一連の再現しない事象は，RandomSampleでシミュレートすることができる．例えば，1から までの整数を順に無作為抽出する確率をシミュレートする．

これは， が2から8のときに， 個の元を順に得る確率を推定する：

乱数生成は，モンテカルロ法の中核にある．関数 の期待値の推定は，所望の分布からの値を生成し，その値に適用される の平均を見付けることにより得られる．

次は，実数値のときとは異なるという証拠にはならない：

次は，少なくともいくつかの複素数値のときは，とが異なるという証拠となる：

乱数

RandomInteger[{imin,imax}]	範囲{imin,…,imax}で整数の擬似乱数を返す
RandomInteger[imax]	範囲{0,…,imax}で整数の擬似乱数を返す
RandomInteger[]	確率で擬似乱数的に0か1を返す
RandomInteger[domain,n]	n 個の整数の擬似乱数を返す
RandomInteger[domain,{n1,n2,…}]	整数の擬似乱数の n1×n2×…配列を返す

次元 から までの多次元配列では，要求される擬似乱数の合計 が生成されてから分割される．これによりできるだけ効率的に多次元配列が生成できる．それは，乱数値の合計数は可能な限り効率的に生成され，分割に必要な時間はほんのわずかしか必要ないからである．

次は の最初の100万桁を整数の文字列にする：

これで， の最初の100万桁で先の10進数字が出現する場所が分かる：

次の例はCasellaとGeorgeの例[2]に対するギブスサンプラーを構築する．関心のある分布は2変量である． が与えられたときの の条件付き分布は二項分布， が与えられたときの の条件付き分布はベータ分布である．CasellaとGeorgeが述べているように，ギブスサンプラーを使った収束の検出および抽出のさまざまな方法が提案されている．簡単に言うと，収束は反復1000回以内に起ると仮定する．分布からの大きさ の標本は，1000回目の反復の後， 値とされる．しかし，この 値は従属値である．

の範囲での の実際の分布と理論的分布を比較する：

のときの の実際の分布と理論的分布を比較する：

任意精度の実数と複素数

分布に従う精度50の数である：

区間[0,1000]での の計算における最悪の精度の損失を推定する：

ランダムな要素

RandomChoiceまたはRandomSampleの第1引数がリストならば，要素は同じ確率で選ばれる．重み指定は，e_i の集合の分布を定義する．この重みは正でなければならないが，和が1である必要はない．重み{w₁,…,w_n}では，初期分布の e_i の確率は である．RandomSampleは非復元抽出を行うので，各選択の後，残りの合計の重みに基づいて重みが内部的に更新される．

並列計算のSeedRandomおよびBlockRandom

以下でCompiledFunctionを定義する．これは，リストが与えられたときに並列で実行する 個のサンプルを使って，1/4円の面積を近似する：

"Congruential"	線形合同法（低質のランダム性）
"ExtendedCA"	拡張セルオートマトン法（デフォルト）
"Legacy"	バージョン6.0より前のデフォルト法
"MersenneTwister"	メルセンヌ・ツイスタシフトレジスタ法
"MKL"	インテルMKL（インテルベースのシステム）
"ParallelGenerator"	並列計算のために生成器を初期化し種を播くために使われる
"ParallelMersenneTwister"	周期の1024個のメルセンヌ・ツイスタ生成器の集合
"Rule30CA"	ウルフラム則30生成法

Congruential

"Congruential"は線形合同法を使う．これは擬似乱数が から得られる0と1である，最も単純な擬似乱数生成法のひとつである． は下の漸化式

であり，固定された整数 ，， はそれぞれ乗数，増分，法と呼ばれる．増分が0ならば，生成器は乗法合同法である．，， の値はオプションを使って"Congruential"メソッドに設定することができる．

線形合同法は周期的であり，多数の乱数値が必要な場合は特にランダム性の質が低下する傾向にある．実数が合同関係から直接生成される場合，周期は 以下である．

実際の周期は を法とする となるような最小の整数 を見付けることで決めることができる．

"Bits"オプションはAutomatic，非零の整数，ビットからの数を構築するために使われる法 のビット範囲を指定する2つの非零の整数のリストのいずれかを取る．Automaticでは{2,-1}が使われるが， が2のベキ乗のときは{1,-1}が使われる．

