WOLFRAM

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数学函数

数学函数

命名规则多值函数
一般和非一般情况数学常数
数值函数正交多项式
分段函数特殊函数
伪随机数椭圆积分和椭圆函数
整数和数论中的函数Mathieu 函数和相关的函数
组合函数带有特殊函数的运算
初等超越函数
命名规则
Wolfram 语言中的数学函数根据定义规则来命名. 对大多数 Wolfram 语言函数，名称通常是完整的完全拼写的英语单词. 对于一些很常见的函数，Wolfram 语言使用传统缩写. 例如，模函数的名称是 Mod，而不是 Modulo.
通常涉及人的名字的数学函数在 Wolfram 语言中有形如 PersonSymbol 的名称. 例如，勒让德多项式 被表示为LegendreP[n,x]. 尽管这个惯例使函数的名称较长，但它避免了任何模棱两可或混乱不清.
当数学函数的标准表示法涉及下标和上标时，在 Wolfram 语言中，下标在上标之前给出. 例如，勒让德多项式 被表示为 LegendreP[n,m,x].
一般和非一般情况
这里给出 的积分，它对于几乎所有 都是有效的：
然而对于 这个特殊情况，正确的结果则不同：
符号运算的目标是要得到一个公式，该公式对其中变量的许多可取的值都是成立的. 然而，试图得到对变量的每个可取值都绝对成立的公式常常是不切实际的.
Wolfram 语言总是用 替换 ：
然而，如果 等于0，那么，结果不为 0：
这个结构处理两种情况，但是可能使用起来会比较难以控制：
如果 Wolfram 语言不自动地用 0 代替 ，那么符号运算将很难进行. 但用户应当注意这一必然性：做这种替换，在参数的指数值被使用时，会产生令人误解的结果.
Wolfram 语言的基本运算被精心地设置，以使得无论何时得到的结果对每个变量的几乎所有值都是有效的.
不会被 自动代替：
如果被代替，则这里的结果将为 ，这是不正确的：
这里假定了 是正实变量，所以进行了替换：
数值函数
IntegerPart[x]
x 的整数部分
FractionalPart[x]
x 的分数部分
Round[x]
最接近 x 的整数 〈x〉
Floor[x]
小于等于 x 的最大整数 ⌊x⌋
Ceiling[x]
大于等于 x 的最小整数 ⌈x⌉
Rationalize[x]
近似于 x 的有理数
Rationalize[x,dx]
容差 dx 内的有理数近似
部分实变量数值函数.
xIntegerPart[x]FractionalPart[x]Round[x]Floor[x]Ceiling[x]
2.420.4223
2.520.5223
2.620.6323
-2.4-2-0.4-2-3-2
-2.5-2-0.5-2-3-2
-2.6-2-0.6-3-3-2
提取整数和分数部分.
IntegerPart[x] 和 FractionalPart[x] 可以看作是提取小数点左边和右边的数字. Round[x] 常被用来强迫接近整数的一个数成为真正的整数. Floor[x] 和 Ceiling[x] 常出现在计算一个具有非整数间隔的数列中有多少元素的事项中.
RealSign[x]
对于 x>0 为 1；对于 x<0 为 -1
UnitStep[x]
对于 x≥0 为 1；对于 x<0 为 0
RealAbs[x]
x 的绝对值 x
Clip[x]
介于 ‐1 和 +1 之间的 x
Rescale[x,{xmin,xmax}]
重新调整为从 0 到 1 的 x
Max[x1,x2,…]
or
Max[{x1,x2,…},…]
x1, x2, … 的最大值
Min[x1,x2,…]
or
Min[{x1,x2,…},…]
x1, x2, … 的最小值
实变量的数值函数.
x+I y
复数 x+iy
Re[z]
实部 Re z
Im[z]
虚部 Im z
Conjugate[z]
多共轭 z* 或
Abs[z]
绝对值 z
Arg[z]
幅角 ϕ 使得 z=zei ϕ
Sign[z]
z≠0 时，复数 sign z/z
复变量的数值函数.
分段函数
Boole[expr]
如果 expr 为 True 给出 1；如果为 False 给出 0
把条件转换为数字.
Boole[expr] 是使 True 和 False 分别转换为 1 和 0 的基本函数. 有时候，被称为特征函数 或者指示函数.
这里给出单位圆盘的面积：
Piecewise[{{val1,cond1},{val2,cond2},…}]
对于 condi 等于 True 时，给出第一个 vali
Piecewise[{{val1,cond1},…},val]
如果所有 condi 是 False，给出 val
分段函数.
经常地，在不同区域中具有不同形式的函数是很方便的. 这可以使用 Piecewise 来实现.
这里给出分段函数的图形：
分段函数出现在在不同区域离散切换的系统中. 它们也是许多计算方法的核心，包括样条（splines）和有限元（finite elements）. 特殊情况包括这样的函数如 Abs、UnitStep、Clip、Sign、Floor 和 Max. Wolfram 语言处理符号和数值两种情况下的分段函数.
这里生成一个方波：
以下是该方波的积分：
伪随机数
Wolfram 语言具有三个函数，用以产生在一个值域上均匀分布的伪随机数.
RandomInteger[]
概率为 的 0 或 1
RandomInteger[{imin,imax}]
包含在 imin 和 imax 内的伪随机整数
RandomInteger[imax]
包含在 0 和 imax 内的伪随机整数
RandomReal[ ]
0 和 1 之间的伪随机实数
RandomReal[{xmin, xmax}]
xmin 和 xmax 之间的伪随机实数
RandomReal[xmax]
0 和 xmax 之间的伪随机实数
RandomComplex[]
单位方域中的伪随机复数
RandomComplex[{zmin,zmax}]
由 zmin 和 zmax 定义的长方形中的伪随机复数
RandomComplex[zmax]
由 0 和 zmax 定义的长方形中的伪随机复数
伪随机数的生成.
RandomReal[range,n]
,
RandomComplex[range,n]
,
RandomInteger[range,n]
从给定区域得到的 n 个伪随机数的列表
RandomReal[range,{n1,n2,…}]
,
RandomComplex[range,{n1,n2,…}]
,
RandomInteger[range,{n1,n2,…}]
由伪随机数组成的 n1×n2×… 数组
伪随机数表的生成.
这里给出具有相同概率的 0 或者 1：
这里生成伪随机复数：
这里给出包含在 0 和 9 中的十个伪随机整数的列表：
这里给出在 0 和 1 之间的伪随机实数的矩阵：
RandomReal 和 RandomComplex 使得用户可以获得具有任意精度的伪随机数.
选项名
默认值
WorkingPrecisionMachinePrecision
用于实数或者复数的精度
改变伪随机数的精度.
以下是 0 与 1 之间的 30 位的伪随机实数：
以下是 4 个 20 位伪随机复数的列表：
如果反复获取伪随机数数组，将得到一个“典型”数列，它们没有特定的类型. 有许多使用这些数的方法.
使用伪随机数的一个常见方法是进行数值假设检验. 例如，如果用户相信两个符号表达式在数学上是相等的. 可以通过给符号参数插上“典型”数值的值. 然后比较数值结果来进行检验. （如果要这样做的话，在数值准确度问题上，在可能没有唯一值的复变量的函数上，都应当仔细注意）.
以下是一个符号方程：
用随机数字代入表明方程不总是为真 True：
伪随机数的其他常见用法包括模拟随机过程，概率空间的采样. Wolfram 语言生成的伪随机数总是在指定范围上的均匀分布.
RandomInteger、RandomReal 和 RandomComplex 与其他的 Wolfram 语言函数不同，每次调用它时，都将得到不同的结果. 因此，如果在计算中使用它们，在不同的时机会得到不同的答案.
由 RandomInteger、RandomReal 和 RandomComplex 得到的序列在多数意义下并不是“真正随机的”，尽管实际上它们应当是“足够随机的”. 事实上，这个序列是通过使用从一个特定起点开始的确定数学算法生成的. 如果给出相同的起点，将得到相同的序列.
当 Wolfram 语言启动时，它取时钟时刻（用一秒的一小部分度量）作为伪随机生成器的起点. 因此，两个不同的Wolfram 语言进程几乎总是给出不同的伪随机序列.
如果用户想要确定总是得到相同的伪随机数序列，可以使用 SeedRandom 明显地给伪随机数生成一个起点.
SeedRandom[]
使用时钟时刻重设伪随机生成器的起点
SeedRandom[s]
使用整数 s 重设伪随机生成器的起点
伪随机数生成器的起点.
重设伪随机数生成器的起点：
这是三个伪随机数：
如果重设伪随机数生成器的起点与上例相同，则会得到相同的伪随机数序列：
每调用一次 RandomInteger、RandomReal 或者 RandomComplex，伪随机数生成器的内部状态就被改变，这意味着在辅助运算中调用这些函数，将会影响主运算中返回的数. 要避免这个问题，可以在运算 BlockRandom 中局部化这些函数的使用效果.
BlockRandom[expr]
使用局部化的伪随机生成器的当前状态计算 expr
使用 RandomInteger、RandomReal 或者 RandomComplex 局部化效果.
通过在 BlockRandom 中进行局部化计算，在生成第一个列表之后，伪随机数生成器的状态被恢复：
许多应用需要从非均匀分布得到的随机数. Wolfram 语言具有许多系统内置的分布. 用户可以使用合适的参数给出分布，其范围在 RandomInteger 或者 RandomReal 中.
RandomInteger[dist]
,
RandomReal[dist]
服从随机分布 dist 的伪随机数
RandomInteger[dist,n]
,
RandomReal[dist,n]
服从随机分布 dist 的 n 个伪随机数的列表
RandomInteger[dist,{n1,n2,…}]
,
RandomReal[dist,{n1,n2,…}]
由服从随机分布 dist 的伪随机数组成的 n1×n2×… 数组
使用非均匀分布生成伪随机数.
以下生成均值为 3 的服从泊松分布的 12 个整数：
以下使用标准正态分布生成由实数组成的 4×4 矩阵：
以下生成服从均值为 2、标准差为 4 的正态分布的 5 个高精度实数：
伪随机数的另一个使用是从列表中进行选择. RandomChoice 使用可重置的选择，而 RandomSample 使用不可重置的采样.
RandomChoice[list, n]
从 list 随机选择 n 个项
RandomChoice[list,{n1,n2,…}]
从 list 随机选择得到的值组成的 n1×n2×… 数组
RandomSample[list, n]
从 list 得到的大小为 n 的样本
随机选择.
从数字 0 到 9 内随机选择 10 个项：
至少一个选择在输出中重复出现的机会非常大. 这是因为当一个元素被选出后，它立即被重新放回原处. 另一方面，如果用户想要从一个实际的元素集合中进行选择的话，就不应该可以重置.
使用不可重置的规则从数字 0 到 9 中随机采样 10 个项. 所得结果是数字的随机排列：
从一个集合中采集 10 个项对于每个数字来说有不同的频率：
整数和数论中的函数
Mod[k,n]
k 模 n （ k 除以 n 的余数）
Quotient[m,n]
m 和 n 的商 （ m/n 的整数部分）
