数学函数
命名规则 | 多值函数 |
一般和非一般情况 | 数学常数 |
数值函数 | 正交多项式 |
分段函数 | 特殊函数 |
伪随机数 | 椭圆积分和椭圆函数 |
整数和数论中的函数 | Mathieu 函数和相关的函数 |
组合函数 | 带有特殊函数的运算 |
初等超越函数 |
Wolfram 语言中的数学函数根据定义规则来命名. 对大多数 Wolfram 语言函数,名称通常是完整的完全拼写的英语单词. 对于一些很常见的函数,Wolfram 语言使用传统缩写. 例如,模函数的名称是 Mod,而不是 Modulo.
通常涉及人的名字的数学函数在 Wolfram 语言中有形如 PersonSymbol 的名称. 例如,勒让德多项式
被表示为LegendreP[n,x]. 尽管这个惯例使函数的名称较长,但它避免了任何模棱两可或混乱不清.
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IntegerPart[x] | x 的整数部分 |
FractionalPart[x] | x 的分数部分 |
Round[x] | 最接近 x 的整数 〈x〉 |
Floor[x] | 小于等于 x 的最大整数 ⌊x⌋ |
Ceiling[x] | 大于等于 x 的最小整数 ⌈x⌉ |
Rationalize[x] | 近似于 x 的有理数 |
Rationalize[x,dx] | 容差 dx 内的有理数近似 |
x | IntegerPart[x] | FractionalPart[x] | Round[x] | Floor[x] | Ceiling[x] |
2.4 | 2 | 0.4 | 2 | 2 | 3 |
2.5 | 2 | 0.5 | 2 | 2 | 3 |
2.6 | 2 | 0.6 | 3 | 2 | 3 |
-2.4 | -2 | -0.4 | -2 | -3 | -2 |
-2.5 | -2 | -0.5 | -2 | -3 | -2 |
-2.6 | -2 | -0.6 | -3 | -3 | -2 |
IntegerPart[x] 和 FractionalPart[x] 可以看作是提取小数点左边和右边的数字. Round[x] 常被用来强迫接近整数的一个数成为真正的整数. Floor[x] 和 Ceiling[x] 常出现在计算一个具有非整数间隔的数列中有多少元素的事项中.
RealSign[x] | 对于 x>0 为 1;对于 x<0 为 -1 |
UnitStep[x] | 对于 x≥0 为 1;对于 x<0 为 0 |
RealAbs[x] | x 的绝对值 x |
Clip[x] | 介于 ‐1 和 +1 之间的 x |
Rescale[x,{xmin,xmax}] | 重新调整为从 0 到 1 的 x |
Max[x1,x2,…] or Max[{x1,x2,…},…] | |
x1, x2, … 的最大值 | |
Min[x1,x2,…] or Min[{x1,x2,…},…] | |
x1, x2, … 的最小值 |
x+I y | 复数 x+iy |
Re[z] | 实部 Re z |
Im[z] | 虚部 Im z |
Conjugate[z] | 多共轭 z* 或 ![]() |
Abs[z] | 绝对值 z |
Arg[z] | 幅角 ϕ 使得 z=zei ϕ |
Sign[z] | z≠0 时,复数 sign z/z |
经常地,在不同区域中具有不同形式的函数是很方便的. 这可以使用 Piecewise 来实现.
分段函数出现在在不同区域离散切换的系统中. 它们也是许多计算方法的核心,包括样条(splines)和有限元(finite elements). 特殊情况包括这样的函数如 Abs、UnitStep、Clip、Sign、Floor 和 Max. Wolfram 语言处理符号和数值两种情况下的分段函数.
RandomInteger[] | 概率为 ![]() |
RandomInteger[{imin,imax}] | 包含在 imin 和 imax 内的伪随机整数 |
RandomInteger[imax] | 包含在 0 和 imax 内的伪随机整数 |
RandomReal[ ] | 0 和 1 之间的伪随机实数 |
RandomReal[{xmin, xmax}] | xmin 和 xmax 之间的伪随机实数 |
RandomReal[xmax] | 0 和 xmax 之间的伪随机实数 |
RandomComplex[] | 单位方域中的伪随机复数 |
RandomComplex[{zmin,zmax}] | 由 zmin 和 zmax 定义的长方形中的伪随机复数 |
RandomComplex[zmax] | 由 0 和 zmax 定义的长方形中的伪随机复数 |
RandomReal[range,n]
,
RandomComplex[range,n]
,
RandomInteger[range,n] | |
从给定区域得到的 n 个伪随机数的列表 | |
RandomReal[range,{n1,n2,…}]
,
RandomComplex[range,{n1,n2,…}]
,
RandomInteger[range,{n1,n2,…}] | |
由伪随机数组成的 n1×n2×… 数组 |
选项名
|
默认值
| |
WorkingPrecision | MachinePrecision | 用于实数或者复数的精度 |
使用伪随机数的一个常见方法是进行数值假设检验. 例如,如果用户相信两个符号表达式在数学上是相等的. 可以通过给符号参数插上“典型”数值的值. 然后比较数值结果来进行检验. (如果要这样做的话,在数值准确度问题上,在可能没有唯一值的复变量的函数上,都应当仔细注意).
用随机数字代入表明方程不总是为真 True:
RandomInteger、RandomReal 和 RandomComplex 与其他的 Wolfram 语言函数不同,每次调用它时,都将得到不同的结果. 因此,如果在计算中使用它们,在不同的时机会得到不同的答案.
由 RandomInteger、RandomReal 和 RandomComplex 得到的序列在多数意义下并不是“真正随机的”,尽管实际上它们应当是“足够随机的”. 事实上,这个序列是通过使用从一个特定起点开始的确定数学算法生成的. 如果给出相同的起点,将得到相同的序列.
如果用户想要确定总是得到相同的伪随机数序列,可以使用 SeedRandom 明显地给伪随机数生成一个起点.
SeedRandom[] | 使用时钟时刻重设伪随机生成器的起点 |
SeedRandom[s] | 使用整数 s 重设伪随机生成器的起点 |
每调用一次 RandomInteger、RandomReal 或者 RandomComplex,伪随机数生成器的内部状态就被改变,这意味着在辅助运算中调用这些函数,将会影响主运算中返回的数. 要避免这个问题,可以在运算 BlockRandom 中局部化这些函数的使用效果.