ExtendedCA

使用される状態ベクトルの長さはデフォルトでセルに設定されている．64の乗数が"Size"オプションで指定できる．5近傍ルールを使ってセルオートマトンを進化させることにより状態ベクトルが計算されると，ビット{start,start+skip,…}から乱数に対するビットが選ばれる．

Legacy

MersenneTwister

"MersenneTwister"はMatsumotoとNishimura [3][4]によるメルセンヌツイスタ生成器を使用する．メルセンヌツイスタは，周期の一般化されたフィードバックシフトレジスタ生成器である．

参照実装

genrand64_int64 ()

#include <stdio.h>
#include "mt64.h"

int main(void) {
int i;
unsigned long long init[1], length=1;

init[0]=1ULL; /*SeedRandom[1, Method -> "MersenneTwister"];*/
init_by_array64(init, length);

for (i=0; i<5; i++) {
   printf("%20llu\n", genrand64_int64());
}
    
return 0;
}

/*Output*/ 
7259937129391483703
 7973299316636211948
16865006314979686608
 5442441613857606270
14480929463982189498

Wolfram言語

Reals

genrand64_real1()

#include <stdio.h>
#include "mt64.h"

int main(void) {
int i;
unsigned long long init[1], length=1;

init[0]=1ULL; /*SeedRandom[1, Method -> "MersenneTwister"];*/
init_by_array64(init, length);

for (i=0; i<3; i++) {
        printf("%16.15f\n", genrand64_real1());
    }
    
return 0;
}

/*Output*/ 
0.393561980389721
0.432233422048709
0.914253824284137

Wolfram言語

MKL

Rule30CA

を使い，0と1の状態ベクトルを進化させることによりビットを得る．ここで は時間 におけるセル の値である．

使用される状態ベクトルの長さは，デフォルトでセルに設定されている．29の乗数は"Size"オプションで指定することができる．

ParallelMersenneTwister

"ParallelMersenneTwister"ではMatsumotoとNishimura [3][4]による，「Dynamic Creator」プログラムdcmt[19]を使って選ばれたパラメータを持つメルセンヌ・ツイスタ生成器が一組使われる．このプログラムは，互いに素であるために非依存の結果を出すメルセンヌ・ツイスタ生成器に対するパラメータを計算する．そのパラメータは，周期でメルセンヌ・ツイスタの一般フィードバックシフトレジスタ生成器を作成するために計算される．

ParallelGenerator

"ParallelMersenneTwister"	周期の並列メルセンヌ・ツイスタ法
"ExtendedCA"	異なる開始位置の拡張セルオートマトン法
f	i番目のスレッドに使われる生成器 f[i]
"Default"	デフォルトのメソッドに戻す

自分の生成器を定義する

ランダムな整数がサポートされる場合，gobj["GenerateIntegers"[n,{a,b}]]は範囲の n 個のランダムな整数のリストを返すことが想定される．結果が範囲を超えると警告メッセージが出される．

ランダムな実数がサポートされる場合，gobj["GenerateReals"[n,{a,b},prec]]は範囲で精度 prec の n 個の実数のリストを返すことが想定される．結果が範囲を超えたり，異なる精度であったりした場合は，警告メッセージが出される．

例題：乗算合同法

例題：Blum–Blum–Shub法

Blum Blum Shub法は暗号化目的の擬似乱数ビットを生成するための二次合同法である[5]．合同式は指定された素数 と に対する法 × である．

連続分布

NoncentralChiSquareDistribution[ν,λ]，，の変数生成では，分布の加法的性質を使い，非整数 に対する累積密度関数の高価な逆関数の計算を避ける．この加法的性質は，例えば Johnson，Kotz，Blakrishnan [7]で与えられる．のとき，非心 変数は平均，分散1の正規変数の平方として生成することができる． では，非心 変数は中心および非心 確率変数の和として得られる．のとき， はX~およびY~ならば 分布に従う．この関係は のときは使えない．その場合，構文は および である となる．ここで は が0に近付くときの極限分布の非心 分布である．極限分布 はポワソン変数と 変数を合わせたものであり，0において非零の確率質量を，正の値の時は連続密度を持つ．NoncentralFRatioDistribution変数は，中心および非心の 変数1つずつから得られる．