QuotientRemainder[m,n]
商和余数的列表
Divisible[m,n]
检测 m 是否被 n 整除
CoprimeQ[n1,n2,…]
检测 ni 是否成对互质
GCD[n1,n2,…]
n1, n2, … 的最大公约数
LCM[n1,n2,…]
n1, n2, … 的最小公倍数
KroneckerDelta[n1,n2,…]
如果所有的 ni 都相等，那么 Kronecker delta 等于1，否则，等于 0
IntegerDigits[n,b]
b 进制下 n 的位数
IntegerExponent[n,b]
整除 n 的 b 次幂的最大值
一些整数函数.
17 除以 3 的余数：
17/3 的整数部分：
Mod 也可用于实数：
由 Mod 得到的结果，其符号与第二个自变量的符号相同：
对于任意整数 a 和 b，b*Quotient[a,b]+Mod[a,b] 等于 a 总是成立的.
Mod[k,n]
结果在 0 到 n-1 之间
Mod[k,n,1]
结果在 1 到 n 之间
Mod[k,n,-n/2]
结果在 ⌈-n/2⌉ 到 ⌊+n/2⌋ 之间
Mod[k,n,d]
结果在 d 到 d+n-1 之间
带偏心距的整数余数.
特别当使用 Mod 来获得部分对象的索引时，指定一个偏心距常常是方便的.
在对列表循环处理下，提取列表的第 18 个元素：
最大公约数函数 GCD[n1,n2,…] 给出整除所有 ni 的最大整数. 当输入两个整数的比时，Wolfram 语言使用 GCD 约去公因式，并给出最简有理数.
最小公倍数函数 LCM[n1,n2,…] 给出包含每个 ni 的所有因子的最小整数.
整除 24 和 15 的最大整数是 3：
Kronecker delta 函数 KroneckerDelta[n1,n2,…] 当 ni 全相等时等于1，否则等于0. 可以看作为一个全对称的张量.
这里给出一个秩为 3 的全对称张量
FactorInteger[n]
n 的素因子和相应指数的列表
Divisors[n]
整除 n 的整数列表
Prime[k]
第 k 个素数
PrimePi[x]
第 k 个素数
PrimeQ[n]
如果 n 为素数时，给出 True；否则为 False
PrimeNu[n]
n 中不同素数 的个数
PrimeOmega[n]
计算关于 n 的重数（multiplicities） 的素因子数目.
LiouvilleLambda[n]
Liouville 函数
MangoldtLambda[n]
von Mandgoldt 函数
FactorInteger[n,GaussianIntegers->True]
高斯整数 n 的高斯素数因子和相应指数的列表
PrimeQ[n,GaussianIntegers->True]
n 为高斯素数时得 True，否则得 False
整数因子分解和相关函数.
给出 24 的所有因子为 ，. 每个子列表的第一个元素是因子；第二个元素是其指数：
以下是一个较大整数的因子：
应该认识到，按照现代数学的观点，整数因子分解是本质上困难的计算问题. 因此，用户能容易地输入一个整数，而 Wolfram 语言对其分解因子可能要花费天文数字长度的时间. 只要用户给出的整数位数小于 50，FactorInteger 将不会有任何困难. 然而，在一些特殊情况下，它能处理长得多的整数.
以下一个相当特殊的长整数：
Wolfram 语言能容易地分解该特殊整数：
尽管 Wolfram 语言可能分解不了大整数，但是它常常能检测该整数是否为素数. 此外，Wolfram 语言有一个寻找第 个素数的快速方法.
检测一个数是否是素数常常比分解它的因子快得多：
这是前 100 个素数的图形：
这是第一百万个素数：
尤其，在数论中，知道素数的分布比知道它们的值常常更加重要. 函数 PrimePi[x] 给出小于或者等于 的素数个数 .
给出小于10亿的素数个数：
PrimeNu 给出对 n 因式分解中的不同素数数量：
PrimeOmega 给出计算重数（multiplicities） 关于 n 的素因子数目：
Liouville 函数给出 ，其中 是计算重数（multiplicity）的素因子数目：
该曼戈尔特函数（Mangoldt function）返回以素数幂为基的对数，或者当合成的时候，返回零：
默认情况下，FactorInteger 只允许实整数. 但通过设置选项 GaussianIntegers->True，它也能处理高斯整数，即实部和虚部均为整数的复数. 正如它能唯一地分解出实素数一样，它也能唯一地分解出高斯素数. 然而，在高斯素数的选择中有一些潜在的二义性. 在 Wolfram 语言中，除了初始的 和 以外，因子总是被选为正实部和非负虚部.
在高斯整数上，2能分解为 ：
以下是一个高斯整数的所有因子：
PowerMod[a,b,n]
ab 模 n
DirichletCharacter[k,j,n]
狄雷克莱特征
EulerPhi[n]
欧拉 totient 函数
MoebiusMu[n]
莫比乌斯函数
DivisorSigma[k,n]
除数函数
DivisorSum[n,form]
对于所有整除 n 的 i，form[i] 的和
DivisorSum[n,form,cond]
仅包含对 cond[i] 给出 True 的约数的和
JacobiSymbol[n,m]
雅可比符号
ExtendedGCD[n1,n2,…]
n1, n2, … 的扩展最大公约数
MultiplicativeOrder[k,n]
k 模 n 的多重阶
MultiplicativeOrder[k,n,{r1,r2,…}]
带有余数 ri 的广义多重阶
CarmichaelLambda[n]
卡米切尔函数
PrimitiveRoot[n]
n 的一个原根
数论中的一些函数.
模幂函数 PowerMod[a,b,n] 给出与 Mod[a^b,n] 当 b>0 时的相同的结果. 但是，PowerMod 更有效，因为它避免生成 a^b 的完全形式.
用户可以使用 PowerMod 不仅能求出正模幂，也能求出模逆. 对于负数 b，PowerMod[a,b,n] 给出，如果可能的话，一个整数 使得 . （当这样的整数存在时，它是唯一的模 n）. 如果不存在这样的整数 ，Wolfram 语言就使得 PowerMod 不再计算.
PowerMod 等价于先使用 Power，再使用 Mod，但是更有效率：
以下给出 3 模 7 的模逆：
3 乘以该模逆 7 得 1，与期望的相同：
这里寻找最小非负整数 使得 等于 3 模 11：
这里验证该结果：
这里返回所有满足关系的小于 11 的整数：
如果 d 不具有平方根模 n，PowerMod[d,n] 将保持未被计算，并且 PowerModList 将返回一个空列表：
这里检查 3 不是 5 的模平方：
即使对于大模数，平方根的计算也可以相当快.
PowerMod[d,n] 对于复合的 也适用：
对于给定的模 k，具有 个不同的狄利克雷（Dirichlet）特征，以索引 j 作为标签. 不同的约定可以对可能的特征给出不同的排序.
DirichletCharacter 适用于很大的数：
当欧拉 totient 函数 给出小于 且与 互素的正整数的个数. 一个重要的关系（费马小定理）是对与 互素的所有 有 .
莫比乌斯函数 被定义为：当 为 个不同素数的积时，等于 ，当 包含素数的平方（不为1）时，等于 . 一个重要的关系是莫比乌斯逆公式，即如果 对所有 成立，那么 ，其中和式是对所有整除 的正整数 求积.
除数函数 是 的所有约数的 次幂的和. 函数 给出 的约数的总数，并常常表示为 、 和 . 函数 等于 的所有约数的和，常常表示为 .
对于素数 ，：
像费马小定理保证的那样，结果为1：
这里给出 24 的所有约数的列表：
给出 24 的不同约数的总数：
函数 DivisorSum[n,form] 表示 form[i] 的和，对于所有的除以 n 的 i. DivisorSum[n,form,cond] 仅包含对于 cond[i] 给出 True 的约数.
这里给出五个正整数的约数的和的列表：
这里强加了每个约数 i 必须小于 6 的条件：
雅可比符号 JacobiSymbol[n,m] 当 为奇数时，归结为勒让德符号 . 勒让德符号是：当 被 整除时，其值为零；否则，当 是二次余数（模素数 ）其值为 ，若不然其值为 . 一个与 互素的整数 称为二次余数（模 ） 是指存在一个整数 使得 . 完全雅可比符号是所有满足 的素因子 的勒让德符号 的连乘.
扩展 GCD ExtendedGCD[n1,n2,…] 给出一个列表 ，其中 是 的最大公约数， 是满足 的整数. 扩展 GCD 在求线性丢番图方程的整数解中是重要的.
列表中的第一个数是 105 和 196 的最大公约数：
第二个数对满足 ：
多重阶函数 MultiplicativeOrder[k,n] 给出使 的最小整数 . 那么 被称为 模 的指标. 表示法 偶尔被使用.
广义多重阶函数 MultiplicativeOrder[k,n,{r1,r2,…}] 给出使 对某个 成立的最小整数 . MultiplicativeOrder[k,n,{-1,1}] 有时称作 模 的次阶函数，记为 . MultiplicativeOrder[k,n,{a}] 有时被称为关于基 模 的 的离散对数.
卡米切尔函数或最小通用指数 给出使 对所有的与 互素的整数 都成立的最小整数 .
ContinuedFraction[x,n]
生成 x 的连续分式表示的前 n 项
FromContinuedFraction[list]
从其连续分式表示重构一个数
Rationalize[x,dx]
寻找 x 的有理近似，容差为 dx
连续分式.
以下生成 的连续分式表示的前 10 项：
重构由连续分式项的列表代表的数：
结果接近 ：
这里直接给出 的有理近似：
连续分式出现在许多数论的设置中，有理数有最终连续的分式表示. 二次的无理数有重复的连续分式表示.
ContinuedFraction[x]
有理数或者二次无理数的完全连续分式表示
QuadraticIrrationalQ[x]
检测 x 是否为二次无理数
RealDigits[x]
有理数的完全数字序列
RealDigits[x,b]
b 进制下的完全数字序列
数的完全表示.
的连续分式表示从第八项开始，然后涉及永远重复的项的序列：
这里从其连续分式表示中重构 ：
这是一个二次无理数：
这里显示 3/7 的十进制位的循环序列：
FromDigits 重构原来的数：
收敛连分数经常用来使用有理数逼近无理数. 这些近似数从上方和下方交替，并且在项数上呈指数收敛. 此外，一个简单的连分数的收敛 比任何其他具有小于或者等于 的分母的有理数逼近更好.
Convergents[x]
给出 x 的有理近似的列表
Convergents[x,n]
仅给出前 n 个近似
收敛连分数.
以下给出 101/9801 的有理数逼近列表，从它的连分式展开式导出：
以下仅列出前 10 个收敛：
以下列出 的连续有理逼近，直到用尽数值精度：
对于一个确切的无理数，用户必须明确要求项的数目：
LatticeReduce[{v1v2,…}]
整数向量 vi 的集合的规约格基
HermiteDecomposition[{v1,v2,…}]
整数向量 vi 的集合的梯阵式
整数格的函数.
格简化函数 LatticeReduce[{v1,v2,…}] 被使用在多种现代算术中. 基本思想是把整数向量 看作定义一个数学上的格. 表示格中一个点的任意向量可以被写为形如 的线性组合，其中 是整数. 对于一个特定的格，存在对“基向量” 的许多可能的选择. LatticeReduce 所做的是找出对于该格的具有某种特殊性质的化简的基向量 的集合.
沿着三个坐标轴的三个单位向量已经构成简化的基：