BlockRandom[expr] | 使用局部化的伪随机生成器的当前状态计算 expr |
通过在 BlockRandom 中进行局部化计算,在生成第一个列表之后,伪随机数生成器的状态被恢复:
RandomInteger[dist]
,
RandomReal[dist] | |
服从随机分布 dist 的伪随机数 | |
RandomInteger[dist,n]
,
RandomReal[dist,n] | |
服从随机分布 dist 的 n 个伪随机数的列表 | |
RandomInteger[dist,{n1,n2,…}]
,
RandomReal[dist,{n1,n2,…}] | |
由服从随机分布 dist 的伪随机数组成的 n1×n2×… 数组 |
RandomChoice[list, n] | 从 list 随机选择 n 个项 |
RandomChoice[list,{n1,n2,…}] | 从 list 随机选择得到的值组成的 n1×n2×… 数组 |
RandomSample[list, n] | 从 list 得到的大小为 n 的样本 |
Mod[k,n] | k 模 n ( k 除以 n 的余数) |
Quotient[m,n] | m 和 n 的商 ( m/n 的整数部分) |
QuotientRemainder[m,n] | 商和余数的列表 |
Divisible[m,n] | 检测 m 是否被 n 整除 |
CoprimeQ[n1,n2,…] | 检测 ni 是否成对互质 |
GCD[n1,n2,…] | n1, n2, … 的最大公约数 |
LCM[n1,n2,…] | n1, n2, … 的最小公倍数 |
KroneckerDelta[n1,n2,…] | 如果所有的 ni 都相等,那么 Kronecker delta ![]() |
IntegerDigits[n,b] | b 进制下 n 的位数 |
IntegerExponent[n,b] | 整除 n 的 b 次幂的最大值 |
Mod 也可用于实数:
由 Mod 得到的结果,其符号与第二个自变量的符号相同:
Mod[k,n] | 结果在 0 到 n-1 之间 |
Mod[k,n,1] | 结果在 1 到 n 之间 |
Mod[k,n,-n/2] | 结果在 ⌈-n/2⌉ 到 ⌊+n/2⌋ 之间 |
Mod[k,n,d] | 结果在 d 到 d+n-1 之间 |
特别当使用 Mod 来获得部分对象的索引时,指定一个偏心距常常是方便的.
FactorInteger[n] | n 的素因子和相应指数的列表 |
Divisors[n] | 整除 n 的整数列表 |
Prime[k] | 第 k 个素数 |
PrimePi[x] | 第 k 个素数 |
PrimeQ[n] | |
PrimeNu[n] | n 中不同素数 ![]() |
PrimeOmega[n] | 计算关于 n 的重数(multiplicities) ![]() |
LiouvilleLambda[n] | Liouville 函数 ![]() |
MangoldtLambda[n] | von Mandgoldt 函数 ![]() |
FactorInteger[n,GaussianIntegers->True] | |
高斯整数 n 的高斯素数因子和相应指数的列表 | |
PrimeQ[n,GaussianIntegers->True] |
应该认识到,按照现代数学的观点,整数因子分解是本质上困难的计算问题. 因此,用户能容易地输入一个整数,而 Wolfram 语言对其分解因子可能要花费天文数字长度的时间. 只要用户给出的整数位数小于 50,FactorInteger 将不会有任何困难. 然而,在一些特殊情况下,它能处理长得多的整数.
默认情况下,FactorInteger 只允许实整数. 但通过设置选项 GaussianIntegers->True,它也能处理高斯整数,即实部和虚部均为整数的复数. 正如它能唯一地分解出实素数一样,它也能唯一地分解出高斯素数. 然而,在高斯素数的选择中有一些潜在的二义性. 在 Wolfram 语言中,除了初始的
和
以外,因子总是被选为正实部和非负虚部.
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PowerMod[a,b,n] | ab 模 n |
DirichletCharacter[k,j,n] | 狄雷克莱特征 ![]() |
EulerPhi[n] | 欧拉 totient 函数 ![]() |
MoebiusMu[n] | 莫比乌斯函数 ![]() |
DivisorSigma[k,n] | 除数函数 ![]() |
DivisorSum[n,form] | 对于所有整除 n 的 i,form[i] 的和 |
DivisorSum[n,form,cond] | 仅包含对 cond[i] 给出 True 的约数的和 |
JacobiSymbol[n,m] | 雅可比符号 ![]() |
ExtendedGCD[n1,n2,…] | n1, n2, … 的扩展最大公约数 |
MultiplicativeOrder[k,n] | k 模 n 的多重阶 |
MultiplicativeOrder[k,n,{r1,r2,…}] | 带有余数 ri 的广义多重阶 |
CarmichaelLambda[n] | 卡米切尔函数 ![]() |
PrimitiveRoot[n] | n 的一个原根 |
用户可以使用 PowerMod 不仅能求出正模幂,也能求出模逆. 对于负数 b,PowerMod[a,b,n] 给出,如果可能的话,一个整数
使得
. (当这样的整数存在时,它是唯一的模 n). 如果不存在这样的整数
,Wolfram 语言就使得 PowerMod 不再计算.
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DirichletCharacter 适用于很大的数:
莫比乌斯函数
被定义为:当
为
个不同素数的积时,等于
,当
包含素数的平方(不为1)时,等于
. 一个重要的关系是莫比乌斯逆公式,即如果
对所有
成立,那么
,其中和式是对所有整除
的正整数
求积.
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函数 DivisorSum[n,form] 表示 form[i] 的和,对于所有的除以 n 的 i. DivisorSum[n,form,cond] 仅包含对于 cond[i] 给出 True 的约数.
雅可比符号 JacobiSymbol[n,m] 当
为奇数时,归结为勒让德符号
. 勒让德符号是:当
被
整除时,其值为零;否则,当
是二次余数(模素数
)其值为
,若不然其值为
. 一个与
互素的整数
称为二次余数(模
) 是指存在一个整数
使得
. 完全雅可比符号是所有满足
的素因子
的勒让德符号
的连乘.
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广义多重阶函数 MultiplicativeOrder[k,n,{r1,r2,…}] 给出使
对某个
成立的最小整数
. MultiplicativeOrder[k,n,{-1,1}] 有时称作
模
的次阶函数,记为
. MultiplicativeOrder[k,n,{a}] 有时被称为关于基
模
的
的离散对数.
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ContinuedFraction[x,n] | 生成 x 的连续分式表示的前 n 项 |
FromContinuedFraction[list] | 从其连续分式表示重构一个数 |
Rationalize[x,dx] | 寻找 x 的有理近似,容差为 dx |
ContinuedFraction[x] | 有理数或者二次无理数的完全连续分式表示 |
QuadraticIrrationalQ[x] | 检测 x 是否为二次无理数 |
RealDigits[x] | 有理数的完全数字序列 |
RealDigits[x,b] | b 进制下的完全数字序列 |
FromDigits 重构原来的数:
Convergents[x] | 给出 x 的有理近似的列表 |
Convergents[x,n] | 仅给出前 n 个近似 |
LatticeReduce[{v1v2,…}] | 整数向量 vi 的集合的规约格基 |
HermiteDecomposition[{v1,v2,…}] | 整数向量 vi 的集合的梯阵式 |
格简化函数 LatticeReduce[{v1,v2,…}] 被使用在多种现代算术中. 基本思想是把整数向量
看作定义一个数学上的格. 表示格中一个点的任意向量可以被写为形如
的线性组合,其中
是整数. 对于一个特定的格,存在对“基向量”
的许多可能的选择. LatticeReduce 所做的是找出对于该格的具有某种特殊性质的化简的基向量
的集合.
