不定積分を計算する：

微分によって答を確かめる：

intt を使ってテンプレート を入力し， を使ってフィールド間を移動する：

不定積分の積分定数を含める：

有限区間上で定積分を計算する：

無限区間で：

二重に無限の区間で：

dintt を使ってテンプレート を入力し， を使ってフィールド間を移動する：

記号パラメータを持つ関数を積分する：

パラメータのある値についてのみ収束する積分：

別の仮定を指定する：

多変量積分：

x を最後に積分する多変量積分：

StandardFormでは，y が x の前に置かれる：

この関数を積分領域上で可視化する：

標準領域上での積分：

記号 ∈ は el または ∈ と入力する：

を使って下付き文字として領域指定 を入力する：

rintt を使ってテンプレートを入力し， を使ってフィールド間を移動する：

形式的積分：

ベクトル値および配列値関数の積分：

記号積分に失敗すると，NIntegrateが自動的に呼び出される：

いくつかの基本的な積分：

積分定数を使って答を生成する：

三角関数の積分：

微分することで前の答を確かめる：

きれいにフォーマットした積分の表を作る：

有理関数は常に閉じた形で積分できる：

これらはRootオブジェクトの和を含むことがある：

一般的な初等関数の積分：

Integrateは，該当する場合は，複素平面上で有効な不定積分を返す：

についての積分表でよく見かける不定積分は である：

これは， の実数値について有効な不定積分である：

数直線上では，2つの積分は同じ実部を持つ：

しかし，虚部は，が負となる任意の区間で 異なる：

同様の積分が異なる種類の関数に至ることもある：

Erfのような特殊関数についてのみ実行できる積分が多数ある：

PolyLogやLogIntegralのようなLogの一般化：

Hypergeometric2F1のような超幾何関数：

特殊関数の積分の，きれいにフォーマットされた表を作る：

積分変数は単一記号である必要はない：

多項式を積分する：

曲線の下の部分を可視化する：

記号多項式を積分する：

記号範囲で積分する：

有理関数：

代数関数：

三角関数：

指数関数と対数関数：

双曲線三角関数：

垂直漸近線を持つ関数を積分する：

これは，より小さい区間上の積分の結果の極限として見ることができる：

2本の垂直漸近線を持つ関数の積分を計算する：

これは，より小さい区間上の積分の結果の多変量極限として見ることができる：

無限区間上での積分は有限領域上の積分の極限と見ることができる：

上記は，から までの積分の極限 である：

実数上での積分：

これは，定積分の二変量極限である：

パラメータがある場合は，収束を確かなものとする条件が報告されるかもしれない：

初等関数の積分は，答として特殊関数を生成するかもしれない：

特殊関数の正の実数上の定積分のフォーマットされた表を作る：

複素線に沿った積分：

複素平面上の区分線形輪郭線に沿って積分する：

同じ関数を円の輪郭に沿って積分する：

積分の関数とパスをプロットする：

Piecewise関数の不定積分を計算する：

この場合は，積分導関数がもとの関数と同じになる：

不連続Piecewise関数を積分する：

不連続点を除いて，gの導関数はfに一致する：

関数とその不定積分を可視化する：

区分的に定義された関数を積分する：

ほぼ無限に多くの場合がある区分関数を積分する：

定義されているすべての場所で，maxIntの導関数はもとの関数と等しくなる：

しかし，maxIntそれ自体は不連続である：

Piecewise関数の定積分を計算する：

可変端点で積分を計算する：

関数とその積分を可視化する：

Floorのような区分関数の定積分を計算する：

PrimePi：

区分関数の合成：

上限が可変の定積分を計算する：

無限の場合がある関数：

Assumptionsを使って有限数の場合で積分する：

積分は，積分領域で上限がある連続関数である：

一般化された関数を積分する：

一般化された関数の不定積分は一般化された関数を返す：

ネストした積分：

実数の部分集合上で一般化された関数を積分する：

補間関数を積分する：

gが x==3.5における正しい不定積分かどうかを調べる：

関数とその不定積分を可視化する：

関数の不定積分の不定積分を計算する：

不定積分の不定積分の不定積分を計算する：

関数を異なる2つの変数について積分する：

混合偏微分はもとの関数を与える：

単一積分の積分定数を生成する：

ネストした積分の定数を同じ変数について生成する：

これは，最も一般的な被積分関数の不定積分の不定積分である：