这里给出在由三个向量指定的四维空间中的一个格的简化基：
注意，在上一个例子中，LatticeReduce 把几乎平行的向量用更正交的向量取代. 在这个过程中，求出相当短的基向量.
对于矩阵 ，HermiteDecomposition 给出矩阵 和 使得 是幺模，，并且 为简化行阶梯矩阵. 相对于RowReduce，枢轴（pivots）可能大于1，因为在整数环上没有分数. 枢轴（pivot）上的项通过减去枢轴同行的所有元素（pivot row）的适当的倍数来最小化.
在此情况下，由于其连续梯队的形式，恢复原有的矩阵：
以下满足要求的恒等式：
此处第二个矩阵具有一些大于1的枢轴（pivot），以及枢轴上的非零项：
DigitCount[n,b,d]
n 在 b 进制表示下的数字 d 的数目
位计数函数.
这里是 77 在二进制表示下的各个位：
这个直接计算在二进制表示下 1 的个数：
位计数函数图形是自相似的：
BitAnd[n1,n2,…]
整数 ni 的位与
BitOr[n1,n2,…]
整数 ni 的位或
BitXor[n1,n2,…]
整数 ni 的位异或
BitNot[n]
整数 n 的位非
BitLength[n]
整数 n 中的二进制位数
BitSet[n,k]
在整数 n 中，设置位 k 为1
BitGet[n,k]
从整数 n 中获取位 k
BitClear[n,k]
在整数 n 中，设置位 k 为0
BitShiftLeft[n,k]
向左移动整数 n，移动量为 k 位，并使用零填充
BitShiftRight[n,k]
向右移动，并且去掉最后 k 位
位运算.
位运算作用于表示为二进制的整数. BitAnd[n1,n2,…] 产生一个整数其二进制表示的某一位为1当且仅当所有的 ni 在该位为1. BitOr[n1,n2,…] 产生一个整数其二进制表示的某一位为1，只要某个 ni 在该位为1. BitXor[n1,n2] 产生一个整数，其二进制表示的某一位为1，当且仅当 n1 或者 n2 中仅有一个在该位为1. BitXor[n1,n2,…] 的二进制表示的某一位为1，当且仅当 ni 中有奇数个在该位为1.     
以下求以二进制输入的 23 和 29 的位与：
位运算使用在各种组合算术中. 它们也常常用于低级计算机语言中操纵位域. 然而，在这些语言中，整数有受限制的位数，典型的是8的倍数. 在 Mathematica 中的位运算实际上允许整数有不受限制的序列. 这使得 BitNot[n] 简单地等于 .
SquareFreeQ[n]
如果 n 不包含平方因子，则给出 True； 否则，给出 False
测试平方因子.
SquareFreeQ[n] 检查 n 是否具有平方素数因子. 这通过计算 MoebiusMu[n] 并且查看结果是否为0来实现；如果是，那么 n 包括平方素数因子，否则就不包括. 计算MoebiusMu[n] 涉及寻找 n 的最小素数因子 q. 如果 n 是一个小的素数因子（小于或者等于 ），这是很快的. 否则，用 FactorInteger 来寻找 q.
素数的积不包含任何平方因子：
平方数 4 除以 60：
SquareFreeQ 可以处理大整数：
NextPrime[n]
给出大于 n 的最小素数
RandomPrime[{min,max}]
返回 min 和 max 之间的随机素数
RandomPrime[max]
返回小于或者等于 max 的随机素数
RandomPrime[{min,max},n]
返回 min 和 max 之间的 n 个随机素数
RandomPrime[max,n]
返回小于或等于 max 的 n 个随机素数
求素数.
NextPrime[n] 寻找使得 p>n 的最小的素数 p. 对于少于20位的 n，对于大于 n 的奇数，该算法使用 PrimeQ 进行直接搜索.
以下给出 10 之后的下一个素数：
甚至对于大数，下一个素数也能快速进行计算：
以下给出小于 34 的最大素数：
对于 RandomPrime[{min,max}] 和 RandomPrime[max]，如果 max 是小的，则通过从素数查找表中随机选择，获取一个随机素数 p；如果 max 是大的，则通过在整数中随机搜索整数获取该随机素数. 如果在指定范围内不存在素数，则返回未计算的输入，并显示一个错误信息.
这是在 10 和 100 之间的随机素数：
PrimePowerQ[n]
决定 n 是否为一个有理素数的正整数幂
测试是否包含素数幂.
PrimePowerQ 的算法首先计算 n 的最小素因子 p ，并且尝试除以 p 直到或者当 n 是一个素数幂的时候，得到1，或者当 n 不是一个素数幂的时候尝试除以 p 直到不可以再进行除法运算的时候.
这个数是单个素数的幂：
在 GaussianIntegers 上，这是一个素数幂：
ChineseRemainder[list1,list2]
给出最小的非负整数 r，并满足 Mod[r,list2]==list1
求解联立全等.
中国剩余定理规定，一定类型的联立全等问题总是有一个解. ChineseRemainder[list1,list2] 寻找最小非负整数 r 使得 Mod[r,list2] 是 list1. 该解是唯一的 list2 的元素的最小公倍数的模.
这意味着 、 以及 ：
这里确认结果：
更长的列表仍然相当快：
PrimitiveRoot[n]
给出 n 的原根，其中 n 是素数幂或者素数幂的两倍
计算原根.
PrimitiveRoot[n]返回一个生成器，该生成器生成与 n 在模 相乘互素的数形成的集合. 这里具有一个生成器，当且仅当 n 是 2、4、一个奇素数的幂、或者一个奇素数的幂的两倍. 如果 n 是一个素数或者素数幂，将返回最小正原根.
这是 5 的原根：
这里证实，它的确产生相应的数的组合：
这是一个素数幂的素数根：
这是一个素数幂的两倍的原根：
如果该变量是复合的，并且不是素数幂或者素数幂的两倍，该函数不进行计算.     
SquaresR[d,n]
给出把整数 n 表示为 d 个平方数的和的表示法数目
PowersRepresentations[n,k,p]
给出把整数 n 表示为 k 个非负第 p 次整数幂的和的不同表示方法
把一个整数表示为平方和或者其他幂的和.
这里把 101 表示为 3 个平方数的和：
组合函数
n!
阶乘
n!!
双阶乘
Binomial[n,m]
二项式系数
Multinomial[n1,n2,…]
多项式系数
CatalanNumber[n]
Catalan 数
Hyperfactorial[n]
超阶乘
BarnesG[n]
Barnes G-函数
Subfactorial[n]
个对象的错位排列数目
Fibonacci[n]
斐波那契数
Fibonacci[n,x]
斐波那契多项式
LucasL[n]
卢卡斯数
LucasL[n,x]
卢卡斯多项式
HarmonicNumber[n]
调和数
HarmonicNumber[n,r]
阶调和数
BernoulliB[n]
贝努利数
BernoulliB[n,x]
贝努利多项式
NorlundB[n,a]
Nörlund 多项式
NorlundB[n,a,x]
一般贝努利多项式
EulerE[n]
欧拉数
EulerE[n,x]
欧拉多项式
StirlingS1[n,m]
第一类斯特林数
StirlingS2[n,m]
第二类斯特林数
BellB[n]
贝尔数
BellB[n,x]
贝尔多项式
PartitionsP[n]
整数 的无约束划分的分法数目
IntegerPartitions[n]
整数的划分
PartitionsQ[n]
将 划分到不同部分的分法数目
Signature[{i1,i2,…}]
排列的标记
组合函数.
阶乘函数 给出 个对象排列方法的数目. 对于非整数 ， 的数值由 "特殊函数" 节讨论的伽马函数获得.
二项式系数 Binomial[n,m] 可以被写为 . 它给出 个对象的集合中选取 个对象，不考虑顺序的取法的数目. Catalan 数，它出现在各种树枚举问题中，由二项式系数表示为 .
子阶乘 Subfactorial[n] 给出 个对象的排列数目，其中没有任何对象的位置是固定的. 这样的排列称为错位排列. 子阶乘由 给出.
多项式系数 Multinomial[n1,n2,…]，表示为 ，给出把 个不同对象分到大小为 的 个集合中的分法的数目（其中 ）.
Wolfram 语言给出整数阶乘的精确整数结果：
对于非整数，Wolfram 语言使用伽马函数计算阶乘：
对于某些二项式系数，Wolfram 语言能给出符号结果：
这里给出把 个对象分到包含 6 个和 5 个对象的集合中的分法的数目：
该结果与 相同：
斐波那契数 Fibonacci[n] 满足递归关系 及 . 它们出现在离散数学问题的广泛领域中. 对于足够大的 ， 接近黄金分割. 卢卡斯数 LucasL[n] 满足与斐波那契数同样的递归关系，但是初始条件为 和 .
斐波那契多项式 Fibonacci[n,x] 作为展式 中 的系数出现.
调和数 HarmonicNumber[n] 由 给定； 阶调和数 HarmonicNumber[n,r] 由 给定. 调和数出现在许多组合估计问题中，常常起着算法的离散模拟的作用.
贝努利多项式 BernoulliB[n,x] 满足母函数关系 . 贝努利数 BernoulliB[n] 由 给定. 作为近似积分的欧拉——麦克劳林求和公式中项的系数出现. 贝努利数通过 与 盖诺奇数 联系起来.
贝努利数的数值在许多数值算法中都需要. 首先通过使用 BernoulliB[n] 求出精确的有理结果，再使用 N，总可以得到这个数值值.
欧拉多项式 EulerE[n,x] 有母函数 ，而欧拉数 EulerE[n] 由 所给出.
Nörlund 多项式 NorlundB[n,a] 满足母函数关系 . 当 时，Nörlund 多项式给出贝努利数. 对于 的其他正整数值，Nörlund 多项式给出高阶贝努利数. 一般贝努利多项式 NorlundB[n,a,x] 满足母函数关系 .
这里给出第二类贝努利多项式 ：
也可以通过计算母函数的幂级数得到贝努利多项式：
BernoulliB[n] 给出贝努利数的精确有理数结果：
斯特林数出现在许多组合枚举问题中. 对于第一类斯特林数 StirlingS1[n,m]， 给出包含 个圈的 个元素的排列数目. 斯特林数满足母函数关系 . 注意某些 的定义与 Wolfram 语言中的不同，差别在于因子 .
第二类斯特林数 StirlingS2[n,m] 给出把 个元素的集合分到 个非空子集的分法的数目，有时表示为 . 它们满足关系 .
贝尔数 BellB[n] 给出把 个元素的集合划分为非空子集的划分方法总数. 贝尔多项式 BellB[n,x] 满足母函数关系.
划分函数 PartitionsP[n] 给出把整数 写为正整数的和，不考虑顺序的方法的数目. PartitionsQ[n] 给出把整数 写为正整数的和，并且和中的整数是互不相同的写法的数目.
IntegerPartitions[n] 给出 的划分列表，其长度为 PartitionsP[n].
这里给出一个第一类斯特林的数表：
斯特林数作为连乘中的系数出现：
这里给出 4 的划分：
这是由 PartitionsP[4] 给出的划分数目：
这里给出 100 的带和不带和式中项为不同的限制的划分的数目：
划分函数 同 一样渐近增长. 注意不能简单地使用 Plot 来生成像 PartitionsP 这样的函数的图形，因为这些函数只在整数自变量处求值：
本节中的绝大多数函数允许用户列举各种组合对象. 函数如 IntegerPartitions 和 Permutations 允许用户生成元素的各种组合的列表.
标记函数 Signature[{i1,i2,…}] 给出排列的标记. 对偶排列（由偶次移项构成的）它等于 ，对奇排列它等于 . 标记函数可以看作是完全反对称的张量，Levi‐Civita 符号 或 epsilon 符号.
ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}]
Clebsch‐Gordan 系数
ThreeJSymbol[{j1,m1},{j2,m2},{j3,m3}]
Wigner 3‐j 符号
SixJSymbol[{j1,j2,j3},{j4,j5,j6}]
Racah 6‐j 符号
旋转耦合系数.
Clebsch-Gordan系数和 ‐j 符号出现在量子力学中的角动量中，以及循环群应用的研究中. Clebsch-Gordan系数ClebschGordan[{j1,m1},{j2,m2},{j,m}] 给出量子力学的角动量状态 按照状态 的乘积展开的系数.
3‐j 符号 或者 Wigner 系数 ThreeJSymbol[{j1,m1},{j2,m2},{j3,m3}] 是 Clebsch–Gordan 系数的更对称的形式. 在 Wolfram 语言中，Clebsch-Gordan系数根据 3‐j 符号 来给出.
6‐j 符号 SixJSymbol[{j1,j2,j3},{j4,j5,j6}] 给出三个量子力学的解动量状态的耦合. Racah 系数 通过相位联系到 6‐j 符号.
在 3‐j 符号中可给出符号参数：
初等超越函数
Exp[z]
指数函数
Log[z]
对数函数
Log[b,z]
对数函数 ，底数为
Log2[z]
,
Log10[z]
底数为 2 和 10 的对数函数
Sin[z]
,
Cos[z]
,
Tan[z]
,
Csc[z]
,
Sec[z]
,
Cot[z]
三角函数（自变量单位是弧度）
ArcSin[z]
,
ArcCos[z]
,
ArcTan[z]
,
ArcCsc[z]
,
ArcSec[z]
,
ArcCot[z]
反三角函数（值为弧度）
ArcTan[x,y]
自变量为
Sinh[z]
,
Cosh[z]
,
Tanh[z]
,
Csch[z]
,
Sech[z]
,
Coth[z]
双曲函数
ArcSinh[z]
,
ArcCosh[z]
,
ArcTanh[z]
,
ArcCsch[z]
,
ArcSech[z]
,
ArcCoth[z]
反双曲函数
Sinc[z]
sinc 函数
Haversine[z]
半正矢函数
InverseHaversine[z]
反半正矢函数
Gudermannian[z]
古德曼函数
InverseGudermannian[z]
反古德曼函数
初等超越函数.
只要能做到，Wolfram 语言都给出对数的精确结果. 这里是 ：
可以求出数学函数的任意精度的数值值：
这里给出复数结果：
Wolfram 语言计算自变量为复数的对数：
三角函数的自变量总是按弧度给出：
通过乘以常数 Degree 可以转化为度：
这是双曲正切函数的图形. 它具有 S 形的特点：
半正矢函数 Haversine[z] 被定义为 . 反半正矢函数 InverseHaversine[z] 被定义为 . 古德曼函数 Gudermannian[z] 被定义为 . 反古德曼函数 InverseGudermannian[z] 被定义为 . 古德曼函数满足关系如 . sinc 函数 Sinc[z] 是一个方波信号的傅立叶变换.
有许多附加的三角和双曲函数有时被使用. 正矢函数（versine 函数）在文献中有时会遇到，简单地表示为. 余矢函数（coversine 函数）定义为 . 复指数 有时写为 .
多值函数
求数 的平方根 ，实际上就是求方程 的解. 然而，此方程一般有两个不同的解. 例如， 和 都是方程 的解. 但是当用户计算“函数” 时，通常想得到一个数. 因此必须选择其中一个. 一个标准选择是对 ， 应当是正数. 这正是 Wolfram 语言函数 Sqrt[x] 所做的事情.
需要从两个解中选择一个意味着 Sqrt[x] 不可能是 x^2 的反函数. 取一个数，对它平方，然后取平方根能给出一个与开始时不同的数.
给出 ，而不是 ：
对一个数平方再取平方根并不一定给出初始的数：
当计算 时，再一次有两个可能的结果： 和 . 但是，在此情况下，选择哪一个是不明显的.
事实上，没有任何选择 的方法使得对 的所有复数值它是连续的. 必须有一个“分支线”——复平面上的一条线，函数 穿过它时是不连续的. Wolfram 语言采纳通常的惯例，取 的分支线为负实轴.
给出 ，而不是 ：
Sqrt 的分支线为负实轴意味着 Sqrt[z] 的值随着 在轴上方和轴下方是完全不同的：
然而，它们的平方是很接近的：
沿着负实轴的不连续性在平方根函数的虚部的三维图形中是相当明显的：
使用 求 次根时，原则上有 个可能的结果. 要得到单一的值，必须选择特定的主要的根. 绝对无法保证使取一个数的 次幂的 次根得到原来的数.
取一个复数的几次幂，结果是唯一的：
有十个可能的 10 次根. Wolfram 语言选择其中之一. 此时，结果不是原来的数：
有许多数学函数，如求根，本质上给出方程的解. 对数函数和反三角函数是这样的例子. 在几乎所有的情况下，方程有许多可能的解. 但是唯一的“主要”值必须被选择. 这个选择不可能在整个复平面上都是连续的，不连续线或分支线必定出现. 这些分支线的位置常常是相当任意的. Wolfram 语言对它们进行最标准的数学选择.
Sqrt[z]
和
z^s
当 Re ， 当 Re （ 不是整数）
Exp[z]
无
Log[z]
三角函数
无
ArcSin[z]
和
ArcCos[z]
和
ArcTan[z]
和
ArcCsc[z]
和
ArcSec[z]
ArcCot[z]
双曲函数
无
ArcSinh[z]
和
ArcCosh[z]
ArcTanh[z]
和
ArcCsch[z]
ArcSech[z]
和
ArcCoth[z]
复平面上一些不连续分支线.
ArcSin 是多值函数，故无任何保证它总是给出 Sin 的逆：
ArcSin[z] 在分支线两边的值可能是非常不同的：
表明函数 的两个分支线的三维图形：
数学常数
I
Infinity
Pi
Degree
：度到弧度的转换因子
GoldenRatio
E
EulerGamma
欧拉常数
Catalan
Catalan 常数
Khinchin
Khinchin 常数
Glaisher
Glaisher 常数
数学常数.
Euler 常数 EulerGamma 由极限 给定. 它出现在许多积分和渐进公式中. 它有时被称为Euler‐Mascheroni 常数，并表示为 .
Catalan 常数 Catalan 由和式 给出. 它常常出现在组合函数的渐进估计当中. 并在不同情况下表示为 、 或者 .
Khinchin 常数 Khinchin （有时称为 Khintchine 常数）由 给出. 它给出点型实数的连续分式表示中的项的几何平均值.
Glaisher 常数 Glaisher （有时称为 Glaisher‐Kinkelin 常数）满足 ，其中 是黎曼 zeta 函数. 它出现在和式与积分中，特别是涉及伽马和贝塔函数的式子中.
数学常数可以被计算到任意的精度：
对其也能做精确计算：
正交多项式
LegendreP[n,x]
勒让德多项式
LegendreP[n,m,x]
相关勒让德多项式
SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]
球面调和函数
GegenbauerC[n,m,x]
盖根堡多项式 (x)
ChebyshevT[n,x]
,
ChebyshevU[n,x]
第一类和第二类切比雪夫多项式 和
HermiteH[n,x]
埃尔米特多项式
LaguerreL[n,x]
拉盖尔多项式
LaguerreL[n,a,x]
广义拉盖尔多项式
ZernikeR[n,m,x]
泽尼克径向多项式
JacobiP[n,a,b,x]
雅可比多项式
正交多项式.
勒让德多项式 LegendreP[n,x] 出现在三维球系统的研究中. 它满足微分方程 ，和正交性关系：当 时，.
相关勒让德多项式 LegendreP[n,m,x] 从勒让德多项式的导函数中得出： . 注意对奇数 ， 包含 ，因此不是严格的多项式. 当 时， 退化到 .
球面调和函数 SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ] 与相关勒让德多项式联系在一起. 它们满足正交关系：当 或 时，，其中 代表单位球上的曲面积分.
这里给出勒让德多项式 的代数形式：
根据勒让德多项式的正交性，积分 的结果为零：
对单个勒让德多项式的平方积分得到非零结果：
高次勒让德多项式快速地振荡：
相关勒让德“多项式”包含分式的幂：
"特殊函数" 节讨论勒让德多项式的推广——勒让德函数，它可能有非整数的阶次：
盖根堡多项式 GegenbauerC[n,m,x] 可以看作 维球对称系统的勒让德多项式的推广. 它们有时称为特种球多项式（ultraspherical polynomials）.
GegenbauerC[n,0,x] 总是等于零. GegenbauerC[n,x] 由极限 给出. 它有时被表示为 .
切比雪夫多项式级数常常用于函数的数值逼近. 第一类切比雪夫多项式 ChebyshevT[n,x] 由 定义. 它们被规范为 . 它们满足正交关系：当 时，. 是满足相应于 的根的 的离散点处的和式关系.
第二类切比雪夫多项式 ChebyshevU[n,z] 由 定义. 在此定义下，. 满足正交关系：当 时，.
名称“切比雪夫”是西里尔字母的音译；几种其他拼法，如 “Tschebyscheff”，有时也被使用.
埃尔米特多项式 HermiteH[n,x] 作为谐振荡器的量子力学波出现. 它们满足微分方程 和正交关系：当 时，. 有时使用的埃尔米特多项式的一种变种是 （一个不同的规范化的 有时也被使用）.
埃尔米特多项式被联系到抛物柱面函数或 Weber 函数 ，其关系是 .
这里给出量子力学谐振荡器激励状态的密度. 摆动的平均值约等于古典物理中的结果：
广义拉盖尔多项式 LaguerreL[n,a,x] 被联系到量子力学中的氢原子波函数. 它们满足微分方程 ，和正交关系：当 时，. 拉盖尔多项式 LaguerreL[n,x] 对应于 的情形.
可以得到带有任意 值的广义拉盖尔多项式：
泽尼克径向多项式 ZernikeR[n,m,x] 用于光学畸变的研究. 它们满足正交性关系：当 时， .     
雅可比多项式 JacobiP[n,a,b,x] 出现在循环群的研究、特别是在量子力学中. 它们满足正交关系：当 时， . 勒让德、盖根堡、切比雪夫和泽尼克多项式都能看作雅可比多项式的特殊情况. 雅可比多项式有时用另一种形式 给出.
特殊函数
Wolfram 系统包括了标准手册中所有的数学物理中常见的特殊函数. 下面将依次讨论各类函数.
应该认识到的一点是，在技术文献中对某个特殊函数常常存在几个矛盾的定义. 因此当使用 Wolfram 系统中的某一特殊函数时，用户一定要阅读这里给出的定义，确认它正是你想要的.
对特殊函数的某些值，Wolfram 系统给出精确结果：
这里不知道精确结果
然而，能够求出具有任意精度的数值结果：
对特殊函数可以赋以复自变量：
特殊函数自动应用于列表中的每个元素：
Wolfram 系统知道特殊函数的解析性质，例如导数：
可以使用 FindRoot 求特殊函数的根：
在 Wolfram 系统中，特殊函数通常能对自变量的任意复值进行计算. 然而，在本教程中给出的定义关系常常仅适用于自变量的某些特殊选择. 在这些情况下，整个函数相应于这些定义关系的“解析延拓”. 例如，用积分式表达的函数仅当积分存在时才有效，但函数本身通常能通过解析延拓来定义.
对于如何扩充函数的定义域，一个简单的例子是：考虑由和式 表示的函数，该和仅当 时收敛. 然而，容易解析地证明，对任意 ，整个函数等于 . 使用这个形式，很容易求出函数对任意 的值，只要 .