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注意,在上一个例子中,LatticeReduce 把几乎平行的向量用更正交的向量取代. 在这个过程中,求出相当短的基向量.
对于矩阵
,HermiteDecomposition 给出矩阵
和
使得
是幺模,
,并且
为简化行阶梯矩阵. 相对于RowReduce,枢轴(pivots)可能大于1,因为在整数环上没有分数. 枢轴(pivot)上的项通过减去枢轴同行的所有元素(pivot row)的适当的倍数来最小化.
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DigitCount[n,b,d] | n 在 b 进制表示下的数字 d 的数目 |
BitAnd[n1,n2,…] | 整数 ni 的位与 |
BitOr[n1,n2,…] | 整数 ni 的位或 |
BitXor[n1,n2,…] | 整数 ni 的位异或 |
BitNot[n] | 整数 n 的位非 |
BitLength[n] | 整数 n 中的二进制位数 |
BitSet[n,k] | 在整数 n 中,设置位 k 为1 |
BitGet[n,k] | 从整数 n 中获取位 k |
BitClear[n,k] | 在整数 n 中,设置位 k 为0 |
BitShiftLeft[n,k] | 向左移动整数 n,移动量为 k 位,并使用零填充 |
BitShiftRight[n,k] | 向右移动,并且去掉最后 k 位 |
位运算作用于表示为二进制的整数. BitAnd[n1,n2,…] 产生一个整数其二进制表示的某一位为1当且仅当所有的 ni 在该位为1. BitOr[n1,n2,…] 产生一个整数其二进制表示的某一位为1,只要某个 ni 在该位为1. BitXor[n1,n2] 产生一个整数,其二进制表示的某一位为1,当且仅当 n1 或者 n2 中仅有一个在该位为1. BitXor[n1,n2,…] 的二进制表示的某一位为1,当且仅当 ni 中有奇数个在该位为1.
位运算使用在各种组合算术中. 它们也常常用于低级计算机语言中操纵位域. 然而,在这些语言中,整数有受限制的位数,典型的是8的倍数. 在 Mathematica 中的位运算实际上允许整数有不受限制的序列. 这使得 BitNot[n] 简单地等于
.
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SquareFreeQ[n] |
SquareFreeQ[n] 检查 n 是否具有平方素数因子. 这通过计算 MoebiusMu[n] 并且查看结果是否为0来实现;如果是,那么 n 包括平方素数因子,否则就不包括. 计算MoebiusMu[n] 涉及寻找 n 的最小素数因子 q. 如果 n 是一个小的素数因子(小于或者等于
),这是很快的. 否则,用 FactorInteger 来寻找 q.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/142.png)
SquareFreeQ 可以处理大整数:
NextPrime[n] | 给出大于 n 的最小素数 |
RandomPrime[{min,max}] | 返回 min 和 max 之间的随机素数 |
RandomPrime[max] | 返回小于或者等于 max 的随机素数 |
RandomPrime[{min,max},n] | 返回 min 和 max 之间的 n 个随机素数 |
RandomPrime[max,n] | 返回小于或等于 max 的 n 个随机素数 |
对于 RandomPrime[{min,max}] 和 RandomPrime[max],如果 max 是小的,则通过从素数查找表中随机选择,获取一个随机素数 p;如果 max 是大的,则通过在整数中随机搜索整数获取该随机素数. 如果在指定范围内不存在素数,则返回未计算的输入,并显示一个错误信息.
PrimePowerQ[n] | 决定 n 是否为一个有理素数的正整数幂 |
PrimePowerQ 的算法首先计算 n 的最小素因子 p ,并且尝试除以 p 直到或者当 n 是一个素数幂的时候,得到1,或者当 n 不是一个素数幂的时候尝试除以 p 直到不可以再进行除法运算的时候.
在 GaussianIntegers 上,这是一个素数幂:
ChineseRemainder[list1,list2] | 给出最小的非负整数 r,并满足 Mod[r,list2]==list1 |
中国剩余定理规定,一定类型的联立全等问题总是有一个解. ChineseRemainder[list1,list2] 寻找最小非负整数 r 使得 Mod[r,list2] 是 list1. 该解是唯一的 list2 的元素的最小公倍数的模.
PrimitiveRoot[n] | 给出 n 的原根,其中 n 是素数幂或者素数幂的两倍 |
PrimitiveRoot[n]返回一个生成器,该生成器生成与 n 在模
相乘互素的数形成的集合. 这里具有一个生成器,当且仅当 n 是 2、4、一个奇素数的幂、或者一个奇素数的幂的两倍. 如果 n 是一个素数或者素数幂,将返回最小正原根.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/146.png)
SquaresR[d,n] | 给出把整数 n 表示为 d 个平方数的和的表示法数目 |
PowersRepresentations[n,k,p] | 给出把整数 n 表示为 k 个非负第 p 次整数幂的和的不同表示方法 |
n! | 阶乘 ![]() |
n!! | 双阶乘 ![]() |
Binomial[n,m] | 二项式系数 ![]() |
Multinomial[n1,n2,…] | 多项式系数 ![]() |
CatalanNumber[n] | Catalan 数 ![]() |
Hyperfactorial[n] | 超阶乘 ![]() |
BarnesG[n] | Barnes G-函数 ![]() |
Subfactorial[n] | ![]() |
Fibonacci[n] | 斐波那契数 ![]() |
Fibonacci[n,x] | 斐波那契多项式 ![]() |
LucasL[n] | 卢卡斯数 ![]() |
LucasL[n,x] | 卢卡斯多项式 ![]() |
HarmonicNumber[n] | 调和数 ![]() |
HarmonicNumber[n,r] | ![]() ![]() |
BernoulliB[n] | 贝努利数 ![]() |
BernoulliB[n,x] | 贝努利多项式 ![]() |
NorlundB[n,a] | Nörlund 多项式 ![]() |
NorlundB[n,a,x] | 一般贝努利多项式 ![]() |
EulerE[n] | 欧拉数 ![]() |
EulerE[n,x] | 欧拉多项式 ![]() |
StirlingS1[n,m] | 第一类斯特林数 ![]() |
StirlingS2[n,m] | 第二类斯特林数 ![]() |
BellB[n] | 贝尔数 ![]() |
BellB[n,x] | 贝尔多项式 ![]() |
PartitionsP[n] | 整数 ![]() ![]() |
IntegerPartitions[n] | 整数的划分 |
PartitionsQ[n] | 将 ![]() ![]() |
Signature[{i1,i2,…}] | 排列的标记 |
斐波那契数 Fibonacci[n] 满足递归关系
及
. 它们出现在离散数学问题的广泛领域中. 对于足够大的
,
接近黄金分割. 卢卡斯数 LucasL[n] 满足与斐波那契数同样的递归关系,但是初始条件为
和
.
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贝努利多项式 BernoulliB[n,x] 满足母函数关系
. 贝努利数 BernoulliB[n] 由
给定.