2つの変数についてのネストした積分についての2つの積分関数を生成する：

これは，最も一般的な被積分関数の混合不定積分である：

からまでの長方形上で積分する：

同じように：

逆の順序で積分する：

不定積分と定積分を組み合せる：

長方形領域上で有理二重積分を計算する：

これは，影になった領域の体積を与える：

三角関数の二重積分を長方形領域上で計算する：

負の体積（薄い青）と正の体積（濃い灰色）が同じくらいである：

2本の曲線間の領域で多項式の二重積分を計算する：

積分領域と積分に対応する体積を可視化する：

角柱上で三重積分を計算する：

積分領域を可視化する：

円錐状の三次元領域に渡る代数的三重積分を計算する：

積分領域を可視化する：

五次元立方体上で多変量関数を積分する：

四次元の単位球体内上で を積分する：

CoordinateChartDataで超球面座標の座標範囲を見る：

体積係数も見る：

積分を行う：

単位円板上で定数を積分する：

タイプセット形式で積分を入力する：

同様に，Booleを使って長方形領域上で円板に限定して積分する：

単位円板上の積分：

Booleを使って表現された同じ積分：

境界が前の変数に依存する，反復積分に簡約された同じ積分：

被積分関数を積分領域上でプロットする：

通常の定積分を領域表記を使って表す：

リスト表記と比較する：

GenerateConditions  Trueのとき，領域が退化しないように仮定が生成される：

反復積分と比較する：

単位円上で積分する：

極座標を使って同じ積分を一次元積分として表す：

半径 の球上で積分する：

点の有限集合上で積分する：

範囲は不等式の論理結合で与えることができる：

ImplicitRegionとして領域を定義し，この領域上で直接積分する：

2つの積分は同じである：

積分領域を可視化する：

不等式で定義された三次元領域上で積分する：

RegionPlot3Dを使って3D領域を可視化する：

中空ではない円錐上で積分を行う：

積分領域を可視化する：

パラメータ付きの関数を積分し区分的な結果を得る：

ほぼ無限に多くの成分がある領域：

未知関数を含む積分は，可能な場合に実行される：

端点について微分し，微積分の基本定理を得る：

一般化：

記号積分はパラメータについて微分することができる：

被積分関数と端点の両方に現れるパラメータについて微分する：

IntegrateのInactive形を使う：

微分する：

不定積分の恒等式を説明する：

恒等式が非活性形式から始まっていることを確かめる：

積分記号を使って微分する際の基本的な計算のコツを説明する：

積分のLaplaceTransformを計算する：

デフォルトで，収束を確かなものとするパラメータについての条件が生成される：

Assumptionsを使うと，与えられた仮定の下で有効な結果が返される：

Assumptionsを手動で指定して，自動的に生成された条件外の値を確かめる：

この積分もまた純粋に虚な について収束する：

仮定を指定して区分不定積分を評価する：

デフォルトで，一変量の定積分は収束を確かなものとするパラメータについて条件を生成する：

条件なしで結果を生成する：

GenerateConditions->Falseを使って積分速度を上げる：

デフォルトで，特定の不定積分が返される：

GeneratedParametersの値を指定して一般的な不定積分を得る：

各不定積分について1つのパラメータが生成される：

入力式にすでに生成されたパラメータが含まれている場合は，使用可能な次の指標が使われる：

複数の変数を持つネストした積分の場合は，不定積分が任意の関数を含む：

次は，最も一般的な被積分関数の不定積分である：

GeneratedParametersの値が生成された各パラメータの指標に適用される：

この値は純関数でよい：

Noneという値は生成されたパラメータを無効にする：

通常のリーマン(Riemann)定積分は発散する：

コーシー(Cauchy)主値積分は有限である：

この値は特異点についての対称領域を取り除く極限である：

通常のリーマン定積分は発散する：

で発散を正規化する：

定数関数 の積分 は，高さ ，幅 の長方形の符号付き面積である：

2つの長方形を可視化する：

区分定数関数の積分 はそのプロットで定義される長方形の符号付き面積の和である：

長方形を可視化する：

一般的な関数の積分 は，そのプロットと水平軸の間の符号付き面積である：

これは，そのプロットで定義された長方形について考えると，区分定数の場合と関連している：