GammaDistribution[α,β]指数変数は のときに生成される．それ以外のときは，Cheng，Feast [9]によるメソッドおよびAhrens，Dieter [10]によるメソッドが使われる．

ベータ変数はベータパラメータ および の値により複数の方法を切り替えることにより構築される．両方のパラメータが1ならば，一様確率変数が生成される．ベータパラメータのうちのひとつが1ならば，累積密度関数の閉形式の逆関数評価が使われる．それ以外のとき，RandomVariateはJöhnk [11]，Cheng [12]，Atkinson [13]による棄却採択法のいずれかを使う．2つのガンマからの構築よりも棄却採択法を使うことの利点の一例を下に挙げる．直接棄却採択法はガンマペア構築法のほぼ2倍の速さである．

StudentTDistributionでは，RandomVariateで使用されるメソッドはBailey [14]のPolar Rejection法である．この方法は以下で示す通り，正規変数および 変数からの直接構築よりも効率的である．直接構築は100万のスチューデントの 変数に対してPolar法のほぼ1.5倍の時間がかかる．

スチューデントの に対する直接構築とBaileyのPolar Rejection法を比較する：

離散分布

GeometricDistribution，BetaBinomialDistribution，BetaNegativeBinomialDistributionはすべて直接構築を使う．GeometricDistribution変数はとして生成され， はUniformDistribution[0,1]に従う．BetaBinomialDistributionおよびBetaNegativeBinomialDistributionは，確率パラメータをBetaDistributionの確率変数とするBinomialDistribution変数およびNegativeBinomialDistribution変数から構築される．

整数の乱数生成で表検索が使われるときは，重みに対する分布の確率質量関数を使い，RandomChoiceにより実装される．ほとんどの離散分布は，所望の標本サイズが与えられたときに，重みのリストの構築が効果になると見込まれると，別の方法に切り替える．例えば， が1に近付くと，LogSeriesDistribution[p]は直接構築に切り替える．ここで， および は区間 [15]上で一様分布に従う．また，パラメータと標本の大きさによっては，NegativeBinomialDistribution[n,p]はポワソンとガンマを合わせた構築法に切り替える．これは平均がガンマ分布に従うポワソン変数[6]である．

PoissonDistributionで使用される棄却採択法はAhrensとDieter [18]によるものである．棄却と採択は離散正規変数を使って実行され，μ が増加するにつれてPoissonDistribution[μ]がNormalDistribution[μ,]に傾くことを利用している．

分布生成器の定義

関数から乱数値を生成するための規則は，一般に分布の頭部のTagSetで定義される．分布自体にパラメータが含まれることもある．簡単な例として，以下で区間上の一様分布を表すNegativeOfUniform[a,b]に対する規則を定義する．

前の例では分布生成器の定義に対する基本的なフレームワークを示したが，分布自体は特に面白いものではない．実際，この2つの場合では新しい分布のシンボルに定義を加える代りに，RandomVariateから値だけを生成し，最終結果にを掛けた方が簡単である．次の例ではシンボルに定義を加えた方が便利であるような，少し複雑な分布を示す．

例題：逆関数による正規分布

• 区間における一様乱数 を生成する

• 関心のある分布に対する の累積分布関数の逆関数を計算する
このプロセスを例示するために，ここでは正規分布を使う．この方法を使ってランダムな正規変数を生成するためには，点 において正規分布に対するQuantileから開始し， を0と1の間の一様乱数で置き換えるとよい．
平均 ，標準偏差 の正規分布に対するQuantile関数：
これで新しい分布オブジェクトを使い，累積分布関数の逆関数を使う正規乱数生成器を定義することができる．
逆関数により正規分布の生成を定義する：
次は逆関数により生成された10個の正規乱数である：
標本平均および標準偏差を伴う10⁴個の正規乱数の標本である：
正規分布は，直接倒置以外の方法が好まれる場合のひとつである．累積分布関数の逆関数が擬似正規乱数生成に対して完全に有効なメソッドである反面，完全に効率的であるわけではない．InverseErfの数値評価は，NormalDistributionによって使用されるBox–Müller法で要求される正弦関数や対数関数の評価よりも計算的に効果である．
組込みの方法では同じ数の値に対してほとんど時間がかからない：