伽马函数及相关函数

Beta[a,b]
欧拉贝塔函数
Beta[z,a,b]
不完全贝塔函数
BetaRegularized[z,a,b]
正则化的不完全贝塔函数
Gamma[z]
欧拉伽马函数
Gamma[a,z]
不完全伽马函数
Gamma[a,z0,z1]
广义不完全伽马函数
GammaRegularized[a,z]
正则化的不完全伽马函数
InverseBetaRegularized[s,a,b]
反贝塔函数
InverseGammaRegularized[a,s]
反伽马函数
Pochhammer[a,n]
Pochhammer 符号
PolyGamma[z]
双伽玛函数
PolyGamma[n,z]
双伽玛函数 的 阶导数
LogGamma[z]
欧拉 log-gamma 函数
LogBarnesG[z]
Barnes G 函数的对数
BarnesG[z]
Barnes G 函数
Hyperfactorial[n]
超阶乘函数
伽马函数及相关函数.
欧拉伽马函数 Gamma[z] 由积分 定义. 对于正整数 ，. 可以看作阶乘函数的推广，它对复自变量 也适用.
在一些运算中，特别是数论中，伽马函数的对数经常出现. 对于正实数自变量，其对数值可以通过 Log[Gamma[z]]. 轻松得到. 然而对于复自变量，该式产生伪不连续性. Wolfram 系统因此另外给出函数 LogGamma[z]，它产生具有沿负实轴切割的单个分支线的伽马函数的对数.
欧拉贝塔函数 Beta[a,b] 是 .
Pochhammer 符号或上升阶乘 Pochhammer[a,n] 是 . 它常常出现在超几何函数的级数展开式中. 注意即使当其定义中出现的伽马函数为无穷大时，Pochhammer 符号也有确定的值.
不完全伽马函数 Gamma[a,z] 由积分 定义. Wolfram 系统包含有一个一般化的不完全伽马函数 Gamma[a,z0,z1]，它由 定义.
另一个不完全伽马函数 则可作为 Gamma[a,0,z] 被得到.
不完全贝塔函数 Beta[z,a,b] 由 给出. 注意在不完全贝塔函数中，参数 是积分的上限，作为函数的第一个自变量出现. 而在不完全伽马函数中， 是积分的下限，作为函数的第二个自变量出现.
在某些情况下，计算不完全贝塔和伽马函数本身是不方便的，而代之以计算正则化形式，在这个形式中，用完全贝塔和伽马函数除这些函数. Wolfram 系统包含正则化的不完全贝塔函数 BetaRegularized[z,a,b]，其定义为 ，且考虑奇点情况. Wolfram 系统还包含正则化的不完全伽马函数 GammaRegularized[a,z]，其定义为 ，且奇点情况被考虑.
不完全贝塔和伽马函数及其反函数在统计学中是常见的. 反贝塔函数 InverseBetaRegularized[s,a,b] 是方程 对 的解. 类似地，反伽马函数 InverseGammaRegularized[a,s] 是方程 对 的解.
伽马函数的导数常出现在有理级数的求和当中. 双伽玛函数 PolyGamma[z] 是伽马函数的对数的导数，由 给出. 对整数自变量，双伽玛函数满足关系 ，其中 是欧拉常数 (在 Wolfram 系统中为 EulerGamma)， 是调和数.
多伽马函数 PolyGamma[n,z] 由 给出. 注意双伽玛函数对应于 . 一般形式 是 阶伽马函数的对数的导数，而非 阶. 多伽马函数满足关系 . PolyGamma[ν,z] 由任意复数 通过分数阶微积分解析延拓得到.
BarnesG[z] 是 Gamma 函数的推广，由泛函恒等式 BarnesG[z+1]=Gamma[z] BarnesG[z] 定义， 其中对于正数 z，BarnesG 的对数的三阶导数是正数. BarnesG 是复平面上的一个整函数.
LogBarnesG[z] 是一个全纯函数，其中延负实轴的分支线满足 Exp[LogBarnesG[z]]=BarnesG[z].
Hyperfactorial[n] 是 向复平面的推广.
Wolfram 系统中嵌入了伽马和复伽马函数的许多精确结果：
这里是一个复平面上的伽马函数的等高线图：

Zeta 函数及相关函数

DirichletL[k,j,s]
Dirichlet L-函数
LerchPhi[z,s,a]
Lerch 超越函数
PolyLog[n,z]
多对数函数
PolyLog[n,p,z]
尼尔森广义多对数函数
RamanujanTau[n]
Ramanujan 函数
RamanujanTauL[n]
Ramanujan Dirichlet L-函数
RamanujanTauTheta[n]
Ramanujan theta 函数
RamanujanTauZ[n]
Ramanujan Z-函数
RiemannSiegelTheta[t]
黎曼–西格尔函数
RiemannSiegelZ[t]
黎曼–西格尔函数
StieltjesGamma[n]
斯蒂尔吉斯常数
Zeta[s]
黎曼 ζ 函数
Zeta[s,a]
广义黎曼 ζ 函数
HurwitzZeta[s,a]
Hurwitz ζ 函数
HurwitzLerchPhi[z,s,a]
Hurwitz–Lerch 超越函数
Zeta 函数及相关函数.
Dirichlet-L 函数 DirichletL[k,j,s] 由 （对于）给出，其中 是模为 、指标为 的 Dirichlet 特征.
黎曼 ζ 函数 Zeta[s] 由 () 定义. 具有整数自变量的 ζ 函数出现在各种求和和积分的运算中. 对具有整数自变量的 ζ 函数，Wolfram 系统尽可能地给出精确结果.
对任意复数 ，有一个解析延拓. 复自变量的 ζ 函数 是数论中素数分布的研究核心. 其中特别重要的是临界线 处的值.
在研究 时，按照 和 ( 为实数)定义两个黎曼–西格尔函数 RiemannSiegelZ[t] 和 RiemannSiegelTheta[t] 往往带来方便. 注意黎曼–西格尔函数当 为实数时，都取实值.
斯蒂尔吉斯常数 StieltjesGamma[n] 是欧拉常数的推广，它出现在 在极点 处的级数展式中； 的系数是 . 欧拉常数是 .
广义黎曼 ζ 函数 Zeta[s,a] 由 给出，其中 的项被排除.
Hurwitz ζ 函数 HurwitzZeta[s,a] 由 给出.
Ramanujan Dirichlet L-函数 RamanujanTauL[s] 由 L(s) () 定义，其系数为 RamanujanTau[n]. 与黎曼 ζ 函数类似，定义两个函数 RamanujanTauZ[t] 和 RamanujanTauTheta[t] 也会带来方便.
这里是 的数值近似：
这是一个 Dirichlet L-函数实数部分的三维图形：
Wolfram 系统给出 的精确值：
这是黎曼 ζ 函数在复平面上的三维图形：
这是黎曼 ζ 函数在临界线 处的绝对值的图形. 可以看到 ζ 函数的前几个零点：
这是 Ramanujan L 函数在临界线 处的绝对值的图形：
多对数函数 PolyLog[n,z] 由 给出. 多对数函数有时称为 Jonquière 函数. 双对数函数PolyLog[2,z] 满足 . 有时称为 Spence 积分. 尼尔森广义多对数函数或称超对数 PolyLog[n,p,z] 由 给出. 多对数函数出现在基本粒子物理学或代数 K‐理论的 Feynman 图积分中.
Lerch 超越函数 LerchPhi[z,s,a] 是 ζ 和多对数函数的推广，由 定义，其中 的项被排除. 许多倒数幂的和式能用 Lerch 超越函数来表示. 例如 Catalan 贝塔函数 可由 来得到.
Lerch 超越函数与统计力学中的费米-狄拉克分布的积分相联系，其关系为 .
Lerch 超越函数也能用来计算数论中的 Dirichlet L‐级数. 基本的 L‐级数的形式为 ，其中"字符" 是周期为 的整数函数. 这种 L‐级数可以写成 Lerch 函数的和，其中 是 的幂.
LerchPhi[z,s,a,DoublyInfinite->True] 给出双边无穷和 .
Hurwitz–Lerch 超越函数 HurwitzLerchPhi[z,s,a] 是 HurwitzZeta[s,a] 的推广，其定义为 .
ZetaZero[k]
ζ 函数 在临界线上的第 个零点
ZetaZero[k,x0]
在高度 以上的第 个零点
ζ 函数的零点.
ZetaZero[1] 代表 的第一个非平庸零点：
这里给出其数值：
这里给出高度大于 15 的第一个零点：