区間[0,2]上の n5についての長方形は以下のようになる：

これらの長方形の面積は，曲線の下の面積を近似するリーマン和を定義する：

DiscreteLimitを使って，Integrateと同じように， のときに厳密な答を得る：

この関数および他の3つの関数についてこの過程を可視化する：

微積分の基本定理は，関数を固定下限から可変上限までの積分に関連付ける：

から までのこの形の定積分について考える：

微積分の基本定理には とある：

これは導関数の極限定義から見ることができる：

は，についての次の表で説明されているように，高さ で幅 の長方形と で消えてしまう小さい修正からなる面積であることに注意のこと：

したがって，極限は，次の可視化で説明されるように，幾何学的に に等しいものと見ることができる：

Interpolationでデータの離散集合を積分する：

補間された曲線下の正確な面積と比較する：

2つの面積を可視化する：

曲線 の下のからまでの面積を計算する：

曲線 の下の から までの面積を求める：

と 軸で囲まれた総面積を求める：

総面積は絶対値の積分で与えられる：

同様に，これを上下の間の差の2つの積分の和として計算することもできる：

と の間のからまでの面積を計算する：

と で囲まれた部分の面積を求める：

なので， は関心区間では の上になり，面積は以下になる：

関心領域と2つの関数を可視化する：

と で囲まれた部分の面積を計算する：

面積を，区間全体の差の絶対値の積分として求める：

2つの関数と両者の間の面積を可視化する：

プロットを使って絶対値なしで積分を等しい2つの積分に分割する：

，，で囲まれた部分の面積を計算するために，まず交差する点を求める：

これらの点を含む部分の上に3本の曲線を可視化する：

プロットから， が線 の上で他の2本の曲線の下にあることは明らかである：

面積は，それぞれが「上の関数」用の2つの積分を使って求めることができる：

Minを使ってこれらを単一の積分に簡約することができる：

Areaが返す答と比較する：

で を 軸について回転させることで包み込まれる体積を計算する：

立体を可視化する：

円筒形の外殻を使って，で を 軸に沿って回転することで包み込まれる体積を求める：

でキャップを加えて立体を可視化する：

軸の周りで と の間の面を回転させることで生成される領域の体積を求める：

曲線の交点を求める：

の2つの値の間では， は の上にある：

立体を可視化する：

高さ ，円周 の円筒形の外殻を積分して体積を求める：

の上で の下の領域を の範囲で 軸の周りで回転させた体積を求める：

曲線の交点を求めて の範囲に制約条件を加える：

の値の関連する範囲はこれら2点の間である：

体積を可視化する：

面積 のワッシャーを積分して体積を求める：

の範囲で を 軸に沿って回転したときの曲面の面積を計算する：

各帯の無限小幅の式を適用する：

幅に各円の円周 を掛けて積分する：

-のとき を 軸の周りで回転させた面積を求める：

各帯の無限小の幅は以下で与えられる：

幅に円周を掛けて積分すると答が与えられる：

のとき を直線 に沿って回転させた曲面の面積を求める：

各帯の無限小の幅は以下で与えられる：

問題の曲線は なので，各帯は半径 で幅 である：

この値の数値近似を求める：

直線 および に基づいた修正円筒座標を使って曲面を可視化する：

プロット のからまでの弧長を計算する：

無限小の弧長についての式を適用する：

積分して弧長を求める：

ArcLengthが返す答と比較する：

プロット の からまでの弧長を計算する：

無限小の弧長についての式を適用する：

積分して弧長を求める：

ArcLengthが返した答と比較する：

パラメータで定義された円の長さ：

関連するパラメータ範囲はから である：

無限小の弧長は一定である：

積分して総弧長を求める：

ArcLengthが返す答と比較する：

3Dパラメータで定義された楕円の長さ：

楕円を可視化する：

無限小の弧長は一定ではない：

積分して総弧長を求める：

ArcLengthが返す答と比較する：

長方形上のプロット の曲面積を求める：

プロットの無限小の曲面積の式を適用する：

積分して弧長を求める：

Areaが返す答と比較する：

曲面 の面積を求める．ただし， である：

この曲面はトーラスである：

パラメトリック曲面の無限小の曲面積の式を適用する：

積分して総曲面積を求める：

Areaが返す答と比較する：

以下のパラメトリック領域の体積を求める．ただし，， である：

この領域は中空ではないトーラスである：

ヤコビ行列式を計算する：

積分して体積を求める：