作为近似积分的欧拉——麦克劳林求和公式中项的系数出现. 贝努利数通过
与 盖诺奇数 联系起来.
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Nörlund 多项式 NorlundB[n,a] 满足母函数关系
. 当
时,Nörlund 多项式给出贝努利数. 对于
的其他正整数值,Nörlund 多项式给出高阶贝努利数. 一般贝努利多项式 NorlundB[n,a,x] 满足母函数关系
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/210.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/211.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/212.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/213.png)
BernoulliB[n] 给出贝努利数的精确有理数结果:
斯特林数出现在许多组合枚举问题中. 对于第一类斯特林数 StirlingS1[n,m],
给出包含
个圈的
个元素的排列数目. 斯特林数满足母函数关系
. 注意某些
的定义与 Wolfram 语言中的不同,差别在于因子
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/215.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/216.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/217.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/218.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/219.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/220.png)
这是由 PartitionsP[4] 给出的划分数目:
标记函数 Signature[{i1,i2,…}] 给出排列的标记. 对偶排列(由偶次移项构成的)它等于
,对奇排列它等于
. 标记函数可以看作是完全反对称的张量,Levi‐Civita 符号 或 epsilon 符号.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/232.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/233.png)
ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}] | Clebsch‐Gordan 系数 |
ThreeJSymbol[{j1,m1},{j2,m2},{j3,m3}] | Wigner 3‐j 符号 |
SixJSymbol[{j1,j2,j3},{j4,j5,j6}] | Racah 6‐j 符号 |
Clebsch-Gordan系数和
‐j 符号出现在量子力学中的角动量中,以及循环群应用的研究中. Clebsch-Gordan系数ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}] 给出量子力学的角动量状态
按照状态
的乘积展开的系数.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/234.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/235.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/236.png)
3‐j 符号 或者 Wigner 系数 ThreeJSymbol[{j1,m1},{j2,m2},{j3,m3}] 是 Clebsch–Gordan 系数的更对称的形式. 在 Wolfram 语言中,Clebsch-Gordan系数根据 3‐j 符号
来给出.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/237.png)
Exp[z] | 指数函数 ![]() |
Log[z] | 对数函数 ![]() |
Log[b,z] | 对数函数 ![]() ![]() |
Log2[z]
,
Log10[z] | 底数为 2 和 10 的对数函数 |
Sin[z]
,
Cos[z]
,
Tan[z]
,
Csc[z]
,
Sec[z]
,
Cot[z] | |
三角函数(自变量单位是弧度) | |
ArcSin[z]
,
ArcCos[z]
,
ArcTan[z]
,
ArcCsc[z]
,
ArcSec[z]
,
ArcCot[z] | |
反三角函数(值为弧度) | |
ArcTan[x,y] | 自变量为 ![]() |
Sinh[z]
,
Cosh[z]
,
Tanh[z]
,
Csch[z]
,
Sech[z]
,
Coth[z] | |
双曲函数 | |
ArcSinh[z]
,
ArcCosh[z]
,
ArcTanh[z]
,
ArcCsch[z]
,
ArcSech[z]
,
ArcCoth[z] | |
反双曲函数 | |
Sinc[z] | sinc 函数 ![]() |
Haversine[z] | 半正矢函数 ![]() |
InverseHaversine[z] | 反半正矢函数 ![]() |
Gudermannian[z] | 古德曼函数 ![]() |
InverseGudermannian[z] | 反古德曼函数 ![]() |
通过乘以常数 Degree 可以转化为度:
半正矢函数 Haversine[z] 被定义为
. 反半正矢函数 InverseHaversine[z] 被定义为
. 古德曼函数 Gudermannian[z] 被定义为
. 反古德曼函数 InverseGudermannian[z] 被定义为
. 古德曼函数满足关系如
. sinc 函数 Sinc[z] 是一个方波信号的傅立叶变换.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/249.png)
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求数
的平方根
,实际上就是求方程
的解. 然而,此方程一般有两个不同的解. 例如,
和
都是方程
的解. 但是当用户计算“函数”
时,通常想得到一个数. 因此必须选择其中一个. 一个标准选择是对
,
应当是正数. 这正是 Wolfram 语言函数 Sqrt[x] 所做的事情.
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有许多数学函数,如求根,本质上给出方程的解. 对数函数和反三角函数是这样的例子. 在几乎所有的情况下,方程有许多可能的解. 但是唯一的“主要”值必须被选择. 这个选择不可能在整个复平面上都是连续的,不连续线或分支线必定出现. 这些分支线的位置常常是相当任意的. Wolfram 语言对它们进行最标准的数学选择.
Sqrt[z] 和 z^s | |
Exp[z] | 无 |
Log[z] | ![]() |
三角函数 | 无 |
ArcSin[z] 和 ArcCos[z] | ![]() ![]() |
ArcTan[z] | ![]() ![]() |
ArcCsc[z] 和 ArcSec[z] | ![]() |
ArcCot[z] | ![]() |
双曲函数 | 无 |
ArcSinh[z] | ![]() ![]() |
ArcCosh[z] | ![]() |
ArcTanh[z] | ![]() ![]() |
ArcCsch[z] | ![]() |
ArcSech[z] | ![]() ![]() |
ArcCoth[z] | ![]() |
ArcSin[z] 在分支线两边的值可能是非常不同的:
I | ![]() |
Infinity | ![]() |
Pi | ![]() |
Degree | ![]() |
GoldenRatio | ![]() |
E | ![]() |
EulerGamma | 欧拉常数 ![]() |
Catalan | Catalan 常数 ![]() |
Khinchin | Khinchin 常数 ![]() |
Glaisher | Glaisher 常数 ![]() |
LegendreP[n,x] | 勒让德多项式 ![]() |
LegendreP[n,m,x] | 相关勒让德多项式 ![]() |
SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ] | 球面调和函数 ![]() |
GegenbauerC[n,m,x] | 盖根堡多项式 ![]() |
ChebyshevT[n,x]
,
ChebyshevU[n,x] | 第一类和第二类切比雪夫多项式 ![]() ![]() |
HermiteH[n,x] | 埃尔米特多项式 ![]() |
LaguerreL[n,x] | 拉盖尔多项式 ![]() |
LaguerreL[n,a,x] | 广义拉盖尔多项式 ![]() |
ZernikeR[n,m,x] | 泽尼克径向多项式 ![]() |
JacobiP[n,a,b,x] | 雅可比多项式 ![]() |
切比雪夫多项式级数常常用于函数的数值逼近. 第一类切比雪夫多项式 ChebyshevT[n,x] 由
定义. 它们被规范为
. 它们满足正交关系:当
时,
.
是满足相应于
的根的
的离散点处的和式关系.