指数积分及相关函数

CosIntegral[z]
余弦积分函数
CoshIntegral[z]
双曲余弦积分函数
ExpIntegralE[n,z]
指数积分 En(z)
ExpIntegralEi[z]
指数积分
LogIntegral[z]
对数积分
SinIntegral[z]
正弦积分函数
SinhIntegral[z]
双曲正弦积分函数
指数积分及相关函数.
Wolfram 系统有两种指数积分：ExpIntegralE 和 ExpIntegralEi.
指数积分函数 ExpIntegralE[n,z] 由 定义.
第二个指数积分函数 ExpIntegralEi[z] 由 ()定义，并取积分的主值.
对数积分函数 LogIntegral[z] 由 ()定义，并取积分的主值. 是数论中系数分布研究的核心. 对数积分函数有时也表示为 . 在数论的某些应用中， 被定义为 ，且不取主值. 这一定义与 Wolfram 系统中使用的定义相差常数 .
正弦和余弦积分函数 SinIntegral[z] 和 CosIntegral[z] 由 和 定义. 双曲正弦和余弦积分函数 SinhIntegral[z] 和 CoshIntegral[z] 由 和 定义.

误差函数及相关函数

Erf[z]
误差函数
Erf[z0,z1]
广义误差函数
Erfc[z]
余误差函数
Erfi[z]
虚数误差函数
FresnelC[z]
费涅尔积分 C(z)
FresnelS[z]
费涅尔积分
InverseErf[s]
反误差函数
InverseErfc[s]
反余误差函数
误差函数及相关函数.
误差函数 Erf[z] 是高斯分布的积分，由 给出. 余误差函数 Erfc[z] 由 简单地给出. 虚数误差函数 Erfi[z] 由 给出. 广义误差函数 Erf[z0,z1] 由积分 定义. 误差函数在统计学的许多计算中是很重要的.
反误差函数 InverseErf[s] 被定义为方程 关于 的解. 反误差函数出现在统计学中的置信区间的计算以及生成高斯随机数的一些算法中.
与误差函数密切相关的是两个费涅尔积分：由 定义的 FresnelC[z] 积分和由 定义的 FresnelS[z] 积分. 费涅尔积分出现在衍射理论中.

贝塞尔及相关函数

AiryAi[z]
和
AiryBi[z]
Airy 函数 和
AiryAiPrime[z]
和
AiryBiPrime[z]
Airy 函数的导数 和
BesselJ[n,z]
和
BesselY[n,z]
贝塞尔函数 和
BesselI[n,z]
和
BesselK[n,z]
修正贝塞尔函数 和
KelvinBer[n,z]
和
KelvinBei[n,z]
开尔文函数 和
KelvinKer[n,z]
和
KelvinKei[n,z]
开尔文函数 和
HankelH1[n,z]
和
HankelH2[n,z]
汉克尔函数 和
SphericalBesselJ[n,z]
和
SphericalBesselY[n,z]
球贝塞尔函数 和
SphericalHankelH1[n,z]
和
SphericalHankelH2[n,z]
球汉克尔函数 和
StruveH[n,z]
和
StruveL[n,z]
Struve 函数 和修正 Struve 函数
贝塞尔及相关函数.
贝塞尔函数 BesselJ[n,z] 和 BesselY[n,z] 是微分方程 的两个线性独立解. 对于整数 ， 在 处是正则的，而 在 处是对数发散的.
贝塞尔函数出现在柱对称系统的微分方程的求解当中.
常常称为第一类贝塞尔函数，或简称为贝塞尔函数. 被称为第二类贝塞尔函数，威伯函数或纽曼函数（记为 ）.
汉克尔函数（或称为第三类贝塞尔函数）HankelH1[n,z] 和 HankelH2[n,z] 根据关系 给出贝塞尔微分方程的另一种形式.
球贝塞尔函数 SphericalBesselJ[n,z] 和 SphericalBesselY[n,z]，以及球汉克尔函数 SphericalHankelH1[n,z] 和 SphericalHankelH2[n,z] 出现在球对称波动现象的研究中. 这些函数通过 与普通函数相联系，这里 和 可以是 和 ， 和 ，或者 和 . 对于整数 ，使用 FunctionExpand 可以将球面贝塞尔函数展开成普通函数的形式.
修正贝塞尔函数 BesselI[n,z] 和 BesselK[n,z] 是微分方程 的解. 对于整数 ， 在 处是正则的；而 在 处总是对数发散. 有时被称为双曲贝塞尔函数.
特别在电子工程中，人们常常要定义开尔文函数 KelvinBer[n,z]， KelvinBei[n,z]， KelvinKer[n,z] 和 KelvinKei[n,z]. 这些函数通过 ， 与普通贝塞尔函数相联系.
Airy 函数 AiryAi[z] 和 AiryBi[z] 是微分方程 的两个独立解 和 . 当 趋向于正无穷大时， 趋向于0，而 无限增大. Airy 函数与1/3整数阶修正贝塞尔函数相关. Airy 函数常作为边界值问题的解出现在电磁理论和量子力学中. 在许多情况下，也出现 Airy 函数的导数 AiryAiPrime[z] 和 AiryBiPrime[z].
Struve 函数 StruveH[n,z] 出现在对整数 的非齐次贝赛尔方程 的解中. 这个方程的通解由贝塞尔函数的线性组合加 Struve 函数 构成. 修正 Struve 函数 StruveL[n,z] 以普通 Struve 函数的形式由 给出. Struve 函数特别出现在电磁理论中.
这是 的图形. 这是一端悬挂的理想化的链条摆动时形成的曲线：
对半整数阶的贝塞尔函数 Wolfram 系统生成明确的公式：
这里画出的 Airy 函数的图形给出一个粒子当势能由左至右线性增大时的量子力学振幅. 该振幅在经典的不能进入区域（图形右部）指数地衰减：
BesselJZero[n,k]
贝塞尔函数 的第 个零点
BesselJZero[n,k,x0]
大于 的第 个零点
BesselYZero[n,k]
贝塞尔函数 的第 个零点
BesselYZero[n,k,x0]
大于 的第 个零点
AiryAiZero[k]
Airy 函数 的第 个零点
AiryAiZero[k,x0]
小于 的第 个零点
AiryBiZero[k]
Airy 函数 的第 个零点
AiryBiZero[k,x0]
小于 的第 个零点
贝塞尔和 Airy 函数的零点.
BesselJZero[1,5] 表示 的第5个零点：
这里给出其数字值：

勒让德函数及相关函数

LegendreP[n,z]
第一类勒让德函数
LegendreP[n,m,z]
第一类缔合勒让德函数
LegendreQ[n,z]
第二类勒让德函数
LegendreQ[n,m,z]
第二类缔合勒让德函数
勒让德函数及相关函数.
勒让德函数及缔合勒让德函数满足微分方程 . 第一类勒让德函数， LegendreP[n,z] 和 LegendreP[n,m,z]，当 和 为整数时，化为勒让德多项式. 第二类勒让德函数LegendreQ[n,z] 和 LegendreQ[n,m,z] 给出微分方程的第二个线性无关解. 对于整数 ，它们在 处有对数奇点. 和 给出微分方程在 时的解.
勒让德函数出现在量子力学散射过程的研究中.
LegendreP[n,m,z]
或
LegendreP[n,m,1,z]
包含 的第1型函数
LegendreP[n,m,2,z]
包含 的第2型函数
LegendreP[n,m,3,z]
包含 的第3型函数
勒让德函数的类型. 对 LegendreQ 存在类似的类型.
第 1 型勒让德函数和第 2 型勒让德函数的符号形式不同，但有相同的数字值. 它们有从 到 和从 到 的分支切割线. 第3型勒让德函数，有时记为 和 ，有从 到 的单一分支切割线.
在具有环形对称性的系统研究中出现的圆环函数，能用勒让德函数 和 来表示.
圆锥函数能用 和 来表示.
当使用 为整数的函数 LegendreP[n,x]时，将得到勒让德多项式. 当 为任意复数时，一般得到勒让德函数.
用同样的方法，在 GegenbauerC 等等的函数中，指标变量取任意复数就能得到盖根堡函数、切比雪夫函数、厄米函数、雅可比函数和拉盖尔函数. 然而不同于缔合勒让德函数，不需要区分这些函数的不同类型.