Volumeが返す答と比較する：

以下のパラメトリック領域の体積を求める．ただし，，， である：

この領域は楕円体である：

ヤコビ行列式を計算する：

積分して体積を求める：

Volumeが返す答と比較する：

原点を中心とした半長軸がとの楕円上で の線形積分 を計算する：

楕円をパラメータ化する：

という事実を使って積分を行う：

楕円の上での直接積分と比較する：

以下のパラメータ化された曲線上で の閉じた線形積分 を計算する：

この曲線は，以下のプロットで示されているように，赤から紫に進む無限大の形を形成する：

ベクトル場 を定義する：

定義 を使って計算を行う：

頂点，，の三角形上で ∫x⁴dx+x yyを計算するために，関連するベクトル場を定義する：

区分線形パラメータ化を使って三角形をパラメータ化する：

パラメータ化は反時計回りの方向を持つ：

定義 から線形積分を計算する：

粒子が ()から ()までの以下のパスを通るときの，力 によってなされた仕事を計算する：

点からベクトルへの関数として力場を定義する：

行われた仕事は線形積分 である：

次のベクトル場のポテンシャル関数を求める：

ベクトル場は保存場なのでこれが可能である：

時点における原点から時点におけるまで進む，直線を通る曲線の族を定義する：

を，原点から点までの の線形積分とする：

Gradを使って が のポテンシャル関数であることを確認する：

グリーンの定理(Green's Theorem) を使って次の曲線で囲まれた部分の面積を求める：

次のベクトル場はの二次元Curlを持つ：

の形のグリーンの定理を適用して面積を計算する：

グリーンの定理を使って，原点を中心として半径3の円の上で を計算する：

線形積分のためにベクトル場と円を可視化する：

ベクトル場の循環はCurlを使って行うことができる：

円の内側で積分する：

領域表記を使って積分を行う：

単位球 上で積分を計算する：

球をパラメータ化する：

無限小の曲面積を求める：

積分 を行う：

領域上での積分と比較する：

単位上半球についてのについてのStokeの定理を確認する：

標準的な球座標を使って曲面をパラメータ化する：

曲面とベクトル場を可視化する：

曲面の境界は 平面上の単位円である：

ベクトル場の回転を計算する：

半球の方向付き曲面積要素を計算する：

Stokeの定理 には，境界上の の線形積分は曲面を通るその回転の流束積分に等しいとある：

発散定理を使って，上界が ．下界が で両側の境界が と である曲面を通る の流束を計算する：

発散定理 は流束を発散の体積積分に関連付ける：

ガウス定理を使って以下のパラメトリック曲面で包み込まれた部分の体積を求める：

曲面上の方向のあるエリアの要素は以下で与えられる：

次のベクトル場の発散はに等しい：

の形のガウス定理を適用して体積を計算する：

質量密度 が与えられた場合に，以下で与えられる領域の質量を求める：

塗り潰されたトーラスを生成するパラメータの範囲は および である：

質量密度関数を入力する：

ヤコビ行列式を計算する：

積分して総質量を求める：

次元の単位球上の の積分式を導出する：

式を確認する：

から までの の平均値を計算する：

関数とその平均値を可視化する：

原点に基づいて辺がとの平行四辺形上で の平均を求める：

なので，平均は次の積分比で与えられる：

領域表記を使って積分を表す：

関数とその平均値を可視化する：

からまでの曲線 の下の領域の重心を計算するために，まず 面積を求める：

重心は座標の平均値と等しい：

RegionCentroidが与える答と比較する：

曲線 と の間の，からまで領域の重心を求める：

RegionCentroidが返す答と比較する：

領域とその重心を可視化する：

曲線 の下の から までの領域の重心の一般式を，積分は曲線の下の面積を与えるという事実を使って導出する：

の重心は， から までとから までの領域上の の平均値である：

同様に， の重心は の平均値である：

で原点を中心とした半径の半球の質量の中心を求める：

まず，領域の体積を計算する：

質量の中心は位置ベクトルの平均値である：

質量の中心を可視化する：

が標準正規分布に従う場合のの確率を計算する：

Probabilityが返す値と比較する：

平均の指数分布について の確率を計算する．平均はパラメータの逆数である：

したがって，ExponentialDistribution[5/2]の確率密度関数(PDF)を使用する：

である確率：

PDFは の場合に消失するため，である確率は，からまでの積分で与えられる：