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![](Files/MathematicalFunctions.zh/361.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/362.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/363.png)
雅可比多项式 JacobiP[n,a,b,x] 出现在循环群的研究、特别是在量子力学中. 它们满足正交关系:当
时,
. 勒让德、盖根堡、切比雪夫和泽尼克多项式都能看作雅可比多项式的特殊情况. 雅可比多项式有时用另一种形式
给出.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/383.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/384.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/385.png)
可以使用 FindRoot 求特殊函数的根:
在 Wolfram 系统中,特殊函数通常能对自变量的任意复值进行计算. 然而,在本教程中给出的定义关系常常仅适用于自变量的某些特殊选择. 在这些情况下,整个函数相应于这些定义关系的“解析延拓”. 例如,用积分式表达的函数仅当积分存在时才有效,但函数本身通常能通过解析延拓来定义.
伽马函数及相关函数
Beta[a,b] | 欧拉贝塔函数 ![]() |
Beta[z,a,b] | 不完全贝塔函数 ![]() |
BetaRegularized[z,a,b] | 正则化的不完全贝塔函数 ![]() |
Gamma[z] | 欧拉伽马函数 ![]() |
Gamma[a,z] | 不完全伽马函数 ![]() |
Gamma[a,z0,z1] | 广义不完全伽马函数 ![]() |
GammaRegularized[a,z] | 正则化的不完全伽马函数 ![]() |
InverseBetaRegularized[s,a,b] | 反贝塔函数 |
InverseGammaRegularized[a,s] | 反伽马函数 |
Pochhammer[a,n] | Pochhammer 符号 ![]() |
PolyGamma[z] | 双伽玛函数 ![]() |
PolyGamma[n,z] | 双伽玛函数 ![]() ![]() |
LogGamma[z] | 欧拉 log-gamma 函数 ![]() |
LogBarnesG[z] | Barnes G 函数的对数 ![]() |
BarnesG[z] | Barnes G 函数 ![]() |
Hyperfactorial[n] | 超阶乘函数 ![]() |
在一些运算中,特别是数论中,伽马函数的对数经常出现. 对于正实数自变量,其对数值可以通过 Log[Gamma[z]]. 轻松得到. 然而对于复自变量,该式产生伪不连续性. Wolfram 系统因此另外给出函数 LogGamma[z],它产生具有沿负实轴切割的单个分支线的伽马函数的对数.
Pochhammer 符号或上升阶乘 Pochhammer[a,n] 是
. 它常常出现在超几何函数的级数展开式中. 注意即使当其定义中出现的伽马函数为无穷大时,Pochhammer 符号也有确定的值.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/413.png)
在某些情况下,计算不完全贝塔和伽马函数本身是不方便的,而代之以计算正则化形式,在这个形式中,用完全贝塔和伽马函数除这些函数. Wolfram 系统包含正则化的不完全贝塔函数 BetaRegularized[z,a,b],其定义为
,且考虑奇点情况. Wolfram 系统还包含正则化的不完全伽马函数 GammaRegularized[a,z],其定义为
,且奇点情况被考虑.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/420.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/421.png)
不完全贝塔和伽马函数及其反函数在统计学中是常见的. 反贝塔函数 InverseBetaRegularized[s,a,b] 是方程
对
的解. 类似地,反伽马函数 InverseGammaRegularized[a,s] 是方程
对
的解.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/422.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/423.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/424.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/425.png)
伽马函数的导数常出现在有理级数的求和当中. 双伽玛函数 PolyGamma[z] 是伽马函数的对数的导数,由
给出. 对整数自变量,双伽玛函数满足关系
,其中
是欧拉常数 (在 Wolfram 系统中为 EulerGamma),
是调和数.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/426.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/427.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/428.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/429.png)
多伽马函数 PolyGamma[n,z] 由
给出. 注意双伽玛函数对应于
. 一般形式
是
阶伽马函数的对数的导数,而非
阶. 多伽马函数满足关系
. PolyGamma[ν,z] 由任意复数
通过分数阶微积分解析延拓得到.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/430.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/431.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/432.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/433.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/434.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/435.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/436.png)
BarnesG[z] 是 Gamma 函数的推广,由泛函恒等式 BarnesG[z+1]=Gamma[z] BarnesG[z] 定义, 其中对于正数 z,BarnesG 的对数的三阶导数是正数. BarnesG 是复平面上的一个整函数.
Zeta 函数及相关函数
DirichletL[k,j,s] | Dirichlet L-函数 ![]() |
LerchPhi[z,s,a] | Lerch 超越函数 ![]() |
PolyLog[n,z] | 多对数函数 ![]() |
PolyLog[n,p,z] | 尼尔森广义多对数函数 ![]() |
RamanujanTau[n] | Ramanujan ![]() ![]() |
RamanujanTauL[n] | Ramanujan ![]() ![]() |
RamanujanTauTheta[n] | Ramanujan ![]() ![]() |
RamanujanTauZ[n] | Ramanujan ![]() ![]() |
RiemannSiegelTheta[t] | 黎曼–西格尔函数 ![]() |
RiemannSiegelZ[t] | 黎曼–西格尔函数 ![]() |
StieltjesGamma[n] | 斯蒂尔吉斯常数 ![]() |
Zeta[s] | 黎曼 ζ 函数 ![]() |
Zeta[s,a] | 广义黎曼 ζ 函数 ![]() |
HurwitzZeta[s,a] | Hurwitz ζ 函数 ![]() |
HurwitzLerchPhi[z,s,a] | Hurwitz–Lerch 超越函数 ![]() |
在研究
时,按照
和
(
为实数)定义两个黎曼–西格尔函数 RiemannSiegelZ[t] 和 RiemannSiegelTheta[t] 往往带来方便. 注意黎曼–西格尔函数当
为实数时,都取实值.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/467.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/468.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/469.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/470.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/471.png)
Ramanujan
Dirichlet L-函数 RamanujanTauL[s] 由 L(s)![](Files/MathematicalFunctions.zh/481OverscriptBox.png)
(
) 定义,其系数为 RamanujanTau[n]. 与黎曼 ζ 函数类似,定义两个函数 RamanujanTauZ[t] 和 RamanujanTauTheta[t] 也会带来方便.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/480.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/481OverscriptBox.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/482OverscriptBox.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/483.png)
多对数函数 PolyLog[n,z] 由
给出. 多对数函数有时称为 Jonquière 函数. 双对数函数PolyLog[2,z] 满足
.
有时称为 Spence 积分. 尼尔森广义多对数函数或称超对数 PolyLog[n,p,z] 由
给出. 多对数函数出现在基本粒子物理学或代数 K‐理论的 Feynman 图积分中.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/489.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/490.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/491.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/492.png)
Lerch 超越函数 LerchPhi[z,s,a] 是 ζ 和多对数函数的推广,由
定义,其中
的项被排除. 许多倒数幂的和式能用 Lerch 超越函数来表示. 例如 Catalan 贝塔函数
可由
来得到.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/493.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/494.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/495.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/496.png)
Lerch 超越函数也能用来计算数论中的 Dirichlet L‐级数. 基本的 L‐级数的形式为
,其中"字符"
是周期为
的整数函数. 这种 L‐级数可以写成 Lerch 函数的和,其中
是
的幂.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/498.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/499.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/500.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/501.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/502.png)
指数积分及相关函数
CosIntegral[z] | 余弦积分函数 ![]() |
CoshIntegral[z] | 双曲余弦积分函数 ![]() |
ExpIntegralE[n,z] | 指数积分 En(z) |
ExpIntegralEi[z] | 指数积分 ![]() |
LogIntegral[z] | 对数积分 ![]() |
SinIntegral[z] | 正弦积分函数 ![]() |
SinhIntegral[z] | 双曲正弦积分函数 ![]() |
对数积分函数 LogIntegral[z] 由
(
)定义,并取积分的主值.