超几何函数及其推广

Hypergeometric0F1[a,z]
超几何函数
Hypergeometric0F1Regularized[a,z]
正则化超几何函数
Hypergeometric1F1[a,b,z]
库默尔合流超几何函数
Hypergeometric1F1Regularized[a,b,z]
正则化合流超几何函数
HypergeometricU[a,b,z]
合流超几何函数
WhittakerM[k,m,z]
and
WhittakerW[k,m,z]
惠特克函数 和
ParabolicCylinderD[ν,z]
抛物柱面函数
CoulombF[l,η,ρ]
规则库伦波函数
CoulombG[l,η,ρ]
不规则库伦波函数
合流超几何函数及相关函数.
但目前为止，我们所讨论的特殊函数多数都能被看作合流超几何函数 Hypergeometric1F1[a,b,z] 的特殊情形.
合流超几何函数可由级数展开式 中获得. 当 和 均为整数时，会得到一些特殊结果. 如果 ，并且 或 ，该级数产生一个有限项的多项式.
当 为 0 或负整数时， 自身无穷大. 然而由 给出的正则化合流超几何函数Hypergeometric1F1Regularized[a,b,z] 在任何情况下都有有限值.
可由 中获得的函数有贝塞尔函数、误差函数、不完全伽马函数以及厄米和拉盖尔多项式.
函数 有时记为 或 . 它常被称为库默尔函数.
函数可以写成积分表达式 .
合流超几何函数是库默尔微分方程 在边界条件为 和 时的一个解.
函数 HypergeometricU[a,b,z] 给出库默尔方程的第二个线性无关解. 对于 ，该函数的行为在 较小时很像 . 它有一条延复平面 的复实轴的分支线.
函数 的积分表示式为 .
与 一样， 有时称为库默尔函数. 函数有时记为 .
惠特克函数 WhittakerM[k,m,z] 和 WhittakerW[k,m,z] 给出正态化的库默尔微分方程（或称为惠特克微分方程）的一对解. 惠特克函数 通过 与 相关. 第二个惠特克函数 服从同一关系，只要由 代替 .
抛物柱面函数 ParabolicCylinderD[ν,z] 通过 与厄米函数相关.
库伦波函数 CoulombF[l,η,ρ] 和 CoulombG[l,η,ρ] 也是合流超几何函数的特殊情形. 库伦波函数给出点核的库伦势中的径向薛定谔方程的解. 正则库伦波函数由 给出，其中 . 不规则 Coulomb 波函数 由类似的表达式给出，但用 替换 .
出射和入射不规则库仑波函数 CoulombH1[l,η,ρ] 和 CoulombH2[l,η,ρ] 是规则和不规则库仑波函数的线性组合，关系式为 .
合流超几何函数的其他特殊情形包括 Toronto 函数 、Poisson–Charlier多项式 、Cunningham 函数 和 Bateman 函数 等.
合流超几何函数经常出现的一个极限形式是 Hypergeometric0F1[a,z]. 该函数是由极限 得到的.
函数有级数展开式 ，并且满足微分方程 .
第一类贝塞尔函数可以用 函数来表示.
Hypergeometric2F1[a,b,c,z]
超几何函数
Hypergeometric2F1Regularized[a,b,c,z]
正则化的超几何函数
HypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]
广义超几何函数
HypergeometricPFQRegularized[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]
正则化的广义超几何函数
MeijerG[{{a1,…,an},{an+1,…,ap}},{{b1,…,bm},{bm+1,…,bq}},z]
梅杰 G-函数
AppellF1[a,b1,b2,c,x,y]
阿佩尔双变量超几何函数
超几何函数及其推广.
超几何函数 Hypergeometric2F1[a,b,c,z] 有级数展开式 . 该函数是超几何微分方程 的一个解.
超几何函数也可以写成积分形式：.
超几何函数有时也记作 ，并称为高斯级数或库默尔级数.
勒让德函数和给出其他正交多项式的推广的函数可以用超几何函数表示. 完全椭圆积分也能用 函数表示.
黎曼 P 函数也是一个 函数，它给出黎曼微分方程的解.
广义超几何函数或 Barnes 扩充超几何函数 HypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z] 可展开成级数 .
梅杰 G-函数 MeijerG[{{a1,…,an},{an+1,…,ap}},{{b1,…,bm},{bm+1,…,bq}},z] 是由围道积分表示式 定义，其中积分的围道设在 的极点和 的极点之间. MeijerG 是一个非常一般的函数，它的特殊情形包括了前几节讨论的大多数函数.
阿佩尔双变量超几何函数 AppellF1[a,b1,b2,c,x,y] 有级数展开式 . 该函数出现在例如三次多项式的任意次幂的积分中.

q 级数及相关函数

QPochhammer[z,q]
Pochhammer 符号
QPochhammer[z,q,n]
Pochhammer 符号
QFactorial[z,q]
阶乘的 形式
QBinomial[n,m,q]
二项式系数的 形式
QGamma[z,q]
欧拉伽马函数 的 形式
QPolyGamma[z,q]
双伽玛函数
QPolyGamma[n,z,q]
双伽玛函数的 阶导数
QHypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},q,z]
基本超几何级数
级数及相关函数.
Pochhammer 符号是 -差分积分中的自然对象，其功能与幂函数在-差分积分或递减阶乘在有限差分积分中的功能相同.
有限 Pochhammer 符号 定义为乘积 . 其极限 定义了当 <1 时的 Pochhammer 符号 . Pochhammer 符号 是 Pochhammer 符号的 形式. 其在极限 /(1-q)n 中被复原.
阶乘 定义为 /(1-q)z，它是阶乘函数的 形式，当 时复原. 阶乘和 伽马函数之间的关系 与阶乘和欧拉伽马函数的关系 z! 具有相同的泛函形式.
双伽玛函数定义为 伽马函数 的对数导数. 阶 -多伽马函数 定义为 双伽玛函数关于 的 阶导数.
基本超几何级数是广义超几何级数的 形式. 它作为高斯超几何级数的 形式由 Heine 引入，出现在组合数学中.

乘积对数函数

ProductLog[z]
乘积对数函数
乘积对数函数.
乘积对数函数给出 中关于 的解. 该函数可看作是对数函数的推广. 它能用于表示各种超越方程的解. 计算不同的定向树的树生成函数与乘积对数函数的关系是 .

球体函数

SpheroidalS1[n,m,γ,z]
和
SpheroidalS2[n,m,γ,z]
径向球体函数 和
SpheroidalS1Prime[n,m,γ,z]
和
SpheroidalS2Prime[n,m,γ,z]
径向球体函数关于 z 的导数
SpheroidalPS[n,m,γ,z]
和
SpheroidalQS[n,m,γ,z]
角球体函数 和
SpheroidalPSPrime[n,m,γ,z]
和
SpheroidalQSPrime[n,m,γ,z]
角球体函数关于 z 的导数
SpheroidalEigenvalue[n,m,γ]
n 阶 m 次的球面特征值
球体函数.
径向球体函数 SpheroidalS1[n,m,γ,z] 及 SpheroidalS2[n,m,γ,z] 和角球体函数 SpheroidalPS[n,m,γ,z] 和 SpheroidalQS[n,m,γ,z] 出现在球形区域上波动方程的解中. 这两类函数均为方程 的解. 仅当 是由 SpheroidalEigenvalue[n,m,γ] 给出的球面特征值时，该方程有可规范化的解. 球体函数也可作为特征函数出现在对傅立叶变换的有限模拟中.
SpheroidalS1 和 SpheroidalS2 是球面贝塞耳函数 和 的有效球体对照，而 SpheroidalPS 和SpheroidalQS 则有效对照着勒让德函数 和 . 对应着长球面几何，而 对应着扁球面几何.
函数
γ
z
范围
名称
角向拉长
径向拉长
角向压扁
径向压扁
关于球体函数的规范化，文献中使用许多不同的方法. Wolfram 系统使用的是 Meixner–Schäfke 规范化法则.
角球体函数可以视作勒让德函数的变形：
这里画出角球体函数取不同扁球体状参数时的图形：
当整数 时，角球体函数 是带宽限的傅立叶变换的特征函数：
Mathieu 函数是球体函数的一种特殊情形.
当 时，角球体函数给出 Mathieu 角函数：
椭圆积分和椭圆函数
与其他特殊函数相比，在给出椭圆积分和椭圆函数的自变量时需要更加小心谨慎. 在常见的用法中有几个不相容的规定，这些规定仅通过赋给变量的特定名称或自变量间的分离符（而不是逗号）来区分.
■ 振幅 (在 Wolfram 语言中，使用单位是弧度)
■ 自变量 (Wolfram 语言中使用)：通过 与振幅相关
■ δ 振幅 :
■ 坐标 :
■ 特征数 (在 Wolfram 语言中用于第三类椭圆积分)
■ 参数 (Wolfram 语言中使用)：在其前面有符号 ，如
■ 互补参数 :
■ 模 ：在其前面有逗号，如 ;
■ 模角 ：在其前面有 ，如 ;
■ Nome ：在 函数中前面有逗号；
■ 不变量 , (Wolfram 语言中使用)
■ 半周期 , : , , 其中
■ 周期比 :
■ 判别式 :
■ 曲线 , 的参数(Wolfram 语言中使用)
■ 坐标 (Wolfram 语言中使用)：满足
椭圆积分和椭圆函数中常见的变量规定.
JacobiAmplitude[u,m]
给出对应于自变量 u 和参数 m 的振幅 ϕ
EllipticNomeQ[m]
给出对应于参数 m 的 nome q
InverseEllipticNomeQ[q]
给出对应于 nome q 的参数 m
WeierstrassInvariants[{ω,ω′}]
给出对应于半周期 {ω,ω′} 的不变量 {g2,g3}
WeierstrassHalfPeriods[{g2,g3}]
给出对应于不变量 {g2,g3} 的半周期 {ω,ω′}
不同变量间转换规则.

椭圆积分

EllipticK[m]
第一类完全椭圆积分
EllipticF[ϕ,m]
第一类椭圆积分
EllipticE[m]
第二类完全椭圆积分 E(m)
EllipticE[ϕ,m]
第二类椭圆积分 E(ϕm)
EllipticPi[n,m]
第三类完全椭圆积分
EllipticPi[n,ϕ,m]
第三类椭圆积分
JacobiZeta[ϕ,m]
雅可比 ζ 函数
椭圆积分.
形如 的积分，其中 是有理函数， 是关于 三次或四次多项式的积分是椭圆积分. 任何椭圆积分可以用勒让德-雅可比椭圆积分的三类标准形表示.
第一类椭圆积分 EllipticF[ϕ,m] 通过 在 时给出. 这类椭圆积分出现在求解单摆运动的方程中. 它有时也被称为第一类不完全椭圆积分.
注意椭圆积分的变量有时以与 Wolfram 语言中使用的相反顺序给出.
第一类完全椭圆积分 EllipticK[m] 由 给出. 注意 用来表示第一类完全椭圆积分，而 用来表示不完全的形式. 在许多应用中，参数 不是显式给定的，且 简单记作 . 第一类互补完全椭圆积分 由 给出，常被记作 . 和 给出"实" 和 "虚" 的相应于 "椭圆函数" 中所讨论的雅可比椭圆函数的四分之一周期.
第二类椭圆积分 EllipticE[ϕ,m] 由 在 给出.
第二类完全椭圆积分 EllipticE[m] 由 给出，常记作 . 其互补形式是 .
雅可比 ζ 函数 JacobiZeta[ϕ,m] 由 给出.
Heuman λ 函数由 给出.
第三类椭圆积分 EllipticPi[n,ϕ,m] 由 给出.
第三类完全椭圆积分 EllipticPi[n,m] 由 给出.
这是第二类完全椭圆积分 的图形：
这是 时 的值：
椭圆积分在复平面上有一个复杂的结构：