対応する確率論の文：

値が正規分布の平均の2つの標準偏差内である確率を計算する：

Probabilityが返す答と比較する：

値は約である：

これは，曲線の下の面積全体のが，以下のプロットで と の間にあると解釈できる：

が標準コーシー分布に従う場合のの期待値を計算する：

Expectationが返す答と比較する：

正規分布の平均と分散：

組込み関数MeanとVarianceと比較する：

平均の μ 指数分布の標準偏差はやはり μ であることを示す：

MeanとStandardDeviationが返す答と比較する：

確率密度関数(PDF)から累積分布関数(CDF)を計算する：

累積分布関数は， から までの確率密度関数曲線の下の面積を与える：

フーリエ変換を計算する：

FourierTransformと比較する：

ラプラス変換を求める：

LaplaceTransformと比較する：

Hartley変換を定義する：

この関数は偶関数なので，Hartley変換はFourierCosTransformに等しい：

関数の[0,1]におけるフーリエ係数を求める：

変換の部分和を定義する：

の非周期性のためにギブスの現象を示す部分和を可視化する：

メリン(Mellin)変換を計算する：

MellinTransformと比較する：

ハンケル(Hankel)変換を求める：

HankelTransformと比較する：

閉形式の二次分数フーリエ変換を計算する：

α のさまざまな値について，変換の実部と虚部を可視化する：

一変量関数の標準 ノルムを定義する：

この関数のフォーマットも定義する：

異なる3つの関数について，ノルムを の関数として計算する：

ノルムは常に最終的に の増加関数であるが，はじめは減少するかもしれない：

フーリエ変換は 同型（関数のノルムと変換したもののノルムは等しい）である：

しかし，その他の値，例えば ，については 同型ではない：

で定義された関数について，重み で の重み付き内積を定義する：

のときのルジャンドル多項式 の重み関数1での直交性：

のときのチェビシェフ多項式 の，重み関数での直交性：

のときのエルミート多項式 の重み関数 での直交性：

Integrateを使って関数の内積を定義する：

Orthogonalizeを使って正規直交基底を構築する：

内積はゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式を生成する：

における の剰余を， を包み込む輪郭線上での積分として計算する：

Residueが返す答と比較する：

HermiteHをIntegrateによって表す：

最初の5つのエルミート多項式を可視化する：

Gammaを対数積分によって表す：

関数を可視化する：

ZetaをIntegrateによって表す：

単純な積分の中にも標準的な数学関数で評価できないものがたくさんある：

連続関数の不定積分は不連続になることがある：

定積分を可変上界で使うと不連続なところが滑らかになる．プロットの左側の不連続点を求める：

この場合，前の不連続点から積分することにより，不定積分の値が の範囲で再現される：

積分の導関数はもとの関数と同じ形で返されるとは限らない：

Simplifyおよび関連構造はしばしば同値を示す：

同じ被積分関数でも形式が異なると積分定数が異なる積分を与えることがある：

のようなパラメータは不定積分の内側では汎用的であると仮定される：

定積分を可変の上界で使って条件を生成する：

和の一部が明示的に積分できなければ，和全体が積分されずに残される：

以下と比較する：

不定積分の結果に上界下界を代入することでは定積分の正しい答が得られないかもしれない：

不定積分の式にある不連続が異形を生む：

整数による仮定を指定してもより簡単な結果が与えられるとは限らない：

Simplifyおよび関連関数を使って望んだ結果を得る：

実数範囲を仮定として指定することができる：

n=π については数値積分がこれと一致する：

この積分は，ゼロ測度の部分集合，つまり正の整数に収束する：

整数性等の離散サブケースの指定でも，一般的な結果が得られる：

定積分は，無限大の区間でのみ閉形を持つことがある：

領域上の積分は，被積分関数が絶対に積分可能かどうかを調べはしない：

答は，領域が積分のためにどのように分解されたかに依存する：

零次元領域上の積分は計数測度を使う：

全空間の測度を使う場合は，条件 を加えて空間全体の上で積分する：

GenerateConditionsをFalseに設定すると予想しない答が返されるかもしれない：

この場合は，積分が発散するという条件が失われている：