是数论中系数分布研究的核心. 对数积分函数有时也表示为
. 在数论的某些应用中,
被定义为
,且不取主值. 这一定义与 Wolfram 系统中使用的定义相差常数
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/519.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/520.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/521.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/522.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/523.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/524.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/525.png)
正弦和余弦积分函数 SinIntegral[z] 和 CosIntegral[z] 由
和
定义. 双曲正弦和余弦积分函数 SinhIntegral[z] 和 CoshIntegral[z] 由
和
定义.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/526.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/527.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/528.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/529.png)
误差函数及相关函数
Erf[z] | 误差函数 ![]() |
Erf[z0,z1] | 广义误差函数 ![]() |
Erfc[z] | 余误差函数 ![]() |
Erfi[z] | 虚数误差函数 ![]() |
FresnelC[z] | 费涅尔积分 C(z) |
FresnelS[z] | 费涅尔积分 ![]() |
InverseErf[s] | 反误差函数 |
InverseErfc[s] | 反余误差函数 |
误差函数 Erf[z] 是高斯分布的积分,由
给出. 余误差函数 Erfc[z] 由
简单地给出. 虚数误差函数 Erfi[z] 由
给出. 广义误差函数 Erf[z0,z1] 由积分
定义. 误差函数在统计学的许多计算中是很重要的.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/535.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/536.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/537.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/538.png)
贝塞尔及相关函数
AiryAi[z] 和 AiryBi[z] | Airy 函数 ![]() ![]() |
AiryAiPrime[z] 和 AiryBiPrime[z] | Airy 函数的导数 ![]() ![]() |
BesselJ[n,z] 和 BesselY[n,z] | 贝塞尔函数 ![]() ![]() |
BesselI[n,z] 和 BesselK[n,z] | 修正贝塞尔函数 ![]() ![]() |
KelvinBer[n,z] 和 KelvinBei[n,z] | 开尔文函数 ![]() ![]() |
KelvinKer[n,z] 和 KelvinKei[n,z] | 开尔文函数 ![]() ![]() |
HankelH1[n,z] 和 HankelH2[n,z] | 汉克尔函数 ![]() ![]() |
SphericalBesselJ[n,z] 和 SphericalBesselY[n,z] | |
球贝塞尔函数 ![]() ![]() | |
SphericalHankelH1[n,z] 和 SphericalHankelH2[n,z] | |
球汉克尔函数 ![]() ![]() | |
StruveH[n,z] 和 StruveL[n,z] | Struve 函数 ![]() ![]() |
球贝塞尔函数 SphericalBesselJ[n,z] 和 SphericalBesselY[n,z],以及球汉克尔函数 SphericalHankelH1[n,z] 和 SphericalHankelH2[n,z] 出现在球对称波动现象的研究中. 这些函数通过
与普通函数相联系,这里
和
可以是
和
,
和
,或者
和
. 对于整数
,使用 FunctionExpand 可以将球面贝塞尔函数展开成普通函数的形式.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/573.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/574.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/575.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/576.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/577.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/578.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/579.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/580.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/581.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/582.png)
特别在电子工程中,人们常常要定义开尔文函数 KelvinBer[n,z], KelvinBei[n,z], KelvinKer[n,z] 和 KelvinKei[n,z]. 这些函数通过
,
与普通贝塞尔函数相联系.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/590.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/591.png)
Airy 函数 AiryAi[z] 和 AiryBi[z] 是微分方程
的两个独立解
和
. 当
趋向于正无穷大时,
趋向于0,而
无限增大. Airy 函数与1/3整数阶修正贝塞尔函数相关. Airy 函数常作为边界值问题的解出现在电磁理论和量子力学中. 在许多情况下,也出现 Airy 函数的导数 AiryAiPrime[z] 和 AiryBiPrime[z].
![](Files/MathematicalFunctions.zh/592.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/593.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/594.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/595.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/596.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/597.png)
Struve 函数 StruveH[n,z] 出现在对整数
的非齐次贝赛尔方程
的解中. 这个方程的通解由贝塞尔函数的线性组合加 Struve 函数
构成. 修正 Struve 函数 StruveL[n,z] 以普通 Struve 函数的形式由
给出. Struve 函数特别出现在电磁理论中.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/598.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/599.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/600.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/601.png)
BesselJZero[n,k] | 贝塞尔函数 ![]() ![]() |
BesselJZero[n,k,x0] | 大于 ![]() ![]() |
BesselYZero[n,k] | 贝塞尔函数 ![]() ![]() |
BesselYZero[n,k,x0] | 大于 ![]() ![]() |
AiryAiZero[k] | Airy 函数 ![]() ![]() |
AiryAiZero[k,x0] | 小于 ![]() ![]() |
AiryBiZero[k] | Airy 函数 ![]() ![]() |
AiryBiZero[k,x0] | 小于 ![]() ![]() |
勒让德函数及相关函数
勒让德函数及缔合勒让德函数满足微分方程
. 第一类勒让德函数, LegendreP[n,z] 和 LegendreP[n,m,z],当
和
为整数时,化为勒让德多项式. 第二类勒让德函数LegendreQ[n,z] 和 LegendreQ[n,m,z] 给出微分方程的第二个线性无关解. 对于整数
,它们在
处有对数奇点.
和
给出微分方程在
时的解.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/624.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/625.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/626.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/627.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/628.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/629.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/630.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/631.png)
LegendreP[n,m,z] 或 LegendreP[n,m,1,z] | |
包含 ![]() | |
LegendreP[n,m,2,z] |
包含 ![]() |
LegendreP[n,m,3,z] | 包含 ![]() |
勒让德函数的类型. 对 LegendreQ 存在类似的类型.
用同样的方法,在 GegenbauerC 等等的函数中,指标变量取任意复数就能得到盖根堡函数、切比雪夫函数、厄米函数、雅可比函数和拉盖尔函数. 然而不同于缔合勒让德函数,不需要区分这些函数的不同类型.
超几何函数及其推广
Hypergeometric0F1[a,z] | 超几何函数 ![]() |
Hypergeometric0F1Regularized[a,z] | 正则化超几何函数 ![]() |
Hypergeometric1F1[a,b,z] | 库默尔合流超几何函数 ![]() |
Hypergeometric1F1Regularized[a,b,z] | 正则化合流超几何函数 ![]() |
HypergeometricU[a,b,z] | 合流超几何函数 ![]() |
WhittakerM[k,m,z] and WhittakerW[k,m,z] | |
惠特克函数 ![]() ![]() | |
ParabolicCylinderD[ν,z] | 抛物柱面函数 ![]() |
CoulombF[l,η,ρ] | 规则库伦波函数 ![]() |
CoulombG[l,η,ρ] | 不规则库伦波函数 ![]() |
但目前为止,我们所讨论的特殊函数多数都能被看作合流超几何函数 Hypergeometric1F1[a,b,z] 的特殊情形.
