr 张量和 n1×n2×…×ns 张量的广义外积是 m1×…×mr×n1×…×ns 张量. 如果两个张量的阶为 r 和 s，其广义外积的阶为 r+s .
用指标来描述，对两个张量 Ti1 i2 … ir 和 Uj1 j2 … js 应用 Outer 的结果是张量 Vi1 i2 … irj1 j2 … js，其元素是 f[Ti1 i2 … ir,Uj1 j2 … js].
在标准张量计算中，在 Outer 中最常用的函数 f 是 Times，相应于标准外积.
然而，在组合运算中，把 f 取为 List 常常是方便的. 使用 Outer，可以得到一个张量元素与其他张量的元素的所有可能的组合.
构造 Outer[f,t,u] 时，把 u 插入到 t 的每一点. 构造 Inner[f,t,u] 时，组合并删去 t 的最后一维和 u 的第一维，即取 m1×m2×…×mr 张量和 n1×n2×…×ns 张量（其中 mr=n1），得到一个 m1×m2×…×mr-1×n2×…×ns 张量.
最简单的例子是向量的内积. 对两个长度相同的向量使用 Inner，将得到一个标量. Inner[f,v1,v2,g] 是普通标量积的推广，其中 f 起着乘法的作用，g 起着加法的作用.
两个向量的标准标量积的推广：
给出矩阵乘积的推广：
一个 3×2×2 张量：
一个 2×3×1 张量：
给出一个 3×2×3×1 张量：
结果的维数：
可以把 Inner 看作是对一个张量的最后一个指标和另一张量的第一个指标进行“压缩”. 如果想压缩其他指标对，可以先把该指标对转置到第一或最后的位置，然后使用 Inner，再把结果转置回去.
在张量的许多应用中，需要添加正负号实现反对称. 函数 Signature[{i1,i2,…}] 给出交换的正负号，常常用于这种目的.
Outer[f,t1,t2,…]
通过组合 t1,t2,… 最低层元素构造广义外积
Outer[f,t1,t2,…,n]
将第 n 层子列表作为分离元素处理
Outer[f,t1,t2,…,n1,n2,…]
将 ti 中的第 ni 层子列表作为分离元素
Inner[f,t1,t2,g]
使用 t1 的最低层元素，构造广义内积
Inner[f,t1,t2,g,n]
将第一个张量的指标 n 与第二个张量的第一个指标合并压缩
将张量的某个列表作为分离的元素处理.
每一单独符号被作为分离元素处理：
但这里将第一层子列表作为分离元素处理：
ArrayFlatten[t,r]
从一个 r 阶的 r 阶张量产生一个展平的 r 阶张量
ArrayFlatten[t]
展平矩阵的矩阵（等同于 ArrayFlatten[t,2]）
展平矩阵块.
一个矩阵块（一个矩阵的矩阵，这可以看成是齐边地放在一个大的矩阵中的一些块）：
将这些块拼在一起后形成的矩阵：
稀疏数组：线性代数
许多大型的线性代数的应用涉及到含有很多元素的矩阵，但是这些元素中很少是非零的. 在 Wolfram 系统中可以使用 SparseArray 对象有效地表示这些稀疏矩阵，这在 “稀疏数组：操作列表” 中讨论. SparseArray 对象是通过用规则列表指定非零数值出现的地方来工作的.
SparseArray[list]
一个普通列表的 SparseArray 形式
SparseArray[{{i1,j1}->v1,{i2,j2}->v2,…},{m,n}]
一个 m×n 稀疏数组，其元素 {ik,jk} 具有数值 vk
SparseArray[{{i1,j1},{i2,j2},…}->{v1,v2,…},{m,n}]
同样的稀疏数组
Normal[array]
相应于一个 SparseArray 的普通列表
指定稀疏数组.
就像在 “稀疏数组：操作列表” 中讨论的，可以使用模式来指定稀疏矩阵中的元素集合. 也可以得到和任意阶的张量相应的稀疏数组.
产生一个 50×50 稀疏数值矩阵，有148个非零的元素：
矩阵元素的视觉效果：
矩阵的最大的四个特征值：
Dot 给出一个 SparseArray 结果：
可以像在一个普通数组中一样提取部分：
可以将大多数的标准结构运算直接应用于 SparseArray 对象，就像操作普通列表一样. 当结果稀疏时，通常返回 SparseArray 对象.
Dimensions[m]
数组的维数
ArrayRules[m]
对于数组中非零元素的规则
m[[i,j]]
元素 i，j
m[[i]]
第 i 行
m[[All,j]]
第 i 行
m[[i,j]]=v
重新设置元素 i，j
可以直接应用于 SparseArray 对象的几个结构运算.
给出 m 的第一列. 只有 2 个非零的元素：
把 3 与 m 第一列中的每一个元素相加：
现在第一列中的所有元素都不为零：
给出第二行上非零元素的规则：
SparseArray[rules]
根据规则产生稀疏数组
CoefficientArrays[{eqns1,eqns2,…},{x1,x2,…}]
从方程中获得系数的数组
Import["file.mtx"]
从文件中导入稀疏数组
获得稀疏数组的通常方法.
产生三对角线随机矩阵：
甚至该矩阵的第十次幂也仍然很稀疏：
以稀疏数组提取系数：
相应的普通数组：
重现原来的形式：
CoefficientArrays 可以处理一般的多项式方程：
二次部分的系数以一个 3 阶张量的形式给出：
重现原来的形式：
对于机器精度数值稀疏矩阵，Mathematica 支持标准的文件格式，例如 Matrix Market (.mtx) 和 Harwell–Boeing. 可以用 Import 和 Export 这些格式导入和导出矩阵.