例題：円板上の一様分布

Random`DistributionVectorは多次元分布の生成器を定義するために使うこともできる．例えば，単位円板上の一様分布からの乱数点があるとすると，である実数点の集合が望まれる．そのような乱数点は次のように構築することができる．

• で一様分布するランダムな角度 を生成する

• で一様分布するランダムベクトル を生成する

• を返す
半径 の円板上で一様分布する点を生成するために，戻った順序対に を掛けることができる．
次は半径 の一様円板に対する生成器を定義する：
半径2の円板からのランダムな順序対である：
次は，この円板上の10⁴個の生成点の分布を可視化する：

例題：ギブスサンプラー

以下は ，のサンプラーからの5つのベクトルである：

[1] Geman, S. and D. Geman. "Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images." IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6, no. 6 (1984): 721–741.

[2] Casella, G. and E. I. George. "Explaining the Gibbs Sampler." The American Statistician 46, no. 3 (1992): 167–174.

[3] Matsumoto, M. and T. Nishimura. "Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudorandom Number Generator." ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 8, no. 1 (1998): 3–30.

[4] Nishimura, T. "Tables of 64-Bit Mersenne Twisters." ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 10, no. 4 (2000): 348–357.

[5] Junod, P. "Cryptographic Secure Pseudo-Random Bits Generation: The Blum–Blum–Shub Generator." August 1999. http://crypto.junod.info/bbs.pdf

[6] Gentle, J. E. Random Number Generation and Monte Carlo Methods, 2nd ed. Springer-Verlag, 2003.

[7] Johnson, N. L., S. Kotz, and N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd ed. John Wiley & Sons, 1995.

[8] Smith, W. B. and R. R. Hocking. "Algorithm AS 53: Wishart Variate Generator." Applied Statistics 21, no. 3 (1972): 341–345.

[9] Cheng, R. C. H. and G. M. Feast. "Some Simple Gamma Variate Generators." Applied Statistics 28, no. 3 (1979): 290–295.

[10] Johnson, M. E. Multivariate Statistical Simulation. John Wiley & Sons, 1987.

[11] Jöhnk, M. D. "Erzeugung von Betaverteilten und Gammaverteilten Zufallszahlen." Metrika 8 (1964): 5–15.

[12] Cheng, R. C. H. "Generating Beta Variables with Nonintegral Shape Parameters." Communications of the ACM 21, no. 4 (1978): 317–322.

[13] Atkinson, A. C. "A Family of Switching Algorithms for the Computer Generation of Beta Random Variables." Biometrika 66, no. 1 (1979): 141–145.

[14] Bailey, R. W. "Polar Generation of Random Variates with the t-Distribution." Mathematics of Computation 62, no. 206 (1994): 779–781.

[15] Devroye, L. Non-Uniform Random Variate Generation. Springer-Verlag, 1986.

[16] Kachitvichyanukul, V. and B. W. Schmeiser. "Binomial Random Variate Generation." Communications of the ACM 31, no. 2 (1988): 216–223.

[17] Kachitvichyanukul, V. and B. W. Schmeiser. "Computer Generation of Hypergeometric Random Variates." Journal of Statistical Computation and Simulation 22, no. 2 (1985): 127–145.

[18] Ahrens, J. H. and U. Dieter. "Computer Generation of Poisson Deviates from Modified Normal Distributions." ACM Transactions on Mathematical Software 8, no. 2 (1982): 163–179.

[19] Matsumoto, M. and T. Nishimura. "Dynamic Creation of Pseudorandom Number Generators", Monte Carlo and Quasi‐Monte Carlo Methods 1998, Springer, 2000, 56–69.