惠特克函数 WhittakerM[k,m,z] 和 WhittakerW[k,m,z] 给出正态化的库默尔微分方程(或称为惠特克微分方程)的一对解. 惠特克函数
通过
与
相关. 第二个惠特克函数
服从同一关系,只要由
代替
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/691.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/692.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/693.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/694.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/695.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/696.png)
库伦波函数 CoulombF[l,η,ρ] 和 CoulombG[l,η,ρ] 也是合流超几何函数的特殊情形. 库伦波函数给出点核的库伦势中的径向薛定谔方程的解. 正则库伦波函数由
给出,其中
. 不规则 Coulomb 波函数
由类似的表达式给出,但用
替换
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/698.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/699.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/700.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/701.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/702.png)
Hypergeometric2F1[a,b,c,z] | 超几何函数 ![]() |
Hypergeometric2F1Regularized[a,b,c,z] | |
正则化的超几何函数 ![]() | |
HypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z] | |
广义超几何函数 ![]() | |
HypergeometricPFQRegularized[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z] | |
正则化的广义超几何函数 | |
MeijerG[{{a1,…,an},{an+1,…,ap}},{{b1,…,bm},{bm+1,…,bq}},z] | |
梅杰 G-函数 | |
AppellF1[a,b1,b2,c,x,y] | 阿佩尔双变量超几何函数 ![]() |
梅杰 G-函数 MeijerG[{{a1,…,an},{an+1,…,ap}},{{b1,…,bm},{bm+1,…,bq}},z] 是由围道积分表示式
定义,其中积分的围道设在
的极点和
的极点之间. MeijerG 是一个非常一般的函数,它的特殊情形包括了前几节讨论的大多数函数.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/724.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/725.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/726.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/727.png)
q 级数及相关函数
QPochhammer[z,q] | ![]() ![]() |
QPochhammer[z,q,n] | ![]() ![]() |
QFactorial[z,q] | 阶乘的 ![]() |
QBinomial[n,m,q] | 二项式系数的 ![]() |
QGamma[z,q] | 欧拉伽马函数 ![]() ![]() |
QPolyGamma[z,q] | ![]() |
QPolyGamma[n,z,q] | ![]() ![]() |
QHypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},q,z] | |
基本超几何级数 |
有限
Pochhammer 符号
定义为乘积
. 其极限
定义了当
<1 时的
Pochhammer 符号
.
Pochhammer 符号
是 Pochhammer
符号的
形式. 其在极限
![](Files/MathematicalFunctions.zh/774OverscriptBox.png)
/(1-q)n 中被复原.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/750.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/751.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/754.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/755.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/756.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/759.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/760.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/763.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/764.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/767.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/770.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/771.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/774OverscriptBox.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/775.png)
乘积对数函数
ProductLog[z] | 乘积对数函数 ![]() |
球体函数
SpheroidalS1[n,m,γ,z] 和 SpheroidalS2[n,m,γ,z] | |
径向球体函数 ![]() ![]() | |
SpheroidalS1Prime[n,m,γ,z] 和 SpheroidalS2Prime[n,m,γ,z] | |
径向球体函数关于 z 的导数 | |
SpheroidalPS[n,m,γ,z] 和 SpheroidalQS[n,m,γ,z] | |
角球体函数 ![]() ![]() | |
SpheroidalPSPrime[n,m,γ,z] 和 SpheroidalQSPrime[n,m,γ,z] | |
角球体函数关于 z 的导数 | |
SpheroidalEigenvalue[n,m,γ] | n 阶 m 次的球面特征值 |
径向球体函数 SpheroidalS1[n,m,γ,z] 及 SpheroidalS2[n,m,γ,z] 和角球体函数 SpheroidalPS[n,m,γ,z] 和 SpheroidalQS[n,m,γ,z] 出现在球形区域上波动方程的解中. 这两类函数均为方程
的解. 仅当
是由 SpheroidalEigenvalue[n,m,γ] 给出的球面特征值时,该方程有可规范化的解. 球体函数也可作为特征函数出现在对傅立叶变换的有限模拟中.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/823.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/824.png)
SpheroidalS1 和 SpheroidalS2 是球面贝塞耳函数
和
的有效球体对照,而 SpheroidalPS 和SpheroidalQS 则有效对照着勒让德函数
和
.
对应着长球面几何,而
对应着扁球面几何.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/825.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/826.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/827.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/828.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/829.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/830.png)
■ 振幅 ![]() |
■ 自变量 ![]() ![]() |
■ δ 振幅 ![]() ![]() |
■ 坐标 ![]() ![]() |
■ 特征数 ![]() |
■ 参数 ![]() ![]() ![]() |
■ 互补参数 ![]() ![]() |
■ 模 ![]() ![]() ![]() |
■ 模角 ![]() ![]() ![]() ![]() |
■ Nome ![]() ![]() ![]() |
■ 不变量 ![]() ![]() |
■ 半周期 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
■ 周期比 ![]() ![]() |
■ 判别式 ![]() ![]() |
■ 曲线 ![]() ![]() |
■ 坐标 ![]() ![]() |
JacobiAmplitude[u,m] | 给出对应于自变量 u 和参数 m 的振幅 ϕ |
EllipticNomeQ[m] | 给出对应于参数 m 的 nome q |
InverseEllipticNomeQ[q] | 给出对应于 nome q 的参数 m |
WeierstrassInvariants[{ω,ω′}] | 给出对应于半周期 {ω,ω′} 的不变量 {g2,g3} |
WeierstrassHalfPeriods[{g2,g3}] | 给出对应于不变量 {g2,g3} 的半周期 {ω,ω′} |
椭圆积分
EllipticK[m] | 第一类完全椭圆积分 ![]() |
EllipticF[ϕ,m] | 第一类椭圆积分 ![]() |
EllipticE[m] | 第二类完全椭圆积分 E(m) |
EllipticE[ϕ,m] | 第二类椭圆积分 E(ϕm) |
EllipticPi[n,m] | 第三类完全椭圆积分 ![]() |
EllipticPi[n,ϕ,m] | 第三类椭圆积分 ![]() |
JacobiZeta[ϕ,m] | 雅可比 ζ 函数 ![]() |
第一类完全椭圆积分 EllipticK[m] 由
给出. 注意
用来表示第一类完全椭圆积分,而
用来表示不完全的形式. 在许多应用中,参数
不是显式给定的,且
简单记作
. 第一类互补完全椭圆积分
由
给出,常被记作
.