椭圆函数

JacobiAmplitude[u,m]
振幅函数
JacobiSN[u,m]
,
JacobiCN[u,m]
, etc.
雅可比椭圆函数 等.
InverseJacobiSN[v,m]
,
InverseJacobiCN[v,m]
, etc.
反雅可比椭圆函数 等.
EllipticTheta[a,u,q]
θ 函数 ()
EllipticThetaPrime[a,u,q]
θ 函数的导数 ()
SiegelTheta[τ,s]
Siegel θ 函数
SiegelTheta[v,τ,s]
Siegel θ 函数
WeierstrassP[u,{g2,g3}]
Weierstrass 椭圆函数
WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}]
Weierstrass 椭圆函数的导数
InverseWeierstrassP[p,{g2,g3}]
反 Weierstrass 椭圆函数
WeierstrassSigma[u,{g2,g3}]
Weierstrass σ 函数
WeierstrassZeta[u,{g2,g3}]
Weierstrass ζ 函数
椭圆函数和相关函数.
涉及到二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此，三角函数可被定义为由这些积分获得的函数的反函数.
类似地，椭圆函数被定义为由椭圆积分获得的函数的反函数.
雅可比椭圆函数的振幅 JacobiAmplitude[u,m] 是第一类椭圆积分的反函数. 如果 ，那么. 雅可比椭圆函数的变量 常被省略，故 被写为 .
雅可比椭圆函数 JacobiSN[u,m] 和 JacobiCN[u,m] 分别由 和 给出，其中 . 另外，JacobiDN[u,m] 由 给出.
总共有12个雅可比椭圆函数 JacobiPQ[u,m]，其中字母 P 和 Q 从 S、C、D 和 N 中选取. 每个雅可比椭圆函数 JacobiPQ[u,m] 满足关系 ，其中 .
雅可比椭圆函数之间有许多关系，在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上，在极限情形，雅可比椭圆函数可化为三角函数，例如 ，，，， 和.
符号 常用于积分 . 这些积分能用 "椭圆积分" 中定义的雅可比 ζ 函数来表示.
椭圆函数的最重要的性质之一是对自变量的复数值，它们是双周期的. 普通三角函数是单周期的，即对任意整数 ，有 . 而椭圆函数是双周期的，即对任意整数 和 ，有 .
雅可比椭圆函数 等在复平面 上是双周期的，其周期包括 和 ，其中 是第一类完全椭圆积分.
雅可比椭圆函数的符号 中"p"和"q"的选取可以根据函数在四分之一周期 和 的值来理解.
这里显示雅可比椭圆函数 的绝对值在每个方向上的两个完全周期：
反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSN[v,m]， InverseJacobiCN[v,m] 等也是 Wolfram 语言的内置函数. 例如反函数 给出 关于 的解. 反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关.
EllipticTheta[a,u,q] 中分别取 a 为 1、2、3 和 4 得到四个 θ 函数 . 其定义为 , , , . θ 函数常写作 ，其参数 常常不写出. θ 函数有时写成 的形式，其中 与 的关系为 . 另外， 有时用 代替，两者的关系为 . 所有的 θ 函数满足扩散类微分方程 .
具有向量 s 的 p 维 Riemann 模块方阵（square modular matrix）的 Siegel θ 函数 SiegelTheta[τ,s] 将椭圆 θ 函数推广至复维数 p，其定义为 ，其中 n 跨越（runs over）全部 p 维整数向量. 特征值为 SiegelTheta[ν,τ,s] 的 Siegel θ 函数的定义由 给出，其中特征数 ν 是一对 p 维向量 {α,β}.
雅可比椭圆函数可以被表示为θ 函数的比.
θ 函数的另一种记法是 , , , , 其中.
Neville θ 函数可以由 θ 函数来定义： , , , ，其中 . 雅可比椭圆函数可以表示为 Neville θ 函数的比.
Weierstrass 椭圆函数 WeierstrassP[u,{g2,g3}] 可以被看作是椭圆积分的反函数. Weierstrass 函数 给出 关于 的解. 函数 WeierstrassPPrime[u,{g2,g3}] 由 给出.
Weierstrass 函数有时根据其基本半周期 和 来表示， 和 可以通过使用WeierstrassHalfPeriods[{u,{g2,g3}] 从不变量 和 中获得.
函数 InverseWeierstrassP[p,{g2,g3}] 给出 关于 的两个解中的一个. 该值总是位于由复数半周期 和 定义的平行四边形之内.
InverseWeierstrassP[{p,q},{g2,g3}] 给出 和 的唯一解 . 要使这样的 值存在， 和 必须满足 .
Weierstrass ζ 函数 WeierstrassZeta[u,{g2,g3}] 和 Weierstrass σ 函数WeierstrassSigma[u,{g2,g3}] 的关系是： 和.
Weierstrass ζ 和 σ 函数不是严格的椭圆函数，因为它们不是周期函数.

椭圆模函数

DedekindEta[τ]
Dedekind η 函数
KleinInvariantJ[τ]
Klein 不变模函数
ModularLambda[τ]
模 λ 函数
椭圆模函数.
模 λ 函数 ModularLambda[τ] 根据 将参数与半周期比 相联系.
Klein 不变模函数 KleinInvariantJ[τ] 与 Dedekind η 函数 DedekindEta[τ] 满足关系.
模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如， 是在变换 和 的组合下的不变量.

广义椭圆积分和函数

ArithmeticGeometricMean[a,b]
和 的算术-几何平均值
EllipticExp[u,{a,b}]
与椭圆曲线 相关的广义指数
EllipticLog[{x,y},{a,b}]
与椭圆曲线 相关的广义对数
广义椭圆积分和函数.
上面给出的椭圆积分和函数的定义基于传统的用法. 在现代的代数几何中，使用更一般的定义是方便的.
函数 EllipticLog[{x,y},{a,b}] 被定义为积分 的值，其中平方根的正负通过给出使得 成立的 值来确定. 形如 的积分可以用普通对数（和反三角函数）来表示. 可以认为 EllipticLog 给出该积分的推广，其中平方根下的多项式是三次的.
函数 EllipticExp[u,{a,b}] 是 EllipticLog 的反函数. 它返回出现在 EllipticLog 中的列表 . EllipticExp 是一个椭圆函数，在复平面 上是双周期的.
ArithmeticGeometricMean[a,b] 给出两个数 和 的算术-几何平均值（AGM）. 该量是计算椭圆积分的和其他函数的许多数值算法的核心. 对于正实数 和 ，其 AGM 按下述方法获得：从 ， 开始，然后重复变换 ， 直到在要求的精度下 为止.
Mathieu 函数和相关的函数
MathieuC[a,q,z]
具有特征值 a 和参数 q 的 Mathieu 偶函数
MathieuS[b,q,z]
具有特征值 b 和参数 q 的 Mathieu 奇函数
MathieuCPrime[a,q,z]
和
MathieuSPrime[b,q,z]
Mathieu 函数的 z 导数
MathieuCharacteristicA[r,q]
具有特征指数 r 和参数 q 的 Mathieu 偶函数的特征值 ar
MathieuCharacteristicB[r,q]
具有特征指数 r 和参数 q 的 Mathieu 奇函数的特征值 br
MathieuCharacteristicExponent[a,q]
具有特征值 a 和参数 q 的 Mathieu 函数的特征指数 r
Mathieu 函数和相关函数
Mathieu 函数 MathieuC[a,q,z] 和 MathieuS[a,q,z] 是方程 的解. 这个方程出现在涉及椭圆形状或周期位势的许多物理场合. 函数 MathieuC 定义为关于 是偶函数，而 MathieuS 是奇函数.
当 时，Mathieu 函数简化为 和 . 对于非零 ，Mathieu 函数仅对某些 的值关于 是周期的. Mathieu 特征值由 MathieuCharacteristicA[r,q] 和 MathieuCharacteristicB[r,q] 给出，其中 是整数或有理数. 这些值常记为 和 .
对于整数 ，具有特征值 和 的偶和奇 Mathieu 函数常记为 和 . 注意变量 和 的顺序颠倒了.
根据 Floquet 定理，任何 Mathieu 函数可以用 的形式写出， 其中 有周期 ， 是 Mathieu 特征指数 MathieuCharacteristicExponent[a,q]. 当特征指数 是整数或有理数时，Mathieu 函数是周期的. 然而，一般情况下， 当 不是实整数时， 和 是相等的.
这里显示出作为 的函数的前 5 个特征值 ：
带有特殊函数的运算
自动计算
指定变量的精确结果
N[expr,n]
任何精度的数值近似
D[expr,x]
导数的精确结果
N[D[expr,x]]
导数的数值近似
Series[expr,{x,x0,n}]
级数展开
Integrate[expr,x]
积分的精确结果
NIntegrate[expr,x]
积分的数值近似
FindRoot[expr==0,{x,x0}]
方程根的数值近似
特殊函数的一些常见运算.
当给定自变量时，大多数特殊函数有较为简单的形式. 在这种情形时，Wolfram 系统将自动化简特殊函数.
Wolfram 系统自动用标准数学常数写出此式：
Wolfram 系统把特殊情形的 Airy 函数化简为包含伽马函数的表达式：
对于大多数自变量的值，特殊函数可能不能精确地化简. 但在这种情况下，Wolfram 系统允许求任意精度的数值近似. Wolfram 系统的内置算法基本覆盖了特殊函数的所有参数值——实数值或复数值.
此式没有精确结果：
这里给出 40 位精度的数值近似：
此结果是一个巨大的复数，但 Wolfram 系统仍能求出它：
大部分特殊方程有能用基本函数或其他特殊函数表示的导数. 但即使对导数不能明显表示的情况，也能使用 N 求出导数的数值近似值.
这个导数的结果用基本函数表示：
在点 3 处计算伽马函数的导数：
ζ 函数的这个导数没有精确公式：
使用 N 给出数值近似：
Wolfram 系统收集了大量的特殊函数的知识，基本包括多年来已经导出的所有结果. 当用户对特殊函数进行运算时，将需要这些知识.
这是一个 Fresnel 函数的级数展开式：
Wolfram 系统知道如何计算涉及特殊函数的大范围积分：
带有特殊函数的运算的一个特点是在不同的函数之间存在大量的关系，并且这些关系常能用来化简表达式.
FullSimplify[expr]
使用广泛的变换规则化简 expr
化简涉及特殊函数的表达式.
这里使用伽马函数的反演公式：
这里利用切比雪夫多项式的表达式：
Airy 函数与贝塞尔函数有关系：
FunctionExpand[expr]
展开特殊函数
处理涉及特殊函数的表达式.
这里将高斯超几何函数展开为较简单的函数：
这是一个涉及贝塞尔函数的例子：
这是的最终结果甚至不涉及 PolyGamma：
这里得到了 Hurwitz ζ 函数的导数的表达式：