和
给出"实" 和 "虚" 的相应于 "椭圆函数" 中所讨论的雅可比椭圆函数的四分之一周期.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/904.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/905.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/906.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/907.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/908.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/909.png)
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![](Files/MathematicalFunctions.zh/913.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/914.png)
椭圆函数
JacobiAmplitude[u,m] | 振幅函数 ![]() |
JacobiSN[u,m]
,
JacobiCN[u,m]
, etc.
| |
雅可比椭圆函数 ![]() | |
InverseJacobiSN[v,m]
,
InverseJacobiCN[v,m]
, etc.
| |
反雅可比椭圆函数 ![]() | |
EllipticTheta[a,u,q] | θ 函数 ![]() ![]() |
EllipticThetaPrime[a,u,q] | θ 函数的导数 ![]() ![]() |
SiegelTheta[τ,s] | Siegel θ 函数 ![]() |
SiegelTheta[v,τ,s] | Siegel θ 函数 ![]() |
WeierstrassP[u,{g2,g3}] | Weierstrass 椭圆函数 ![]() |
WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}] | Weierstrass 椭圆函数的导数 ![]() |
InverseWeierstrassP[p,{g2,g3}] | 反 Weierstrass 椭圆函数 |
WeierstrassSigma[u,{g2,g3}] | Weierstrass σ 函数 ![]() |
WeierstrassZeta[u,{g2,g3}] | Weierstrass ζ 函数 ![]() |
反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSN[v,m], InverseJacobiCN[v,m] 等也是 Wolfram 语言的内置函数. 例如反函数
给出
关于
的解. 反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/974.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/975.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/976.png)
EllipticTheta[a,u,q] 中分别取 a 为 1、2、3 和 4 得到四个 θ 函数
. 其定义为
,
,
,
. θ 函数常写作
,其参数
常常不写出. θ 函数有时写成
的形式,其中
与
的关系为
. 另外,
有时用
代替,两者的关系为
. 所有的 θ 函数满足扩散类微分方程
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/977.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/978.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/979.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/980.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/981.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/982.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/983.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/984.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/985.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/986.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/987.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/988.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/989.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/990.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/991.png)
具有向量 s 的 p 维 Riemann 模块方阵(square modular matrix)的 Siegel θ 函数 SiegelTheta[τ,s] 将椭圆 θ 函数推广至复维数 p,其定义为
,其中 n 跨越(runs over)全部 p 维整数向量. 特征值为 SiegelTheta[ν,τ,s] 的 Siegel θ 函数的定义由
给出,其中特征数 ν 是一对 p 维向量 {α,β}.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/992.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/993.png)
Weierstrass 椭圆函数 WeierstrassP[u,{g2,g3}] 可以被看作是椭圆积分的反函数. Weierstrass 函数
给出
关于
的解. 函数 WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}] 由
给出.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1005.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1006.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1007.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1008.png)
椭圆模函数
DedekindEta[τ] | Dedekind η 函数 ![]() |
KleinInvariantJ[τ] | Klein 不变模函数 ![]() |
ModularLambda[τ] | 模 λ 函数 ![]() |
广义椭圆积分和函数
ArithmeticGeometricMean[a,b] | ![]() ![]() |
EllipticExp[u,{a,b}] | 与椭圆曲线 ![]() |
EllipticLog[{x,y},{a,b}] | 与椭圆曲线 ![]() |
函数 EllipticLog[{x,y},{a,b}] 被定义为积分
的值,其中平方根的正负通过给出使得
成立的
值来确定. 形如
的积分可以用普通对数(和反三角函数)来表示. 可以认为 EllipticLog 给出该积分的推广,其中平方根下的多项式是三次的.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1041.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1042.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1043.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1044.png)
函数 EllipticExp[u,{a,b}] 是 EllipticLog 的反函数. 它返回出现在 EllipticLog 中的列表
. EllipticExp 是一个椭圆函数,在复平面
上是双周期的.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1045.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1046.png)
ArithmeticGeometricMean[a,b] 给出两个数
和
的算术-几何平均值(AGM). 该量是计算椭圆积分的和其他函数的许多数值算法的核心. 对于正实数
和
,其 AGM 按下述方法获得:从
,
开始,然后重复变换
,
直到在要求的精度下
为止.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1047.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1048.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1049.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1050.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1051.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1052.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1053.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1054.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1055.png)
MathieuC[a,q,z] | 具有特征值 a 和参数 q 的 Mathieu 偶函数 |
MathieuS[b,q,z] | 具有特征值 b 和参数 q 的 Mathieu 奇函数 |
MathieuCPrime[a,q,z] 和 MathieuSPrime[b,q,z] | Mathieu 函数的 z 导数 |
MathieuCharacteristicA[r,q] | 具有特征指数 r 和参数 q 的 Mathieu 偶函数的特征值 ar |
MathieuCharacteristicB[r,q] | 具有特征指数 r 和参数 q 的 Mathieu 奇函数的特征值 br |
MathieuCharacteristicExponent[a,q] | 具有特征值 a 和参数 q 的 Mathieu 函数的特征指数 r |
Mathieu 函数 MathieuC[a,q,z] 和 MathieuS[a,q,z] 是方程
的解. 这个方程出现在涉及椭圆形状或周期位势的许多物理场合. 函数 MathieuC 定义为关于
是偶函数,而 MathieuS 是奇函数.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1056.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1057.png)
当
时,Mathieu 函数简化为
和
. 对于非零
,Mathieu 函数仅对某些
的值关于
是周期的. Mathieu 特征值由 MathieuCharacteristicA[r,q] 和 MathieuCharacteristicB[r,q] 给出,其中
是整数或有理数. 这些值常记为
和
.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1058.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1059.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1060.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1061.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1062.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1063.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1064.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1065.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1066.png)
根据 Floquet 定理,任何 Mathieu 函数可以用
的形式写出, 其中
有周期
,
是 Mathieu 特征指数 MathieuCharacteristicExponent[a,q]. 当特征指数
是整数或有理数时,Mathieu 函数是周期的. 然而,一般情况下, 当
不是实整数时,
和
是相等的.
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1074.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1075.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1076.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1077.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1078.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1079.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1080.png)
![](Files/MathematicalFunctions.zh/1081.png)
自动计算 | 指定变量的精确结果 |
N[expr,n] | 任何精度的数值近似 |
D[expr,x] | 导数的精确结果 |
N[D[expr,x]] | 导数的数值近似 |
Series[expr,{x,x0,n}] | 级数展开 |
Integrate[expr,x] | 积分的精确结果 |
NIntegrate[expr,x] | 积分的数值近似 |
FindRoot[expr==0,{x,x0}] | 方程根的数值近似 |
大部分特殊方程有能用基本函数或其他特殊函数表示的导数. 但即使对导数不能明显表示的情况,也能使用 N 求出导数的数值近似值.
使用 N 给出数值近似:
FullSimplify[expr] | 使用广泛的变换规则化简 expr |
FunctionExpand[expr] | 展开特殊函数 |
这是的最终结果甚至不涉及 PolyGamma: